Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли

Пусть K — поле, многочлен с коэффициентами из поля K, . Тогда определим где единичная -матрица, т. е. здесь A0=E . Пример 8.6.1. Пусть , Тогда Упражнение 8.6.2. Пусть и характеристический многочлен матрицы A (здесь ). Тогда (т. е. в этом частном случае мы видим, что справедлива теорема Гамильтона Кэли о том, что матрица A […]

Алгебра матриц

Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных матриц размера mxn Через Mm,n(K) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем K фиксированного размера (для краткости обозначения, Mn(K)=Mn,n(K) — совокупность всех квадратных -матриц). Как для пространства строк Kn=M1,n(K) и для пространства столбцов , так и для Mm,n(K) определены операции сложения матриц C=A+B ( cij=aij+bij для каждого места (i,j)) и умножения […]

Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Теорема 9.5.1. Пусть , B и C — ступенчатые матрицы, полученные из ненулевой матрицы A конечным числом элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов. Тогда: системы строк {B1,…,Bm} матрицы B и {C1,…,Cm} матрицы C в линейном пространстве строк Kn линейно выражаются друг через друга (другими словами, линейные оболочки строк матриц A, B и C […]

Проективная размерность подпространств и проективная геометрия PG(KV )

Если , — линейное подпространство в K V, то определим проективную размерность Таким образом, нулевое подпространство в K V имеет проективную размерность, равную -1 ; одномерные линейные подпространства имеют нулевую проективную размерность (их называют точками проективной геометрии); двумерные линейные подпространства имеют проективную размерность, равную 1 (их называют прямыми проективной геометрии); и т. д., . Обозначая […]

Линейные подпространства линейных пространств

Собственные числа и собственные векторы матрицы

Пусть K — поле, , , . Если , то называется собственным числом матрицы A, а — собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу . Условие эквивалентно условию где — единичная матрица. При фиксированном это условие превращается в однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x1,…,xn , Матрица этой системы — квадратная матрица размера n. Поэтому […]

Линейное пространство строк над полем

Систематическое рассмотрение строки коэффициентов i-го уравнения ai1x1+…+ainxn=bi (i-я строка матрицы A=(aij) коэффициентов системы линейных уравнений), строки всех коэффициентов i-го уравнения (включая свободный член bi i-й строки расширенной матрицы A=(aij,bi) системы линейных уравнений), строки , являющейся решением системы линейных уравнений, с операциями сложения и умножения на элементы из поля K естественно подвело нас к определению линейного […]

Кольцо многочленов от одной переменной

Пусть K- произвольное поле. Под многочленом (ненулевым) от одной переменной x с коэффициентами из поля K будем понимать формальное выражение вида f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn (иногда удобнее записывать эту сумму одночленов a_ix^i в другом порядке: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0), , — старший коэффициент (anxn — старший член многочлена f(x)), a0 — свободный член, — степень ненулевого многочлена f(x) (нулевой многочлен — […]

Кольца

Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей, если: относительно сложения (R,+) — абелева (т. е. коммутативная) группа; умножение — ассоциативная операция, и существует нейтральный элемент 1 (т. е. для всех ), называемый единицей; сложение и умножение связаны законами дистрибутивности (a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb для всех . Если операция […]

Комплексные корни n-й степени из единицы

Так как , r=1, , то формула для корней n-й степени из 1 принимает вид Точки wk являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, при этом одной из вершин этого многоугольника является 1. Например, при n=8 Теорема 2.9.1. Совокупность всех n корней n-й степени из 1 с операцией […]