Собственные числа и собственные векторы матрицы
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Пусть K — поле, , , . Если , то называется собственным числом матрицы A, а — собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу .
Условие эквивалентно условию
где — единичная матрица. При фиксированном это условие превращается в однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x1,…,xn
,
Матрица этой системы — квадратная матрица размера n. Поэтому наличие ненулевого решения этой системы равносильно тому, что . Пусть t — переменная,
многочлен степени n от переменной t (называемый характеристическим многочленом матрицы A), при этом:
Мы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена из поля K
.
Если и , то все собственные векторы матрицы A относительно собственного числа — это все ненулевые решения системы
Отметим, что множество всех собственных векторов матрицы A относительно собственного числа не образует линейного подпространства в , так как все эти векторы ненулевые. Но если к этому множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространство всех решений системы
Таким образом, если , , то , то размерность пространства решений этой системы равна s=n-r, поэтому . Если {X1,…,Xs} — какая\df либо фундаментальная система решений системы , то все собственные векторы матрицы A, отвечающие собственному числу , — это все нетривиальные линейные комбинации элементов с коэффициентами из поля K.
Пример 9.19.1.
Корни: , , (собственные числа матрицы A
).
Собственные векторы для :
ненулевые решения:
Собственные векторы для
:
ненулевые решения:
Пример 9.19.2.
Имеется лишь одно собственное число: . Собственные векторы относительно задаются системой линейных уравнений
Система уже имеет ступенчатый вид, x2, x3 — главные неизвестные, x1 — свободная переменная, множество собственных векторов относительно :
Пример 9.19.3. Если
диагональная матрица, то — все корни характеристического многочлена матрицы A (и следовательно, собственные числа).