Комплексные корни n-й степени из единицы
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Так как , r=1, , то формула для корней n-й степени из 1 принимает вид
Точки wk являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, при этом одной из вершин этого многоугольника является 1. Например, при n=8
Теорема 2.9.1. Совокупность всех n корней n-й степени из 1 с операцией умножения является коммутативной группой (подгруппой в ).
Доказательство.
- 1) Если , т. е. wn=1, zn=1, то , поэтому . Таким образом, на Tn определена операция умножения (очевидно, коммутативная и ассоциативная).
- 2) Ясно, что 1n=1, т. е. , и 1 — нейтральный элемент в Tn.
- 3) Если , то wn=1,
и поэтому .
Замечание 2.9.2. Группа Tn является циклической, т. е. все ее элементы являются степенями одного элемента, называемого циклическим образующим (в качестве одного из циклических образующих можно взять , так как wk=(w1)k для , т. е. все элементы wk группы Tn являются степенями корня w1, такие корни называются первообразными). Покажите, что является первообразным корнем тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел k и n равен 1.
Упражнение 2.9.3. Доказать, что сумма всех k-х степеней корней уравнения xn=1 равна
n, еслиkделится на n;
0, еслиk не делится наn.
Задача 2.9.4. Если , то |z|=1, но z не является корнем из единицы (т. е. для любого ).
Задача 2.9.5. Доказать, что
а) ;
б) .
Указание. Пусть
(все корни степени 2n из 1).Тогда
(так как xn=-1, x2n=1). Но , поэтому
Следовательно,
Полагая x=1, имеем
Пункт б) доказывается аналогично.