Линейное пространство строк над полем

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Систематическое рассмотрение строки коэффициентов (a_{i1},...,a_{in})\in K^n i-го уравнения ai1x1+…+ainxn=bi (i-я строка матрицы A=(aij) коэффициентов системы линейных уравнений), строки (a_{i1},...,a_{in},b_i)\in K^{n+1} всех коэффициентов i-го уравнения (включая свободный член bi i-й строки расширенной матрицы A=(aij,bi) системы линейных уравнений), строки \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in X\subseteq K^n, являющейся решением системы линейных уравнений, с операциями сложения и умножения на элементы из поля K естественно подвело нас к определению линейного пространства строк Kn.

Пусть K — поле (например, K= R — поле действительных чисел). Рассмотрим

K^n= \{(\alpha_1,...,\alpha_n)\mid \alpha_i\in K\} \text{ -}

совокупность всех упорядоченных строк \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) длины n элементов \alpha_i, i=1,…,n, поля K. На множестве Kn определены следующие операции.

  1. Сложение строк (бинарная операция):если
    \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n),\beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in K^n,

    то

    \alpha+\beta=(\alpha_1+\beta_1,...,\alpha_n+\beta_n).
  2. Для каждого элемента \lambda\in K (унарная) операция умножение строк на элемент \lambda\in K}: если
    \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n),

    то

    \lambda\alpha=(\lambda\alpha_1,...,\lambda\alpha_n).

Свойства операций

(1.1) Ассоциативность сложения строк: если \alpha,\beta,\gamma\in K^n, то (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma).

Действительно, на i-м месте в (\alpha+\beta)+\gamma и в \alpha+(\beta+\gamma) имеем (\alpha_i+\beta_i)+\gamma_i=\alpha_i+(\beta_i+\gamma_i) (ассоциативность сложения в поле K).

(1.2) Коммутативность сложения строк: если \alpha,\beta\in K^n, то \alpha+\beta=\beta+\alpha.

Действительно, на i-м месте в \alpha+\beta и в \beta+\alpha имеем \alpha_i+\beta_i=\beta_i+\alpha_i (коммутативность сложения в поле K).

(1.3) Нулевая строка (0,…,0) в Kn является нейтральным элементом для операции сложения в Kn, поскольку (\alpha_1,...,\alpha_n)\+(0,...,0)=(\alpha_1,...,\alpha_n) для любой строки (\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n.

(1.4) Для любой строки \alpha\in K^n существует противоположная строка \delta такая, что \alpha+\delta=(0,...,0).

Действительно, если \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), то для \delta=(-\alpha_1,...,-\alpha_n) ({}=(-1)\alpha) имеем \alpha+\delta=(0,...,0).

Таким образом, свойства (1.1)-(1.4) означают, что множество строк Kn с операцией сложения строк является коммутативной группой.

(2.1) Если 1\in K, \alpha\in K^n, то 1\cdot\alpha=\alpha.

Действительно, для \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) имеем 1\cdot\alpha=(1\alpha_1,...,1\alpha_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)= \alpha.

(2.2) Если \lambda_1,\lambda_2\in K, \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n, то \lambda_1(\lambda_2\alpha)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha.

Действительно, для \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n на i-м месте в \lambda_1(\lambda_2\alpha) и в (\lambda_1\lambda_2)\alpha имеем \lambda_1(\lambda_2\alpha_i)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha_i (ассоциативность умножения в поле K).

(3.1) Если \lambda\in K, \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), \beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in K^n, то \lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta.

Действительно, на i-м месте в \lambda(\alpha+\beta) и в\lambda\alpha+\lambda\beta имеем\lambda(\alpha_i+\beta_i)=\lambda\alpha_i+\lambda\beta_i (дистрибутивность в поле K).

(3.2) Если \lambda_1,\lambda_2\in K, \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n, то (\lambda_1+\lambda_2)\alpha=\lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha.

Действительно, на i-м месте в (\lambda_1+\lambda_2)\alpha и в \lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha имеем (\lambda_1+\lambda_2)\alpha_i=\lambda_1\alpha_i+\lambda_2\alpha_i (дистрибутивность в поле K).

Определение 4.1.1. Множество V с операцией сложения и операциями умножения на элементы \lambda поля K, удовлетворяющее свойствам (1.1)-(1.4), (2.1), (2.2), (3.1), (3.2), называется линейным пространством над полем K.

Итогом наших проверок является

Теорема 4.1.2. Множество Kn строк длины n элементов поля K с операцией сложения и с операциями умножения на элементы \lambda поля K является линейным пространством над полем K.

Определение 4.1.3. Если

\alpha_1=(a_{11},...,a_{1n}),...,\alpha_m=(a_{m1},...,a_{mn}) \in K^n,

то совокупность всех линейных комбинаций строк \alpha_1,...,\alpha_m

\langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle= \biggl\{\,\sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i\mid \lambda_i\in K\biggr\}\subseteq K^n

называется линейной оболочкой строк \alpha_1,...,\alpha_m.

Лемма 4.1.4. Если \alpha_1,...,\alpha_m\in K^n, то линейная оболочка \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle является линейным пространством (подпространством в линейном пространстве строк Kn).

Доказательство. Для \lambda_i,\gamma_i\in K имеем:

\begin{gathe} \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i+ \sum\limits_{i=1}^{m}\gamma_i\alpha_i= \sum\limits_{i=1}^{m}(\lambda_i+\gamma_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ 0=\sum\limits_{i=1}^{m}0\cdot \alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ -\biggl(\,\sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i\biggr)= \sum\limits_{i=1}^{m}(-\lambda_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle. \end{gathe}