Кольцо многочленов от одной переменной
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Пусть K- произвольное поле.
Под многочленом (ненулевым) от одной переменной x с коэффициентами из поля K будем понимать формальное выражение вида f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn (иногда удобнее записывать эту сумму одночленов a_ix^i в другом порядке: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0), , — старший коэффициент (anxn — старший член многочлена f(x)), a0 — свободный член, — степень ненулевого многочлена f(x) (нулевой многочлен — это f(x)=a0=0).
Можно было вместо формальных выражений рассматривать счетные последовательности
в которых почти все ai (т. е. все, кроме конечного числа) равны нулю (нулевой многочлен — это последовательность, в которой все компоненты равны нулю).
Два многочлена f(x) и g(x) называются равными, если равны соответствующие коэффициенты при каждой степени xk переменной x.
Через K[x] обозначим множество всех многочленов f(x) с коэффициентами из поля K.
На множестве K[x] введем операции сложения и умножения, для полагая где
Теорема 1.13.1. Множество K[x] с операциями сложения и умножения — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
Доказательство.
- Так как при сложении складываются коэффициенты при одной степени xi, т. е. di=ai+bi, то ясно, что K[x] с операцией сложения — коммутативная группа.
- Учитывая определение коэффициента
заключаем, что операция умножения коммутативна.
Пусть теперь
Тогда, подсчитывая коэффициенты при степени xi в (f(x)g(x))h(x) и в f(x)(g(x)h(x)), видим, что
Итак, мы проверили ассоциативность умножения многочленов.
Ясно, что f(x)=1 (т. е. a0=1) является нейтральным элементом для операции умножения.
- Подсчитывая коэффициенты при степени xi в (f(x)+g(x))h(x) и f(x)h(x)+g(x)h(x), видим, что
т. е. установлен закон дистрибутивности в K[x].
Замечание 1.13.2. Отображение , для которого является инъективным гомоморфизмом колец (т. е. получили вложение поля K в кольцо многочленов K[x]).
Лемма 1.13.3. Пусть K — поле, , , . Тогда
а) .
б) .
Доказательство.
а) Если , то ci=ai+bi=0.
б) Если , и i>n+s, то
При этом (поскольку , и в поле K нет делителей нуля). Итак, — старший коэффициент многочлена f(x)g(x) — является произведением старших коэффициентов многочленов f(x) и g(x). Таким образом, .
Следствие 1.13.4. Пусть K — поле. В кольце многочленов K[x] нет делителей нуля.
Доказательство. Как мы видели, если , , — старший коэффициент многочлена f(x), , , — старший коэффициент многочлена g(x), то — старший коэффициент многочлена f(x)g(x), т. е..
Следствие 1.13.5. Пусть K — поле. В кольце K[x] (как в любом кольце без делителей нуля) можно сокращать на ненулевой многочлен, т. е. из f(x)g(x)=f(x)h(x), , следует, что g(x)=h(x).