First page of the уравнения archive.

Тьюринга и алгоритмически неразрешимые проблемы

Posted by admin on 16 Август 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Алан Тьюринг высказал предположение (известное как Тезис Чёрча — Тьюринга), что любой алгоритм в интуитивном смысле этого слова может быть представлен эквивалентной машиной Тьюринга. Уточнение представления о вычислимости на основе понятия машины Тьюринга (и других эквивалентных ей понятий) открыло возможности для строгого доказательства алгоритмической неразрешимости различных массовых проблем (то есть проблем о нахождении единого метода решения некоторого класса задач, условия которых могут варьироваться в известных пределах). Простейшим примером алгоритмически неразрешимой массовой проблемы является так называемая проблема применимости алгоритма (называемая также проблемой остановки). Она состоит в следующем: требуется найти общий метод, который позволял бы для произвольной машины Тьюринга (заданной посредством своей программы) и произвольного начального состояния ленты этой машины определить, завершится ли работа машины за конечное число шагов, или же будет продолжаться неограниченно долго.

В течение первого десятилетия истории теории алгоритмов неразрешимые массовые проблемы были обнаружены лишь внутри самой этой теории (сюда относится описанная выше проблема применимости), а также внутри математической логики (проблема выводимости в классическом исчислении предикатов). Поэтому считалось, что теория алгоритмов представляет собой обочину математики, не имеющую значения для таких её классических разделов, как алгебра или анализ. Положение изменилось после того, как А. А. Марков и Э. Л. Пост в 1947 году установили алгоритмическую неразрешимость известной в алгебре проблемы равенства для конечнопорождённых и конечноопределённых полугрупп (т. н. проблемы Туэ). Впоследствии была установлена алгоритмическая неразрешимость и многих других «чисто математических» массовых проблем. Одним из наиболее известных результатов в этой области является доказанная Ю. В. Матиясевичем алгоритмическая неразрешимость десятой проблемы Гильберта.

Аксиоматика теории множеств

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Cовременная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело—Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF (любой объект можно считать множеством, соответственно и переформулировать утверждение не представляет собой проблему[источник не указан 316 дней]).

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Godel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

Парадоксы теории множеств

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Парадоксами теории множеств называют рассуждения, демонстрирующие противоречивость наивной теории множеств, такие как парадокс Бурали-Форти (1897) парадокс Кантора (1899) парадокс Рассела (1905) рассуждения, результат которых интуитивно кажется ложным или «парадоксальным», но которые, тем не менее, являются следствием аксиом формальной теории множеств, включая: предложенный Б. Расселом «парадокс Тристрама Шенди», демонстрирующий нарушение принципа «часть меньше целого» для бесконечных […]

Краткий конспект курса высшей алгебры

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Числа Натуральные числа. Принцип математической индукции. Свойства операций сложения и умножения натуральных чисел. Кольцо целых чисел. Поля рациональных и вещественных (действительных) чисел. Аксиомы поля. Поле комплексных чисел: определение; свойства мнимой единицы, вещественной и мнимой частей комплексного числа, сопряженного комплексного числа, модуля и аргумента комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формулы Муавра для решения […]

Теория множеств Кантора

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»).[1] Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как […]

Аксиоматическая теория множеств

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

В начале XX века Бертран Рассел, изучая канторовскую теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность этой теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики. После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования […]

Исторический очерк

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Идея записывать общие свойства чисел и вычислительные алгоритмы на особом символическом метаязыке появилась давно, однако первоначально буквенные символы в уравнениях обозначали только неизвестные, значения которых следует найти, а для прочих членов уравнения записывали конкретные числовые значения. Мысль о том, что известные величины (коэффициенты) тоже полезно для общности обозначать символами, пробивала себе путь медленно. Впервые, насколько […]

Теория графов

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Теория графов — раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств G=(V,E), где V есть подмножество любого счётного множества, а E — подмножество V?V. Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, […]

Возникновение теории алгоритмов

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Развитие теории алгоритмов начинается с доказательства К. Гёделем теорем о неполноте формальных систем, включающих арифметику, первая из которых была доказана в 1931 г. Возникшее в связи с этими теоремами предположение о невозможности алгоритмического разрешения многих математических проблем (в частности, проблемы выводимости в исчислении предикатов) вызвало необходимость стандартизации понятия алгоритма. Первые стандартизованные варианты этого понятия были […]

Современное состояние теории алгоритмов

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

В настоящее время теория алгоритмов развивается, главным образом, по трем направлениям. Классическая теория алгоритмов изучает проблемы формулировки задач в терминах формальных языков, вводит понятие задачи разрешения, проводит классификацию задач по классам сложности (P, NP и др.). Теория асимптотического анализа алгоритмов рассматривает методы получения асимптотических оценок ресурсоемкости или времени выполнения алгоритмов, в частности, для рекурсивных алгоритмов. […]