Подстановки, перестановки
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Перестановки и транспозиции Рассмотрим перестановку двух элементов i и j,, в перестановке (i1,…,in) (все остальные элементы, отличные от i, j, остаются на своих местах). Эта процедура называется транспозицией перестановки (i1,…,in). Лемма 5.2.1. Умножение слева (i j)fподстановки на цикл (i j) длины 2 приводит к транспозиции элементов i и j в нижней строке (перестановке) (j1,…,jn). Умножение […]
Линейные пространства
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Вывод свойств линейного пространства из аксиом Пусть K — поле (например, K= R — поле действительных чисел). Многочисленные конкретные примеры линейных пространств, с которыми мы уже столкнулись (линейные пространства строк Kn, столбцов , пространства прямоугольных и квадратных матриц и , пространство многочленов K[x], пространство непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] и т. д.), оправдывают […]
Системы линейных уравнений
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
В средней школе рассматривались линейные уравнения ax=b и системы линейных уравнений где — действительные числа. В излагаемой теории систем линейных уравнений мы будем совершать с коэффициентами операции сложения и умножения, а также делить (т. е. умножать на обратный элемент) на ненулевой элемент. Таким образом, естественно рассматривать системы линейных уравнений с коэффициентами из произвольного поля K. […]
Решение системы линейных уравнений
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Чтобы выяснить имеет ли составленная система решение или нет, а, если имеет решение, то их количество, применяют следующую теорему. Теорема 1. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то такая система совместна и имеет хотя бы одно не нулевое решение. Пример. Определить совместность системы Решение. Составим матрицу системы и определим ее ранг (т.е. […]
Системы линейных уравнений
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
В общем случае линейная система, составленная из К линейных уравнений относительно n неизвестных примет вид: (3.1) где x1, x2, …, xn — неизвестные; a11, a12, …, akn — коэффициенты при неизвестных; b1, b2, …, bk — свободные члены. Определение 1. Решением системы (1) называется совокупность из n чисел (с1, с2, …, сn), которые, будучи подставленными […]
Четность перестановок и подстановок
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Будем говорить, что числа i и j в перестановке (…,i,…,j,…) образуют инверсию, если число i расположено левее, чем j, но i>j (в противном случае будем говорить, что числа i и j расположены в правильном порядке). Ясно, что сумма числа всех инверсией и числа всех порядков в любой перестановке из n чисел 1,2,…,n равна . Пример […]
Разложение подстановок в произведение циклов с непересекающимися орбитами
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Орбитой цикла (i1 i2 … ir) назовем множество {i1,…,ir} . Если — подстановка символов {1,2,…,n} и , , то рассмотрим последовательность (орбиту элемента a). Из конечности множества {1,2,…,n} следует, что найдутся такие натуральные числа t и s, t<s, что . В группе S_n рассмотрим . Применяя к этому равенству, получим , r=s-t>0. Рассмотрим самое маленькое […]
Подстановки, перестановки
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Теорема 5.0.4. Множество S(U) всех биекций с операцией произведения (композиции) отображений gf для , , обладает следующими свойствами: операция произведения ассоциативна (h(gf)=(hg)f для всех ), нейтральным элементом для этой операции является тождественное отображение 1U (1Uf=f=f1U для всех ), для всякой биекции существует обратный элемент — биекция g=f-1 (fg=1U=gf). (Другими словами, S(U) — группа относительно операции […]
Линейные преобразования линейных пространств столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Рассмотрим линейные пространства столбцов над полем K (например, над полем R действительных чисел) Каждая -матрица F=(fij), , задает отображение , для всех где Теорема 7.0.6. Отображение задаваемое прямоугольной -матрицей F=(fij), обладает следующими свойствами: f(X+X’)=f(X)+f(X’) для всех \textup; f(cX)=cf(X) для всех , . Доказательство. Для имеем Применяя отображение f, определяемое прямоугольной матрицей F=(fij), к X+X’ и […]
Вычисление определителей
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Определение определителя как суммы n! слагаемых-произведений плохо пригодно для реальных вычислений при больших n. В теоретическом плане важно отметить, что определитель |A| является многочленом от n2 переменных aij, в котором мономы входят с коэффициентами . Отметим лишь одно из следствий этого факта: если aij=aij(x) являются дифференцируемыми функциями от переменной x, то определитель |A| также является […]