Тьюринга и алгоритмически неразрешимые проблемы

Алан Тьюринг высказал предположение (известное как Тезис Чёрча — Тьюринга), что любой алгоритм в интуитивном смысле этого слова может быть представлен эквивалентной машиной Тьюринга. Уточнение представления о вычислимости на основе понятия машины Тьюринга (и других эквивалентных ей понятий) открыло возможности для строгого доказательства алгоритмической неразрешимости различных массовых проблем (то есть проблем о нахождении единого метода решения некоторого класса задач, условия которых могут варьироваться в известных пределах). Простейшим примером алгоритмически неразрешимой массовой проблемы является так называемая проблема применимости алгоритма (называемая также проблемой остановки). Она состоит в следующем: требуется найти общий метод, который позволял бы для произвольной машины Тьюринга (заданной посредством своей программы) и произвольного начального состояния ленты этой машины определить, завершится ли работа машины за конечное число шагов, или же будет продолжаться неограниченно долго.

В течение первого десятилетия истории теории алгоритмов неразрешимые массовые проблемы были обнаружены лишь внутри самой этой теории (сюда относится описанная выше проблема применимости), а также внутри математической логики (проблема выводимости в классическом исчислении предикатов). Поэтому считалось, что теория алгоритмов представляет собой обочину математики, не имеющую значения для таких её классических разделов, как алгебра или анализ. Положение изменилось после того, как А. А. Марков и Э. Л. Пост в 1947 году установили алгоритмическую неразрешимость известной в алгебре проблемы равенства для конечнопорождённых и конечноопределённых полугрупп (т. н. проблемы Туэ). Впоследствии была установлена алгоритмическая неразрешимость и многих других «чисто математических» массовых проблем. Одним из наиболее известных результатов в этой области является доказанная Ю. В. Матиясевичем алгоритмическая неразрешимость десятой проблемы Гильберта.

Краткий конспект курса высшей алгебры

Числа Натуральные числа. Принцип математической индукции. Свойства операций сложения и умножения натуральных чисел. Кольцо целых чисел. Поля рациональных и вещественных (действительных) чисел. Аксиомы поля. Поле комплексных чисел: определение; свойства мнимой единицы, вещественной и мнимой частей комплексного числа, сопряженного комплексного числа, модуля и аргумента комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формулы Муавра для решения […]

Парадоксы теории множеств

Парадоксами теории множеств называют рассуждения, демонстрирующие противоречивость наивной теории множеств, такие как парадокс Бурали-Форти (1897) парадокс Кантора (1899) парадокс Рассела (1905) рассуждения, результат которых интуитивно кажется ложным или «парадоксальным», но которые, тем не менее, являются следствием аксиом формальной теории множеств, включая: предложенный Б. Расселом «парадокс Тристрама Шенди», демонстрирующий нарушение принципа «часть меньше целого» для бесконечных […]

Аксиоматика теории множеств

Cовременная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом Цермело—Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы […]

Классы сложности

В рамках классической теории осуществляется классификация задач по классам сложности (P-сложные, NP-сложные, экспоненциально сложные и др.). К классу P относятся задачи, которые могут быть решены за время, полиномиально зависящее от объёма исходных данных, с помощью детерминированной вычислительной машины (например, машины Тьюринга), а к классу NP — задачи, которые могут быть решены за полиномиально выраженное время […]

Современное состояние теории алгоритмов

В настоящее время теория алгоритмов развивается, главным образом, по трем направлениям. Классическая теория алгоритмов изучает проблемы формулировки задач в терминах формальных языков, вводит понятие задачи разрешения, проводит классификацию задач по классам сложности (P, NP и др.). Теория асимптотического анализа алгоритмов рассматривает методы получения асимптотических оценок ресурсоемкости или времени выполнения алгоритмов, в частности, для рекурсивных алгоритмов. […]

Возникновение теории алгоритмов

Развитие теории алгоритмов начинается с доказательства К. Гёделем теорем о неполноте формальных систем, включающих арифметику, первая из которых была доказана в 1931 г. Возникшее в связи с этими теоремами предположение о невозможности алгоритмического разрешения многих математических проблем (в частности, проблемы выводимости в исчислении предикатов) вызвало необходимость стандартизации понятия алгоритма. Первые стандартизованные варианты этого понятия были […]

Теория графов

Теория графов — раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств G=(V,E), где V есть подмножество любого счётного множества, а E — подмножество V?V. Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, […]

Исторический очерк

Идея записывать общие свойства чисел и вычислительные алгоритмы на особом символическом метаязыке появилась давно, однако первоначально буквенные символы в уравнениях обозначали только неизвестные, значения которых следует найти, а для прочих членов уравнения записывали конкретные числовые значения. Мысль о том, что известные величины (коэффициенты) тоже полезно для общности обозначать символами, пробивала себе путь медленно. Впервые, насколько […]