Исследование ступенчатых систем линейных уравнений
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Лемма 3.6.1. Однородная система линейных уравнений всегда совместна. Доказательство. Решением системы является нулевая строчка . Лемма 3.6.2. Если система линейных уравнений содержит уравнение (назовем его «экзотическим» уравнением), то система несовместна. Доказательство. Для любой строчки . Замечание 3.6.3. Если матрица коэффициентов системы линейных уравнений нулевая (т. е. все коэффициенты равны нулю), то ее совместность равносильна тому, […]
Определители малых порядков
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Рассматривая систему линейных уравнений для вычисления x1 умножим первое уравнение на a22, второе уравнение на -a12 и сложим их. Получим (a11a22-a12a21)x1=b1a22-b2a12. Аналогично, для вычисления x2 умножим первое уравнение на -a21, второе уравнение на a11 и сложим их. Получим (a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1. Если мы определителем -матрицы назовем число то в этом частном случае мы получим следующее утверждение (правило […]
Миноры и алгебраические дополнения
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Рассмотрим определитель третьего порядка (1.5) Вычеркнем из определителя одну строку и один столбец, например, первую строку и второй столбец. Из оставшиеся элементов составим определитель второго порядка номер которого (индекс у D) определяется номерами вычеркнутых строки (первой) и столбца (второй). Если из определителя (1.5) вычеркнуть другие строку и столбец, например, третий и третий, соответственно, то оставшиеся […]
Определители третьего порядка и их свойства
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
На практике редко задачи решаются при помощи таких простых систем, как рассмотренные в первом параграфе. Чаще для поиска решения получаются системы, состоящие из большего количества уравнений. Да и неизвестных в таких системах тоже больше, чем два. Пусть теперь дана система из трех линейных уравнений относительно трех неизвестных (1.4) Определение 6. Определителем третьего порядка, соответствующий матрице […]
Определители второго порядка и их свойства
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
На практике часто исследователю приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий: коэффициенты в формулах постоянные, неизвестные входят в формулы только в первой степени, отсутствуют произведения между самими неизвестными, то тогда такие зависимости называют линейными. Пример. В лаборатории […]
Операции над матрицами
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Определение 9. Суммой двух матриц одинакового размера A=(aij) и B=(bij) называется матрица C, у которой (cij)=(aij+bij), и записывают C = A + B. Пример. Найти A + B, если Решение. Можно убедится самостоятельно в справедливости равенств A + B = B + A; (A + B) + C = A + (B + C). Определение […]
Матрицы. Ранг матрицы
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Определение 7. Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один aij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого Δr0; всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется […]
Матрицы. Основные определения и типы матриц
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Определение 1. Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел aij, которые называют элементами матрицы и обозначается (2.1) Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, […]
Условие совместности общей линейной системы. Теорема Кронекера — Капелли
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: (4.17) Этой системе поставим в соответствие две матрицы. Первую составленную из коэффициентов при неизвестных системы (4.17), называемую основной, и вторую называемую расширенной матрицей системы (4.17). ТЕОРЕМА (Кронекер и Капелли). Для того, чтобы система линейных уравнений (4.17) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А был […]
Матричный метод решения систем линейных уравнений
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Рассмотрим для определенности систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: (4.14) Составив матрицы из коэффициентов системы, неизвестных и свободных членов, т.е. перепишем систему (14) в матричной форме: (4.15) Искомой в этом уравнении является матрица-столбец (или вектор-столбец) Х. Пусть А – невырожденная матрица, то есть detA 0, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе […]