Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Пусть K — поле,

f(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\in K[t] \text{ -}

многочлен с коэффициентами из поля K, A\in M_{n}(K). Тогда определим

f(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^n\in M_{n}(K),

где

E=E_n= \begin{pmatrix} 1 & & \lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ & \ddots\\ \lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}} & & 1 \end{pmatrix} \in M_{n}(K)\text{ -}

единичная (n\times n) -матрица, т. е.

f(A)=\sum_{i=0}^{n}a_iA^i,

здесь A0=E

.

Пример 8.6.1. Пусть f(t)=t^2+2t+1=(t+1)^2, g(t)=t+1\in R[t],

A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_{2}( R).

Тогда

\begin{align*} f(A) &= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 + 2 \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} ={} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}\\ \biggl( &= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}^2 = \left( \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 = (g(A))^2\biggr). \end{align*}

Упражнение 8.6.2. Пусть

A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2}(K)

и

\begin{align*} f(\lambda) &= |A-\lambda E| = \begin{vmatrix} a-\lambda & b\\ c & d-\lambda \end{vmatrix} = (a-\lambda)(d-\lambda)-bc ={} \\ &= \lambda^2 -(a+d)\lambda+(ad-bc)\\ ( &= \lambda^2-\tr A\lambda +|A|)\text{ -} \end{align*}

характеристический многочлен матрицы A (здесь \tr A=a+d). Тогда

\begin{align*} f(A) &= A^2-(a+d)A+(ad-bc)E={} \\ &= \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd\\ ca+dc & cb+d^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} (a+d)a & (a+d)b\\ (a+d)c & (a+d)d \end{pmatrix} +{} \\ & \quad {}+ \begin{pmatrix} ad-bc & 0\\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}

(т. е. в этом частном случае мы видим, что справедлива теорема Гамильтона Кэли о том, что матрица A является корнем своего характеристического многочлена f(\lambda)=|A-\lambda E| для (2\times 2) -матриц).

Теорема 8.6.3. Пусть K — поле,

A\in M_{n}(K),

\Delta_A: K[t]\to M_{n}(K) \text{ -} отображение, для которого \Delta_A(f(t))=f(A) для f(t)\in K[t]. Тогда

  1. \Delta=\Delta_A — гомоморфизм K -алгебр, т. е.
    \begin{align*} \Delta(f+g) &= (f+g)(A) = f(A)+g(A)= \Delta(f)+\Delta(g),\\ \Delta(fg) &= (fg)(A) = f(A)g(A) = \Delta(f)\Delta(g),\\ \Delta(\lambda f) &= (\lambda f)(A) = \lambda f(A) = \lambda\Delta(f) \end{align*}

    для всех f,g\in K[t], \lambda\in K ;

  2. \Ker \Delta_A = \{f(t)\in K[t]\mid f(A)=0\} — ненулевой идеал кольца K[t].

Доказательство.

  1. Пусть f(t) = a0+a1t+…+antn, g(t) = b0+b1t+…+bmtm, где a_i,b_j\in K, и пусть \lambda\in K. Тогда

    а) если n \geq m, то

    (f+g)(A)=\sum_{i=0}^{n}(a_i+b_i)A^i= \sum_{i=0}^{n}a_iA^i+\sum_{i=0}^{m}b_iA^i= f(A)+g(A)

    (здесь bn=…=bm+1=0);

    б) если (fg)(t)=c0+c1t+…+cm+ntm+n, где

    c_k=\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i},

    то

    (fg)(A)=\sum_{k=0}^{m+n}c_k A^k;

    с другой стороны,

    \begin{mult} f(A)g(A)= \biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_iA^i\biggr)\biggl(\,\sum_{j=0}^{m}b_jA^j\biggr)={} \\* {}=\sum_{k=0}^{m+n}\biggl(\,\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}\biggr)A^k= \sum_{k=0}^{m+n}c_kA^k, \end{mult}

    т. е. (fg)(A)=f(A)g(A) ;

    в)

    (\lambda f)(A) = \sum_{i=0}^{n} (\lambda a_i)A^i = \lambda \biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_i A^i\biggr)= \lambda f(A).

  2. Если f(t),g(t)\in\Ker\Delta, h(t)\in K[t], \lambda\in K, то f(A)=0, g(A)=0, и поэтому

    \begin{align*} (f+g)(A) &= f(A)+g(A)=0+0=0,\\ (fh)(A) &= f(A)h(A) = 0\cdot h(A)=0,\\ (\lambda f)(A) &= \lambda f(A) = \lambda\cdot 0=0. \end{align*}

    Итак, \Ker\Delta\lhd K[t] (т. е. \Ker\Delta — идеал K -алгебры K[t]).

    Так как система матриц

    E,A,A^2,...,A{n^2+1}

    линейно зависима в Mn(K) (поскольку \dim_K M_{n}(K)=n^2), то найдутся (не все нулевые) элементы a_0,a_1,...,a_{n^2+1}\in K, для которых

    a_0 E+a_1 A+...+a_{n^2+1}A^{n^2+1}=0,

    т. е.

    0\neq f(t)=a_0+a_1t+...+a_{n^2+1}t^{n^2+1}\in\Ker\Delta.

    Итак, \Ker\Delta\neq 0.

Замечание 8.6.4. Более сильное утверждение о том, что

|A-tE|\in\Ker\Delta,

является содержанием следующей теоремы. (теорема Гамильтона Кэли, \deg |A-tE|=n), таким образом, любая квадратная матрица A является корнем своего характеристического многочлена |A-tE|.

Теорема 8.6.5 (теорема Гамильтона—Кэли). Пусть K — поле (или даже коммутативное ассоциативное кольцо с 1), A\in M_n(K), p(t)=|A-tE|\in K[t] — характеристический многочлен квадратной матрицы A, \deg p(t)=n. Тогда

p(A)=0\in M_n(K).

Доказательство. Для матрицы

D=A-tE=(d_{ij})\in M_n(K[t]),

d_{ij}\in K[t], рассмотрим присоединенную матрицу

B=(b_{ij})\in M_n(K[t]),

b_{ij}=D_{ji}\in K[t] — алгебраическое дополнение элемента d_{ji}. Тогда \deg(b_{ij}(t)) \leq n-1, и поэтому B=B(t)=B0+tB1+…+tn-1Bn-1, где B_i\in M_n(K). Так как p(t)=|A-tE|=(-1)ntn+cn-1tn-1+…+c1t+c0, где c_i\in K, i=0,1,…,n-1, D\cdot B=|D|\cdot E

, то

\begin{equation}\label{unuGK} (A-tE)B(t)=p(t)E. \end{equation} (8.1)

Приравнивая матричные коэффициенты при степенях tk, 0 \leq k \leq n, в левой и правой частях этого равенства, получаем:

\begin{equation}\label{duGK} \begin{alignedat}{2} &t^n: &\quad & -B_{n-1}=(-1)^nE, \\ &t^{n-1}: && A\cdot B_{n-1}-B_{n-2}= c_{n-1}E, \\ &t^{n-2}: && A\cdot B_{n-2}-B_{n-3}= c_{n-2}E, \\ & ... && ... \\ &t: && A\cdot B_1-B_0= c_1E, \\ &t^0: && A\cdot B_0= c_0E. \end{alignedat} \end{equation} (8.2)

Умножая слева равенства (8.2) на An,An-1,…,A,E соответственно, получаем

\begin{equation}\label{triGK} \begin{aligned} & \!-A^n\cdot B_{n-1}=(-1)^nA^n, \\ & \,\phm A^n\cdot B_{n-1}-A^{n-1}\cdot B_{n-2}= c_{n-1}A^{n-1}, \\ & \,\phm... \\ & \,\phm A^2\cdot B_1-A\cdot B_0= c_1A, \\ & \,\phm A\cdot B_0= c_0E. \end{aligned} \end{equation} (8.3)

Складывая равенства (8.2), получаем

M_n(K)\ni 0=p(A).

Замечание 8.6.6. Отметим, что равенства (8.2) показывают, что матрицы B0,B1,…,Bn-1 являются многочленами от матрицы A, в частности, BiA=ABi, i=0,1,…,n-1. Поэтому можно было подставить в (8.1) вместо переменной t матрицу A, и тогда

\begin{mult} M_n(K)\ni 0=(A-AE)(B_0+AB_1+...+A^{n-1}B_{n-1})={} \\ {}\stackrel{(8.1)}{=} p(A)\cdot E=p(A). \end{mult}

Замечание 8.6.7. Очевидное равенство |A-AE|=0\in K не является доказательством теоремы Гамильтона Кэли.

Упражнение 8.6.8. Аннулирующий многочлен минимальной степени \varphi_A(t) жордановой клетки r-го порядка

A= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & \lambda & 1 & ... & 0\\ 0 & 0 & \lambda & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & ... & \lambda \end{pmatrix}

равен

\varphi_A(t)=(\lambda-t)^r=|A-tE|.

Упражнение 8.6.9. Если

A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

то

\varphi_A(t)=(1-t)^2,\quad |A-tE|=(1-t)^3.

Алгебра матриц

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных матриц размера mxn

Через Mm,n(K) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем K фиксированного размера m\times n (для краткости обозначения, Mn(K)=Mn,n(K) — совокупность всех квадратных (n\times n)-матриц). Как для пространства строк Kn=M1,n(K) и для пространства столбцов \hat K^n=M_{n,1}(K), так и для Mm,n(K) определены операции сложения матриц C=A+B ( cij=aij+bij для каждого места (i,j)) и умножения матрицы на число c\in K D=cA ( dij=caij для каждого места (i,j)). Как и для совокупности строк Kn=M1,n(K), так и для Mm,n(K) непосредственно проверяется выполнение всех аксиом линейного пространства (в частности, нейтральным элементом в Mm,n(K) будет нулевая матрица 0 с нулями на всех местах, -A=(-1)A).

Произведение матриц

Если

A=(a_{ij})\in M_{r,m}(K),\quad B=(b_{ij})\in M_{m,n}(K)

то мы определили их произведение

AB=U=(u_{ij})\in M_{r,n}(K),

полагая

u_{il}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kl}

(т. е. элемент матрицы AB, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца получается «умножением» i -й строки (длины m) матрицы A на j -й столбец (длины m) матрицы B). Таким образом, условие возможности перемножить две прямоугольные матрицы A и B заключается в том, что длина строк левого множителя A совпадает с длиной столбцов правого множителя B .

Примеры вычисления произведения AB

Пример 8.2.1.

\begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & m+n\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad m,n\in Z.

Пример 8.2.2.

\begin{pmatrix} k_1 & ... & k_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_1\\ \vdots\\ l_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1l_1+... k_nl_n \end{pmatrix} \in M_{1}(K)=K.

Пример 8.2.3.

\begin{gathe} \begin{pmatrix} \phm 2 & -1\\ \phm 1 & \phm 0\\ -3 & \phm 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -5 & -2\\ 3 & \phm 0 & \phm 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -10 & -8\\ \phm 1 & -5 & -2\\ \phm 9 & \phm 15 & \phm 22 \end{pmatrix};\\ \begin{pmatrix} 1 & -5 & -2\\ 3 & \phm 0 & \phm 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phm 2 & -1\\ \phm 1 & \phm 0\\ -3 & \phm 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phm 3 & -9\\ -6 & \phm 13 \end{pmatrix}. \end{gathe}

Пример 8.2.4. Пусть

E_r = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & ... & 1 \end{pmatrix} \in M_r(K)

(единичная матрица размера r\times r), A\in M_{r,m}(K), тогда ErA=A, AEm=A. В частности, если E=En, A\in M_n(K), то EA=A=AE.

Матричные единицы Eij

Обозначим через Eij матрицу, в которой на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит 1, а на всех остальных местах стоит 0. Тогда в Mn(K) имеем

E_{ij}E_{kl} = \begin{cases} E_{il}, & \text{если } j=k,\\ 0 \text{ (нулевая матрица)}, & \text{если } j\neq k \end{cases}

(или E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}, где

\delta_{jk} = \begin{cases} 1, & \text{если } j=k,\\ 0, & \text{если } j\neq k \end{cases} \text{ -}

символ Кронекера).

Важные следствия умножения матричных единиц

Следствие 8.3.1. Так как в Mn(K) при n \geq 2

E_{11}E_{12}=E_{12}\neq 0 = E_{12}E_{11},

то:

а) умножение матриц некоммутативно;

б) имеются делители нуля (ненулевые элементы, произведение которых равно нулю).

Задача 8.3.2. Найти в Mn(K) все делители нуля. Точнее, доказать, что для A\in M_n(K) следующие условия равносильны:

  1. AX=0 для некоторой матрицы 0\neq X\in M_n(K) ;
  2. YA=0 для некоторой матрицы 0\neq Y\in M_n(K) ;
  3. |A|=0.

Матрицы элементарных преобразований

Следствие 8.3.3. Пусть c\in K, i\neq j, и

e_{ij}^c=E+cE_{ij}\in M_m(K)

(в этой матрице в отличие от единичной матрицы на месте (i,j) вне диагонали стоит c). Ясно, что |e_{ij}^c|=1

.

а) Если i\neq j, e_{ij}^c\in M_m(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A'=e_{ij}^cA получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 1-го типа: A’i=Ai+cAj.

б) Если i\neq j, e_{ij}^c\in M_n(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A'=Ae_{ij}^c получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 1-го типа: \hat A'_j=\hat A_j+c\hat A_i.

Следствие 8.3.4. Пусть i\neq j и tij — матрица, полученная из единичной матрицы E_m\in M_m(K) перестановкой i-й и j-й строк (или, что то же самое, перестановкой i-го и j-го столбцов). Ясно, что |tij|=-1.

а) Если t_{ij}\in M_m(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A’=tijA получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 2-го типа: A’i=Aj, A’j=Ai.

б) Если t_{ij}\in M_n(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A’=Atij получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 2-го типа: \hat A'_i=\hat A_j, \hat A'_j=\hat A_i.

Следствие 8.3.5. Пусть \lambda_1,...,\lambda_m\in K,

d(\lambda_1,...,\lambda_m)= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0\\ 0 & \lambda_2 & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & ... & \lambda_m \end{pmatrix} \in M_{m}(K) \text{ -}

диагональная матрица с элементами \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m\in K на диагонали. Ясно, что |d(\lambda_1,...,\lambda_m)|= \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot...\cdot \lambda_m.

а) Если d(\lambda_1,...,\lambda_m) \in M_{m}(K) и A\in M_{m,n}(K), то

d(\lambda_1,...,\lambda_m)A= \begin{pmatrix} \lambda_1 A_1\\ \lambda_2 A_2\\ \vdots\\ \lambda_m A_m \end{pmatrix} \text{ -}

матрица, получаемая из матрицы A умножением строк A1,…,Am соответственно на «числа» \lambda_1,...,\lambda_m

.

б) Если d(\lambda_1,...,\lambda_n)\in M_{n}(K) и A\in M_{m,n}(K), то

A\,d(\lambda_1,...,\lambda_n)= (\lambda_1\hat A_1,...,\lambda_n \hat A_n)\text{ -}

матрица, получаемая из матрицы A умножением столбцов \hat A_1,...,\hat A_n соответственно на «числа» \lambda_1,...,\lambda_n.

В частности, умножение слева матрицы A на матрицу d(1,...,{\lambda_i\!=\!c},...,1), c\neq 0, равносильно применению к строкам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа A’i=cAi (умножение справа на матрицу такого типа дает применение к столбцам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа \hat A'_i=c\hat A_i).

Замечание 8.3.6. Ясно, что \lambda E=d(\lambda,...,\lambda) и (\lambda E)A=\lambda A=A(\lambda E) для E=En, A\in M_n(K), т. е. \eemph{скалярная} матрица \lambda E перестановочна с любой другой матрицей из Mn(K).

Задача 8.3.7. Пусть K — поле, n\in N, n\geq 2,

Z(M_{n}(K))=\{A\in M_{n}(K)\mid AB=BA\kvsp\forall B\in M_{n}(K)\}.

Тогда A\in Z(M_{n}(K)) в том и только в том случае, когда A=\lambda E_n, \lambda\in K

.

Следствие 8.3.8 (матричная запись системы линейных уравнений). Для системы линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} a_{11}x_1 & {}+...+{} & a_{1n}x_n & {}={} & b_1,\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{m1}x_1 & {}+...+{} & a_{mn}x_n & {}={} & b_m \end{array} \right.

возможна матричная запись AX=B, где A=(aij) — (m,n) -матрица коэффициентов,

X= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \text{ -}

столбец неизвестных,

B= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix} \in M_{m,1}(K) \text{ -}

столбец свободных членов.

Таким образом, строка (k1,…,kn) является решением системы линейных уравнений, если столбец

\begin{pmatrix} k_1\\ \vdots\\ k_n \end{pmatrix} \in M_{n,1}(K)

является решением матричного уравнения

A \begin{pmatrix} k_1\\ \vdots\\ k_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}.

Замечание 8.3.9 (Штрассен, 1969). Умножение двух (2\times 2) -матриц можно осуществить с использованием 7 умножений и 18 сложений (вместо 8 умножений и 4 сложений в обычном определении произведения матриц

\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f\\ g & h \end{pmatrix} = \left( \begin{smallmatrix} \begin{array}{@{}>{\scriptstyle}l@{}} (a-d)(e-h)+(b-d)(g+h)+{}\\ {}+d(e+g)+(a-b)h \end{array} & -(a-b)h+a(h+f)\\ (-d+c)e+d(e+g) & \begin{array}{@{}>{\scriptstyle}l@{}} (a-d)(e-h)-(a-c)(e+f)+{}\\ {}+a(h+f)-(c-d)e \end{array} \end{smallmatrix}\right).

Это соображение развивает идею алгоритма А. А. Карацубы (1962 г.) быстрого умножения многочленов. Дальнейший прогресс в теории быстрого умножения чисел, многочленов, матриц связан, в частности, с использованием быстрого преобразования Фурье.

Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Теорема 9.5.1. Пусть A,B,C\in M_{m,n}(K), B и C — ступенчатые матрицы, полученные из ненулевой матрицы A конечным числом элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов. Тогда:

  1. системы строк {B1,…,Bm} матрицы B и {C1,…,Cm} матрицы C в линейном пространстве строк Kn линейно выражаются друг через друга (другими словами, линейные оболочки строк матриц A, B и C в K^n совпадают: \langle A_1,...,A_m\rangle = \langle B_1,...,B_m\rangle = \langle C_1,...,C_m\rangle
  2. числа r1 и r2 ненулевых строк в ступенчатых матрицах B и C соответственно совпадают (при этом r=r_1=r_2=\dim_K \langle A_1,...,A_m\rangle ; другие интерпретации числа r=r(A) будут даны в теореме 9.16.1 о ранге матрицы);
  3. лидеры строк ступенчатых матриц B и C располагаются в одних и тех же столбцах;
  4. если B и C — главные ступенчатые виды ненулевой матрицы A \in M_{m,n}(K), то B=C.

Доказательство.

  1. В силу замечания 9.4.5, в линейном пространстве строк Kn системы строк {A1,…,Am} матрицы A и {B1,…,Bm} матрицы B линейно выражаются друг через друга. Аналогично, системы строк {A1,…,Am} матрицы A и {C1,…,Cm} матрицы C также линейно выражаются друг через друга. Принимая во внимание транзитивность линейной выражаемости систем строк (см. следствие 9.4.2), получаем, что системы строк {B1,…,Bm} матрицы B и {C1,…,Cm} матрицы C линейно выражаются друг через друга. Следовательно,
    \langle A_1,...,A_m\rangle = \langle B_1,...,B_m\rangle = \langle C_1,...,C_m\rangle.
  2. Так как ненулевые строки ступенчатой матрицы образуют максимально независимую подсистему строк, то из 1) следует, что r1=r2 (см. следствие 9.4.10), при этом
    \begin{mult} r=r_1=r_2=\dim \langle B_1,...,B_m\rangle={} \\* {}= \dim \langle C_1,...,C_m\rangle=\dim \langle A_1,...,A_m\rangle. \end{mult}
  3. Пусть лидеры r ненулевых строк B1,B2,…,Br ступенчатой матрицы B расположены в столбцах с номерами k1,k2,…,kr, k1<k2<…<kr, а лидеры r ненулевых строк C1,C2,…,Cr ступенчатой матрицы C расположены в столбцах с номерами l1,l2,…,lr, l1<l2<…<lr. Так как системы строк {B1,B1_2,…,Br}, {C1,C2,…,Cr} линейно выражаются друг через друга, то, в силу леммы 3.5.5 и следствия 3.5.6, k1=l1 ( k_1 \geq \min\{l_i\}=l_1 ; l_1 \geq \min\{k_i\}=k_1).

    Продолжая этот процесс, убеждаемся в том, что k_3=l_3,...,\allowbreak k_r=l_r.

  4. В 2) и 3) доказано, что число ненулевых строк r и номера столбцов l1,…,lr, 1 \leq l_1<l_2...<l_r \leq n, в которых находятся главные неизвестные главных ступенчатых видов B и C, определены однозначно. Таким образом, разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами B и C, совпадают. Поскольку главные неизвестные однозначно выражаются через свободные (в эквивалентных однородных системах линейных уравнений с главными ступенчатыми матрицами B и C), при этом главный ступенчатый вид определяется этим выражением однозначно (см. замечание 3.6.9, то B=C).

Замечание 9.5.2 (матричное доказательство п. 4 теоремы о единственности главного ступенчатого вида). Для A\in M_{m,n}(K) существуют такие обратимые матрицы F,G\in M_m(K) (произведения матриц, соответствующих элементарным преобразованиям строк), что

A=F\cdot B=G\cdot C.

Следовательно,

B=D\cdot C,\ \ \text{где}\ \ D=F^{-1}G.

Используя определение главного ступенчатого вида и переставляя столбцы матриц B и C, имеем:

\begin{equation}\label{new7z} B\cdot Q= \left( \begin{array}{c|c} E_r & \text{\large * } \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right) = D \cdot \left( \begin{array}{c|c} E_r & \text{\large {*} }' \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right) = D\cdot C\cdot Q, \end{equation} (9.1)

где Q\in M_n(K) (матрица Q — обратимая матрица, соответствующая последовательности элементарных преобразований столбцов; мы уже доказали в п. 2 и 3, что числа r и столбцы j1,…,jr, в которых стоят лидеры строк, одинаковы для ступенчатых матриц B и C, соответственно; нулевые блоки могут отсутствовать (если k=r=m)). Следовательно, матрица D имеет следующий блочный вид:

D= \left( \begin{array}{c|c} E_r & \raisebox{-3.5mm}[0pt][0pt]{\text{\large$\tilde{*}$}} \\ \cline{1-1} 0 \end{array} \right),

где матрица \tilde * \in M_{m,m-r}(K) (если r<m) состоит из произвольных элементов поля K. Поэтому, умножая D на

\left( \begin{array}{c|c} E_r & \text{\large {*} }' \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right)

и приравнивая к

\left( \begin{array}{c|c} E_r & \text{\large * } \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right),

получаем, что *=*’\in M m-r, n-r. Умножая (9.1) справа на Q-1, получаем B=C.

Проективная размерность подпространств и проективная геометрия PG(KV )

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Если \dim {}_K V=n, U\in L({}_K V) — линейное подпространство в K V, то определим проективную размерность

\pdim U=\dim {}_K U-1.

Таким образом, нулевое подпространство в K V имеет проективную размерность, равную -1 ; одномерные линейные подпространства имеют нулевую проективную размерность (их называют точками проективной геометрии); двумерные линейные подпространства имеют проективную размерность, равную 1 (их называют прямыми проективной геометрии); и т. д., \pdim V = n-1. Обозначая через G_i совокупность всех (i+1)-мерных линейных подпространств в K V, получаем (n-1)-мерную проективную геометрию PG(K V)={G0,G1,…,Gn-1}, где G0 — множество точек, G1 — множество прямых, G2 — плоскостей, Gi — множество i -мерных плоскостей, с отношением инцидентности U\prec W для U\in G_i, W\in G_j, где 0 \leq i \leq j \leq n-1, означающим, что U\subseteq W.

Теорема о ранге матрицы

Пусть A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K) — прямоугольная (m\times n) -матрица с элементами a_{ij} из поля K. Определитель M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k} квадратной (k\times k) -матрицы, состоящей из элементов на пересечении k строк с номерами i1,…,ik и k столбцов с номерами j1,…,jk, называется минором k-го порядка матрицы A. Наивысший порядок ненулевого минора матрицы A обозначим через r(A).

Теорема 9.16.1 (о ранге матрицы). Следующие четыре числовые характеристики матрицы A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K) совпадают:

  1. r(A1,…,Am) (ранг системы строк, в Kn);
  2. r(\hat A_1,...,\hat A_n) (ранг системы столбцов, в \hat K^n);
  3. r(A) (наивысший порядок ненулевого минора);
  4. число ненулевых строк r в ступенчатом виде A матрицы A.

(Это совпадающее число называется рангом матрицы A } и будет обозначаться через r(A)).

Доказательство разобьем на четыре леммы.

Лемма 9.16.2. Пусть матрица \tilde A получена из матрицы A элементарным преобразованием строк (столбцов) 1-го или 2-го типа, тогда r(A)=r(\tilde A). Если A — ступенчатая форма, к которой приводится матрица A, то r(A)=r(A).

Доказательство проведем для преобразований строк (для столбцов все аналогично).

Случай 1. A’i=Ai+cAj, c\in K, i\neq j. Для k>r(A) рассмотрим минор \tilde M=\tilde M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k} в \tilde A.

а) Если i\notin \{i_1,...,i_k\}, то \tilde M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0.

б) Если i,j\in \{i_1,...,i_k\}, то \tilde M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0.

в) Если i\in\{i_1,...,i_k\}\not\ni j, то разложим определитель \tilde M по i -й строке A’i=Ai+cAj в сумму двух определителей: \tilde M=M+c\tilde\Delta=0, так как M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0, поскольку k>r(A), определитель \tilde\Delta в качестве i -й строчки имеет часть строки Aj, но j\notin\{i_1,...,i_k\}, и поэтому \tilde\Delta отличается от минора матрицы порядка k перестановкой двух строк, и поэтому \tilde\Delta=0. Итак, r(\tilde A) \leq r(A). Поскольку от A к \tilde A можно вернуться элементарным преобразованием строк, то r(A) \leq r(\tilde A).

Случай 2. A_i\leftrightarrow A_j разбирается аналогично ( i,j\in\{i_1,...,i_k\} ; i,j\notin\{i_1,...,i_k\} ; i\in\{i_1,...,i_k\}\not\ni j).

Лемма 9.16.3 (о сохранении линейных соотношений между столбцами при элементарных преобразованиях строк). Пусть от матрицы A к матрице A’ мы перешли элементарными преобразованиями строк, тогда столбцы матриц A и A’ имеют одни и те же линейные соотношения, а именно, k_1\hat A_1+...+k_n\hatA_n=0 тогда и только тогда, когда k_1\hat A'_1+...+k_n\hat A'_n=0.

Доказательство. Ясно, что элементарные преобразования 1-го и 2-го типа для строк сохраняют линейное соотношение для столбцов и эти преобразования обратимы.

Следствие 9.16.4. Система столбцов \hat A_{j_1},...,\hat A_{j_r} матрицы A линейно зависима (соответственно, линейно независима или является максимальной линейно независимой подсистемой в \hat A_1,...,\hat A_n\in \hat K^m) тогда и только тогда, когда соответствующая система столбцов (с теми же номерами) \hat A'_{j_1},...,\hat A'_{j_r} матрицы A’ линейно зависима (соответственно линейно независима или является максимальной линейно независимой подсистемой в \hat A'_1,...,\hat A'_n\in \hat K^m).

Следствие 9.16.5. r\{\hat A_1,...,\hat A_n\}=r\{\hat A'_1,...,\hat A'_n\}.

Лемма 9.16.6. Если A — ступенчатая матрица, то наивысший порядок ненулевого минора r(A) совпадает с числом r ненулевых строк.

Доказательство.

  1. Минор r-го порядка на пересечении r ненулевых строк и столбцов, проходящих через уголки ступенек, является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на главной диагонали, и поэтому отличен от нуля.
  2. Все миноры, порядок которых больше r, нулевые, так как имеют нулевую строку.

Лемма 9.16.7. В ступенчатой матрице A ранг системы столбцов совпадает с числом r ненулевых строк (а именно, столбцы, проходящие через уголки ступенек, образуют максимальную линейно независимую подсистему столбцов).

Доказательство.

  1. Указанные столбцы линейно независимы, так как проходят через (r\times r) -матрицу с ненулевым определителем.
  2. Любой столбец ступенчатой матрицы является линейной комбинацией указанных.

Следствие 9.16.8 (алгоритм нахождения максимальной линейно независимой подсистемы в системе столбцов прямоугольной матрицы). От матрицы A перейдем к ступенчатой матрице A с помощью элементарных преобразований строк 1-го и 2-го типов, запомним номера столбцов j1,…,jr, проходящих через уголки ступенек в A, в матрице A возьмем столбцы с этими номерами \hat A_{j_1},...,\hat A_{j_r}.

Пример 9.16.9. Найти какую-либо максимальную линейно независимую подсистему строк в системе a_1,a_2,a_3,a_4\in R^4,

\begin{gathe} a_1=(-1,4,-3,-2),\quad a_2=(3,-7,5,3), \\ a_3=(3,-2,1,0),\quad a_4=(-4,1,0,1), \end{gathe}

а остальные строки выразить как линейные комбинации строк этой подсистемы.

Решение Записываем строки a1, a2, a3, a4 как столбцы и приводим полученную матрицу к главному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

\begin{multline*} \begin{pmatrix} -1 & \phm 3 & \phm 3 & -4\\ \phm 4 & -7 & -2 & \phm 1\\ -3 & \phm 5 & \phm 1 & \phm 0\\ -2 & \phm 3 & \phm 0 & \phm 1 \end{pmatrix}\to{} \begin{pmatrix} -1 & \phm 3 & \phm 3 & -4\\ \phm 0 & \phm 5 & \phm 10 & -15\\ \phm 0 & -4 & -8 & \phm 12\\ \phm 0 & -3 & -6 & \phm 9 \end{pmatrix}\to{} \\ {}\to \left( \begin{array}{cccc} \multicolumn{1}{|c}{-1} & 3 & 3 & -4\\ \cline{1-1} \phm 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 2 & -3\\ \cline{2-4} \phm 0 & 0 & 0 & \phm 0\\ \phm 0 & 0 & 0 & \phm 0 \end{array}\right) \to \left( \begin{array}{cccc} \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 3 & -5\\ \cline{1-1} 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 2 & -3\\ \cline{2-4} 0 & 0 & 0 & \phm 0\\ 0 & 0 & 0 & \phm 0 \end{array}\right). \end{multline*}

Записываем номера столбцов в ступенчатом виде, проходящие через уголки ступенек: 1, 2. Поэтому {a1,a2} — максимальная линейно независимая подсистема, a3=3a1+2a2, a4=-5a1-3a2 ; ранг системы строк a1, a2, a3, a4 равен 2.

Завершение доказательства теоремы о ранге:

\begin{align*} & \mr(\hat A_1,\ldots,\hat A_n) \stackrel{\text{лемма~9.16.3}}{=} \mr(\Hat{\Bar A}_1,\ldots,\Hat{\Bar A}_n) \text{ (ранг столбцов}\\ & \quad {} \text{ступенчатой матрицы $\bar A$)} \stackrel{\text{лемма~9.16.7}}{=} r \stackrel{\text{лемма~9.16.6}}{=}{} \\ & \quad {}= \mr(\bar A) \stackrel{\text{лемма~9.16.2}}{=}{} \mr(A) = \mr(A^*) \stackrel{\text{лемма~9.16.3}}{=} \mr(A_1,\ldots,A_m). \end{align*}

Теорема 9.16.10. Пусть A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K), B=(b_{ij})\in M_{n,r}(K). Тогда

r(AB) \leq r(A),\quad r(AB) \leq r(B).

Доказательство. Пусть C=(cij)=AB. Тогда

\begin{align*} c_{ij} &= a_{i1}b_{1j}+...+a_{in}b_{nj},\\ C_i &= a_{i1}B_1+...+a_{in}B_n,\\ \hat C_j &= \hat A_1b_{1j}+...+\hat A_n b_{nj}, \end{align*}

т. е. строки матрицы C линейно выражаются через строки матрицы B, столбцы матрицы C линейно выражаются через столбцы матрицы A. Поэтому r(C) \leq r(B) и r(C) \leq r(A)

.

Следствие 9.16.11. При умножении на квадратную матрицу A с |A|\neq 0 ранг не меняется.

Доказательство. Так как

|A|\neq 0

, то существует обратная матрица A-1. Поэтому (BA)A-1=B=A-1(AB), и следовательно,

r(B) \leq r(BA),\quad r(B) \leq r(AB).

Ранее мы доказали, что

r(B) \geq r(BA),\quad r(B) \geq r(AB).

Поэтому

r(B)=r(BA),\quad r(B)=r(AB).

Задачи 9.16.12.

  1. В условиях теоремы:
    r(A)+r(B)-n \leq r(AB).
  2. Если A,B,C\in M_{n}(K) и ABC=0, то
    r(A)+r(B)+r(C) \leq 2n.
  3. Пусть A\in M_{m,n}(K), B\in M_{n,m}(K) и m>n. Покажите, что \det (AB)=0.

    Доказательство. Так как AB\in M_{m}(K), то

    r(AB) \pleq r(B) \pleq n<m.
  4. Если A^2=A\in M_{n}(K), то
    r(A)+r(E-A)=n.
  5. Если A,B\in M_{n}(K) и A2=A, AB=0=BA, то
    r(A+B)=r(A)+r(B).
  6. Если A,B\in M_{n}(K), AB=BA, r(A^2)=r(A) и r(B^2)=r(B), то
    r((AB)^2)=r(AB).
  7. Если A_1,...,A_k\in M_{n}(K), k \geq 2, то
    r(A_1... A_k) \geq r(A_1)+...+r(A_k)-n(k-1).

Теорема 9.16.13 (о факториальном ранге). Пусть m,n\in N, A\in M_{m,n}(K). Ранг матрицы r(A) равен наименьшему числу k такому, что

A=B\cdot C,\ \ \text{где}\ \ B\in M_{m,k}(K),\ \ C\in M_{k,n}(K)

(это число k называется факториальным рангом матрицы A).

Доказательство. Допустим, что A=B\cdot C, где B\in M_{m,n}(K), C\in M_{k,n}(K). Тогда система столбцов матрицы A линейно выражается через систему столбцов матрицы B (их k штук). Поэтому r(A) \leq k.

Пусть k=r(A). Выберем строки A_{i_1},...,A_{i_k}, образующие максимальную линейно независимую подсистему строк A1,…,Am матрицы A,

A_i=\beta_{i1}A_{i_1}+...+\beta_{ik}A_{i_k},\quad \beta_{ij}\in K,\ \ 1 \leq i \leq m.

Рассмотрим матрицы B\in M_{m,k}(K), B=(\beta_{ij}), и C\in M_{k,n}(K), для которой j -я строка C_j=A_{i_j}, j=1,…,k. Тогда A=B\cdot C

.

Теорема 9.16.14 (теорема Кронекера—Капелли: критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц). Пусть (a_{ij}\mid b_i) — система m линейных уравнений с n неизвестными, A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K) — матрица коэффициентов,

A'= \left( \begin{array}{c|c} & b_1\\ A & \vdots\\ & b_m \end{array} \right)\text{ -}

расширенная матрица системы линейных уравнений.

а) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов A равен рангу расширенной матрицы A'=(A,\hat b), r(A)=r(A’).

б) Система линейных уравнений определенная тогда и только тогда, когда r(A)=r(A’)=n.

Доказательство.

  1. Используя определение ранга матрицы с помощью столбцов, видим, что всегда r(A) \leq r(A').
  2. Если (k1,…,kn) — решение, то
    k_1\hat A_1+...+k_n\hat A_n= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix},

    т. е. столбцы матрицы A’ линейно выражаются через столбцы матрицы A, следовательно, r(A') \leq r(A), и поэтому r(A’)=r(A).

  3. Пусть r(A’)=r(A)=r. Тогда максимальная линейно независимая система столбцов матрицы A содержит r столбцов, и поэтому она является и максимальной линейно независимой системой столбцов матрицы A’. Таким образом, столбец

    \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}

    линейно выражается через эту систему столбцов матрицы A, а поэтому и через все столбцы матрицы A,

    k_1\hat A_1+...+k_n\hat A_n= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}.

    Итак, существует решение (k1,…,kn) системы линейных уравнений.

    Второе доказательство. Элементарными преобразованиями приведем систему линейных уравнений к ступенчатому виду (ранги матриц не меняются при этом). Совпадение рангов означает отсутствие «экзотических» уравнений в ступенчатом виде, т. е. совместность системы линейных уравнений.

  4. Доказательство критерия определенности в терминах рангов). Если система определена, т. е. r(A)=r(A’), то она определена тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде нет свободных неизвестных, т. е. r(A)=r(A’)=n.

Линейные подпространства линейных пространств

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Собственные числа и собственные векторы матрицы

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Пусть K — поле, A\in M_{n}(K), 0\neq \hat X\in\hat K^n=\mM_{n,1}(K), \lambda\in K. Если A\cdot \hat X=\lambda\cdot \hat X, то \lambda называется собственным числом матрицы A, а \hat X — собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу \lambda.

Условие A\cdot\hat X=\lambda\cdot \hat X эквивалентно условию

(A-\lambda E)\hat X = \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \in \hat K^n,

где E\in M_{n}(K) — единичная матрица. При фиксированном \lambda это условие превращается в однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x1,…,xn

,

\hat X= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}.

Матрица A-\lambda E этой системы — квадратная матрица размера n. Поэтому наличие ненулевого решения этой системы равносильно тому, что |A-\lambda E|=0. Пусть t — переменная,

p(t)=|A-tE|=p_nt^n+p_{n-1}t^{n-1}+...+p_0\in K[t]\text{ -}

многочлен степени n от переменной t (называемый характеристическим многочленом матрицы A), при этом:

\begin{gathe} p_n=(-1)^n,\\ p_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=(-1)^{n-1}\tr A,\quad p_0=|A|. \end{gathe}

Мы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена из поля K

.

Если \lambda\in K и p(\lambda)=0, то все собственные векторы матрицы A относительно собственного числа \lambda — это все ненулевые решения системы

(A-\lambda E)\hat X=(0)\in\hat K^n.

Отметим, что множество всех собственных векторов матрицы A относительно собственного числа \lambda не образует линейного подпространства в \hat K^n, так как все эти векторы ненулевые. Но если к этому множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространство всех решений системы

(A-\lambda E)\hat X=(0).

Таким образом, если p(\lambda)=|A-\lambda E|=0, r=r(A-\lambda E), то 0 \leq r < n, то размерность пространства решений этой системы равна s=n-r, поэтому 1 \leq s \leq n. Если {X1,…,Xs} — какая\df либо фундаментальная система решений системы (A-\lambda E)\hat X=(0), то все собственные векторы матрицы A, отвечающие собственному числу \lambda, — это все нетривиальные линейные комбинации элементов \hat X_1,...,\hat X_s с коэффициентами из поля K.

Пример 9.19.1.

\begin{gathe} A = \begin{pmatrix} \phm 10 & 3\\ -5 & 2 \end{pmatrix},\quad K= R,\\ |A-\lambda E| = \begin{vmatrix} 10-\lambda & 3\\ -5 & 2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-12\lambda+35. \end{gathe}

Корни: \lambda_1=7, \lambda_2=5, \lambda_1,\lambda_2\in R (собственные числа матрицы A

).

Собственные векторы для \lambda_1=7 :

A-7E = \begin{pmatrix} \phm 3 & \phm 3\\ -5 & -5 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} \phm 3 & \phm 3\\ -5 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix},

ненулевые решения:

\left\{\left.\begin{pmatrix}\phm s\\-s\end{pmatrix}\right| s\in R,\ s\neq 0\right\}.

Собственные векторы для \lambda_2=5

:

A-5E = \begin{pmatrix} \phm 5 & \phm 3\\ -5 & -3 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} \phm 5 & \phm 3\\ -5 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix},

ненулевые решения:

\left\{\left.\begin{pmatrix}-3t\\\phm 5t\end{pmatrix}\right| t\in R,\ t\neq 0\right\}.

Пример 9.19.2.

\begin{gathe} K= C,\quad A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\\ p(\lambda)=|A-\lambda E|= \begin{vmatrix} -\lambda & \phm 1 & \phm 0\\ \phm 0 & -\lambda & \phm 2\\ \phm 0 & \phm 0 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3. \end{gathe}

Имеется лишь одно собственное число: \lambda=0. Собственные векторы относительно \lambda=0 задаются системой линейных уравнений

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.

Система уже имеет ступенчатый вид, x2, x3 — главные неизвестные, x1 — свободная переменная, множество собственных векторов относительно \lambda=0 :

\left\{\left. \begin{pmatrix} s\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right| s\in C,\ s\neq 0\right\}.

Пример 9.19.3. Если

A= \begin{pmatrix} \alpha_1 & & \lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ & \ddots\\ \lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}} & & \alpha_n \end{pmatrix} \text{ -}

диагональная матрица, то \alpha_1,...,\alpha_n — все корни характеристического многочлена матрицы A (и следовательно, собственные числа).

Линейное пространство строк над полем

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Систематическое рассмотрение строки коэффициентов (a_{i1},...,a_{in})\in K^n i-го уравнения ai1x1+…+ainxn=bi (i-я строка матрицы A=(aij) коэффициентов системы линейных уравнений), строки (a_{i1},...,a_{in},b_i)\in K^{n+1} всех коэффициентов i-го уравнения (включая свободный член bi i-й строки расширенной матрицы A=(aij,bi) системы линейных уравнений), строки \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in X\subseteq K^n, являющейся решением системы линейных уравнений, с операциями сложения и умножения на элементы из поля K естественно подвело нас к определению линейного пространства строк Kn.

Пусть K — поле (например, K= R — поле действительных чисел). Рассмотрим

K^n= \{(\alpha_1,...,\alpha_n)\mid \alpha_i\in K\} \text{ -}

совокупность всех упорядоченных строк \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) длины n элементов \alpha_i, i=1,…,n, поля K. На множестве Kn определены следующие операции.

  1. Сложение строк (бинарная операция):если
    \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n),\beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in K^n,

    то

    \alpha+\beta=(\alpha_1+\beta_1,...,\alpha_n+\beta_n).
  2. Для каждого элемента \lambda\in K (унарная) операция умножение строк на элемент \lambda\in K}: если
    \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n),

    то

    \lambda\alpha=(\lambda\alpha_1,...,\lambda\alpha_n).

Свойства операций

(1.1) Ассоциативность сложения строк: если \alpha,\beta,\gamma\in K^n, то (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma).

Действительно, на i-м месте в (\alpha+\beta)+\gamma и в \alpha+(\beta+\gamma) имеем (\alpha_i+\beta_i)+\gamma_i=\alpha_i+(\beta_i+\gamma_i) (ассоциативность сложения в поле K).

(1.2) Коммутативность сложения строк: если \alpha,\beta\in K^n, то \alpha+\beta=\beta+\alpha.

Действительно, на i-м месте в \alpha+\beta и в \beta+\alpha имеем \alpha_i+\beta_i=\beta_i+\alpha_i (коммутативность сложения в поле K).

(1.3) Нулевая строка (0,…,0) в Kn является нейтральным элементом для операции сложения в Kn, поскольку (\alpha_1,...,\alpha_n)\+(0,...,0)=(\alpha_1,...,\alpha_n) для любой строки (\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n.

(1.4) Для любой строки \alpha\in K^n существует противоположная строка \delta такая, что \alpha+\delta=(0,...,0).

Действительно, если \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), то для \delta=(-\alpha_1,...,-\alpha_n) ({}=(-1)\alpha) имеем \alpha+\delta=(0,...,0).

Таким образом, свойства (1.1)-(1.4) означают, что множество строк Kn с операцией сложения строк является коммутативной группой.

(2.1) Если 1\in K, \alpha\in K^n, то 1\cdot\alpha=\alpha.

Действительно, для \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) имеем 1\cdot\alpha=(1\alpha_1,...,1\alpha_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)= \alpha.

(2.2) Если \lambda_1,\lambda_2\in K, \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n, то \lambda_1(\lambda_2\alpha)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha.

Действительно, для \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n на i-м месте в \lambda_1(\lambda_2\alpha) и в (\lambda_1\lambda_2)\alpha имеем \lambda_1(\lambda_2\alpha_i)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha_i (ассоциативность умножения в поле K).

(3.1) Если \lambda\in K, \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), \beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in K^n, то \lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta.

Действительно, на i-м месте в \lambda(\alpha+\beta) и в\lambda\alpha+\lambda\beta имеем\lambda(\alpha_i+\beta_i)=\lambda\alpha_i+\lambda\beta_i (дистрибутивность в поле K).

(3.2) Если \lambda_1,\lambda_2\in K, \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n, то (\lambda_1+\lambda_2)\alpha=\lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha.

Действительно, на i-м месте в (\lambda_1+\lambda_2)\alpha и в \lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha имеем (\lambda_1+\lambda_2)\alpha_i=\lambda_1\alpha_i+\lambda_2\alpha_i (дистрибутивность в поле K).

Определение 4.1.1. Множество V с операцией сложения и операциями умножения на элементы \lambda поля K, удовлетворяющее свойствам (1.1)-(1.4), (2.1), (2.2), (3.1), (3.2), называется линейным пространством над полем K.

Итогом наших проверок является

Теорема 4.1.2. Множество Kn строк длины n элементов поля K с операцией сложения и с операциями умножения на элементы \lambda поля K является линейным пространством над полем K.

Определение 4.1.3. Если

\alpha_1=(a_{11},...,a_{1n}),...,\alpha_m=(a_{m1},...,a_{mn}) \in K^n,

то совокупность всех линейных комбинаций строк \alpha_1,...,\alpha_m

\langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle= \biggl\{\,\sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i\mid \lambda_i\in K\biggr\}\subseteq K^n

называется линейной оболочкой строк \alpha_1,...,\alpha_m.

Лемма 4.1.4. Если \alpha_1,...,\alpha_m\in K^n, то линейная оболочка \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle является линейным пространством (подпространством в линейном пространстве строк Kn).

Доказательство. Для \lambda_i,\gamma_i\in K имеем:

\begin{gathe} \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i+ \sum\limits_{i=1}^{m}\gamma_i\alpha_i= \sum\limits_{i=1}^{m}(\lambda_i+\gamma_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ 0=\sum\limits_{i=1}^{m}0\cdot \alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ -\biggl(\,\sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i\biggr)= \sum\limits_{i=1}^{m}(-\lambda_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle. \end{gathe}

Кольцо многочленов от одной переменной

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Пусть K- произвольное поле.

Под многочленом (ненулевым) от одной переменной x с коэффициентами из поля K будем понимать формальное выражение вида f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn (иногда удобнее записывать эту сумму одночленов a_ix^i в другом порядке: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0), a_i\in K, a_n\ne 0 — старший коэффициент (anxn — старший член многочлена f(x)), a0 — свободный член, n=\deg f(x) — степень ненулевого многочлена f(x) (нулевой многочлен — это f(x)=a0=0).

Можно было вместо формальных выражений рассматривать счетные последовательности

(a_0,a_1,...,a_n,0,0,...),\quad a_i\in K,

в которых почти все ai (т. е. все, кроме конечного числа) равны нулю (нулевой многочлен — это последовательность, в которой все компоненты равны нулю).

Два многочлена f(x) и g(x) называются равными, если равны соответствующие коэффициенты при каждой степени xk переменной x.

Через K[x] обозначим множество всех многочленов f(x) с коэффициентами из поля K.

На множестве K[x] введем операции сложения и умножения, для f(x)=\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i,\quad g(x)=\sum\limits^s_{i=0}b_ix^i полагая f(x)+g(x)=\sum\limits_{i\geq 0}d_ix^i,\quad f(x)g(x)=\sum\limits_{i\geq 0}t_ix^i, где d_i=a_i+b_i,\quad t_i=\sum\limits_{\substack{k+l=i\\ 0\le k,l\le i}} a_kb_l.

Теорема 1.13.1. Множество K[x] с операциями сложения и умножения — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Доказательство.

  1. Так как при сложении складываются коэффициенты при одной степени xi, т. е. di=ai+bi, то ясно, что K[x] с операцией сложения — коммутативная группа.
  2. Учитывая определение коэффициента
    t_i=\sum\limits_{\substack{k+l=i\\ 0\le k,l\le i}} a_kb_l,

    заключаем, что операция умножения коммутативна.

    Пусть теперь

    h(x)=\sum\limits_{i\geq 0}c_ix^i.

    Тогда, подсчитывая коэффициенты при степени xi в (f(x)g(x))h(x) и в f(x)(g(x)h(x)), видим, что

    \sum\limits_{u+m=i}\biggl(\,\sum\limits_{k+l=u}a_kb_l\biggr)c_m=\sum\limits_{k+l+m=i}a_kb_lc_m=\sum\limits_{k+v=i}a_k\biggl(\,\sum\limits_{l+m=v}b_lc_m\biggr).

    Итак, мы проверили ассоциативность умножения многочленов.

    Ясно, что f(x)=1 (т. е. a0=1) является нейтральным элементом для операции умножения.

  3. Подсчитывая коэффициенты при степени xi в (f(x)+g(x))h(x) и f(x)h(x)+g(x)h(x), видим, что
    \sum_{k+l=i}(a_k+b_k)c_l=\sum_{k+l=i}a_kc_l+\sum_{k+l=i}b_kc_l,

    т. е. установлен закон дистрибутивности в K[x].

Замечание 1.13.2. Отображение K\to K[x], для которого a\mapsto f(x)=a_0=a, является инъективным гомоморфизмом колец (т. е. получили вложение поля K в кольцо многочленов K[x]).

Лемма 1.13.3. Пусть K — поле, f(x),g(x)\in K[x], 0\ne f(x), 0\ne g(x). Тогда

а) \deg(f(x)+g(x))\leq \max(\deg f(x),\deg g(x)).

б) \deg(f(x)g(x))=\deg f(x)+\deg g(x).

Доказательство.

а) Если i>\max(\deg f(x),\deg g(x)), то ci=ai+bi=0.

б) Если \deg f(x)=n, \deg g(x)=s и i>n+s, то

d_i= \sum\limits_{\substack{k+l=i\\ 0\le k,l\le i}}a_kb_l=0.

При этом d_{n+s}=a_nb_s\ne0 (поскольку a_n\ne 0, b_s\ne 0 и в поле K нет делителей нуля). Итак, d_{n+s}=a_nb_s\ne 0 — старший коэффициент многочлена f(x)g(x) — является произведением старших коэффициентов многочленов f(x) и g(x). Таким образом, \deg(f(x)g(x))=n+s=\deg f(x)+\deg g(x).

Следствие 1.13.4. Пусть K — поле. В кольце многочленов K[x] нет делителей нуля.

Доказательство. Как мы видели, если f(x)\ne 0, \deg f(x)=n, a_n\ne 0 — старший коэффициент многочлена f(x), g(x)\ne0, \deg f(x)=s, b_s\ne 0 — старший коэффициент многочлена g(x), то a_nb_s\ne 0 — старший коэффициент многочлена f(x)g(x), т. е.f(x)g(x)\ne 0.

Следствие 1.13.5. Пусть K — поле. В кольце K[x] (как в любом кольце без делителей нуля) можно сокращать на ненулевой многочлен, т. е. из f(x)g(x)=f(x)h(x), f(x)\ne 0, следует, что g(x)=h(x).

Кольца

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением \cdot) называется ассоциативным кольцом с единицей, если:

  1. относительно сложения (R,+) — абелева (т. е. коммутативная) группа;
  2. умножение — ассоциативная операция, и существует нейтральный элемент 1 (т. е. 1\cdot r=r=r\cdot 1 для всех r\in R), называемый единицей;
  3. сложение и умножение связаны законами дистрибутивности (a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb для всех a,b,c\in R.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо (R,{+},{\cdot}) называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.

Замечания 1.10.1.

  1. Исследуются и неассоциативные кольца. Например, если вместо ассоциативности 2) умножение удовлетворяет тождеству Якоби a(bc)+b(ca)+c(ab)=0 для всех a,b,c\in R и ab=-ba для всех a,b\in R, то такое кольцо называется кольцом Ли.
  2. Рассматриваются также и ассоциативные кольца без единицы. Например, четные числа R=2Z являются ассоциативным коммутативным кольцом без единицы.

Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец).

  1. Кольцо (Z,{+},{\cdot}) целых чисел; поля Q, R.
  2. Кольцо непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] (для f,g\in C[0,1], x\in [0,1]: (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x)).
  3. Кольцо многочленов R[x] с действительными коэффициентами.
  4. Кольцо вычетов (Z_n,{+},{\cdot})по модулю n.

Мы уже убедились, что группа вычетов (Zn,+)={C0,C1,…,Cn-1}, Ck=k+nZ, по модулю n с операцией сложения C_k+C_l=C_{k+l}=C_r,\ \ \text{где}\ \ k+l=nq+r,\ 0 \leq r \leq n-1, является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).

Определим операцию умножения, полагая C_k\cdot C_l=C_{kl}=C_s,\ \ \text{где}\ \ kl=n\tilde q+s,\ 0 \leq s \leq n-1. Проверим корректность этой операции. Если Ck=Ck’, Cl=Cl’, то k’=k+nu, l’=l+nv, k'\cdot l'=kl+n(kv+ul+nuv), и поэтому Ck’l’=Ckl.

Так как (CkCl)Cm=C(kl)m=Ck(lm)=Ck(ClCm), CkCl=Ckl=Clk=ClCk, C1Ck=Ck=CkC1, (Ck+Cl)Cm=C(k+l)m=Ckm+lm=CkCm+ClCm, то (Z_n,{+},{\cdot}) является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C1 кольцом вычетов по модулю n).

Свойства колец (R,+,.)

  1. Так как (R,+) — абелева группа, то: существует, и единственный, нейтральный элемент относительно сложения 0; для любого a\in R существует, и единственный, противоположный элемент -a (т. е. a+(-a)=0); уравнение x+b=a имеет, и единственное, решение x=a-b=a+(-b).
  2. Справедлив обобщенный закон ассоциативности для умножения, т. е. результат произведения для n сомножителей не зависит от расстановки скобок; единичный элемент 1 — единственный нейтральный элемент (см. теорему 1.3.2).
  3. Проводя индукцию по n, убеждаемся в том, что (a1+…+an)b = a1b+…+anb; b(a1+…+an) = ba1+…+ban.
  4. Так как a0=a(0+0)=a0+a0, то a0=0. Аналогично, 0a=0.
  5. Так как ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0, то (-a)b=-ab. Аналогично, a(-b)=-ab. Поэтому (-a)(-b)=-(a(-b))=-(-ab)=ab.
  6. (a-b)c=(a+(-b))c=ac+(-b)c=ac-bc, c(a-b)=c(a+(-b))=ca+c(-b)=ca-cb, т. е. дистрибутивность для разности.

Лемма 1.10.3 (бином Ньютона). Пусть R — кольцо с 1, n\in N, a,b,a_1,a_2,...,a_s\in R. Тогда:

  1. если ab=ba, то (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^k b^{n-k},\ \ \text{где}\ \ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\ \ C_n^0=1;
  2. если aiaj=ajai для всех i, j, то (a_1+a_2+...+a_s)^n = \sum \frac{n!}{(i_1!)... (i_s!)}a_1^{i_1}... a_s^{i_s}, где суммирование происходит по всем s-строчкам (i1,i2,…,is) таким, что i1+i2+…+is=n.

Доказательство.

  1. 1) Индукция по n с учетом равенства C_n^k+C_n^{k-1}=C_{n+1}^{k+1} для k<n и применением перестановочности элементов a и b и закона дистрибутивности.
  2. 2) Индукция по s; s=2 — пункт 1); если утверждение верно для s, то по 1): \begin{align*} & (a_1+...+a_s+a_{s+1})^n=((a_1+...+a_s)+a_{s+1})^n={} \\ & \quad {}=\sum_{k=0}^{n} C_n^k (a_1+...+a_s)^k a_{s+1}^{n-k}= \sum_{k+j=n} \frac{n!}{k!j!}(a_1+...+a_s)^k a_{s+1}^j={} \\ & \quad {}=\sum_{k+j=n} \frac{n!}{k!j!} \sum_{\substack{(i_1,...,i_s)\\ i_1+...+i_s=k}} \frac{k!}{(i_1!)... (i_s!)}a_1^{i_1}a_2^{i_2}... a_s^{i_s}a_{s+1}^j={} \\ & \quad {}=\sum_{\substack{(i_1,...,i_{s+1})\\ i_1+...+i_{s+1}=n}} \frac{n!}{(i_1!)... (i_{s+1}!)} a_1^{i_1}a_2^{i_2}... a_{s+1}^{i_{s+1}}\quad (j=i_{s+1}). \end{align*}

Определение 1.10.4. Подмножество S кольца R называется подкольцом, если:

а)S — подгруппа относительно сложения в группе (R,+);

б)для a,b\in S имеем ab\in S;

в)для кольца R с 1 предполагается, что 1\in S.

Примеры 1.10.5 (примеры подколец). {\mathbb Z} \subset {\mathbb Q} \subset {\mathbb R}

Задача 1.10.6. Описать все подкольца в кольце вычетов Zn по модулю n.

Замечание 1.10.7. В кольце Z10 элементы, кратные 5, образуют кольцо с 1, не являющееся подкольцом в Z10 (у этих колец различные единичные элементы).

Определение 1.10.8. Если R — кольцо, a,b\in R и a\ne 0, b\ne 0, ab=0, то элемент a называется левым делителем нуля в R, элемент b называется правым делителем нуля в R.

Замечание 1.10.9. В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.

Пример 1.10.10. В Z, Q, Rнет делителей нуля.

Пример 1.10.11. Кольцо непрерывных функций C[0,1] имеет делители нуля. Действительно, если

то f\ne 0, g\ne 0, fg=0.

Пример 1.10.12. Если n=kl, 1<k,l<n, то C_k\ne C_0, C_l\ne C_0, но CkCl=C0, т. е. кольцо вычетов Z_n по составному числу n имеет делители нуля.

Лемма 1.10.13. Если в кольце R нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac, где 0\ne a\in R, b,c\in R, следует, что b=c (т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля).

Доказательство. Если ab=ac, то a(b-c)=0. Так как a не является левым делителем нуля, то b-c=0, т. е. b=c.

Определение 1.10.14. Элемент x\in R называется нильпотентным, если xn=0 для некоторого 0<n\in N. Наименьшее такое натуральное число n называется степенью нильпотентности элемента.

Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1, то x\cdot x^{n-1}=0, x^{n-1}\ne 0). Обратное утверждение неверно (в Z6 нет нильпотентных элементов, однако 2, 3, 4- ненулевые делители нуля).

Упражнение 1.10.15. Кольцо Zn содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n делится на m2, где m\in N, m\ne 1.

Определение 1.10.16. Элемент x кольца R называется идемпотентом, если x2=x. Ясно, что 02=0, 12=1. Если x2=x и x\ne 0, x\ne 1, то x(x-1)=x2-x=0, и поэтому нетривиальные идемпотенты являются делителями нуля.

Через U(R) обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R, т. е. тех r\in R, для которых существует обратный элемент s=r-1 (т. е. rr-1=1=r-1r).

Лемма 1.10.17. U(R)является группой относительно операции умножения.

Доказательство.

  1. 1) Если r,s\in U(R), то rs\in U(R), поскольку (rs)-1=s-1r-1.
  2. 2)1\in U(R).
  3. 3) Если r\in U(R), то (r-1)-1=r, т. е. r^{-1}\in U(R).

Пример 1.10.18. U(Z)={1,-1}, U(Q)=Q^*=Q\setminus\{0\}, U(R)=R*.

Пример 1.10.19. U(C[0,1])=\{f\in C[0,1]\mid f(x)\ne 0\ \forall x\in [0,1]\}.

Пример 1.10.20. Пусть Zm={C0,C1,…,Cm-1}, Ck=k+mZ, — кольцо вычетов по модулю m. Отметим, что k+mZ\in U(Z_m), k\inZ, тогда и только тогда, когда (k+mZ)(l+mZ)=1+mZ для некоторого l\inZ, т. е. kl+mZ=1+mZ, что означает kl=1+mq, q\inZ, т. е. (k,m)=1.

Итак, |U(Z_m)|=\varphi(m), где \varphi(m) — число натуральных чисел 1 \leq k<m, не имеющих нетривиальных общих делителей с числом m (функция Эйлера). В частности, \varphi(1)=1, \varphi(2)=1, \varphi(3)=2, \varphi(4)=2, \varphi(p)=p-1 для простого числа p. Более того, если p\in N, то \varphi(p)=p-1 тогда и только тогда, когда p — простое число.

Задача 1.10.21. Докажите, что группа U(Zn) циклическая тогда и только тогда, когда n\in \{2,4,p^{\alpha}, 2p^{\alpha}\}, где p — нечетное простое число.

Комплексные корни n-й степени из единицы

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Так как 1=1(\cos 0+i\sin 0), r=1, \varphi=0, то формула для корней n-й степени из 1 принимает вид

w_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n},\quad k=0,1,2,...,n-1.

Точки wk являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, при этом одной из вершин этого многоугольника является 1. Например, при n=8

Теорема 2.9.1. Совокупность T_n=\{w\in C\mid w^n=1\} всех n корней n-й степени из 1 с операцией умножения является коммутативной группой (подгруппой в T=\{z\mid |z|=1\}\subset C^*= C\setminus \{0\}).

Доказательство.

  1. 1) Если w,z\in T_n, т. е. wn=1, zn=1, то (wz)^n=w^nz^n=1\cdot 1=1, поэтому wz\in T_n. Таким образом, на Tn определена операция умножения (очевидно, коммутативная и ассоциативная).
  2. 2) Ясно, что 1n=1, т. е. 1\in T_n, и 1 — нейтральный элемент в Tn.
  3. 3) Если w\in T_n, то wn=1,
    \left(\frac{1}{w}\right)^n=\frac{1}{w^n}=\frac{1}{1}=1,

    и поэтому w^{-1}\in T_n.

Замечание 2.9.2. Группа Tn является циклической, т. е. все ее элементы являются степенями одного элемента, называемого циклическим образующим (в качестве одного из циклических образующих можно взять w_1=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}, так как wk=(w1)k для 0 \leq k \leq n-1, т. е. все элементы wk группы Tn являются степенями корня w1, такие корни называются первообразными). Покажите, что w_k=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n} является первообразным корнем тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел k и n равен 1.

Упражнение 2.9.3. Доказать, что сумма всех k-х степеней корней уравнения xn=1 равна

n, еслиkделится на n;

0, еслиk не делится наn.

Задача 2.9.4. Если z=\frac{2+i}{2-i}, то |z|=1, но z не является корнем из единицы (т. е. z\in T\setminus T_n для любого n\in N).

Задача 2.9.5. Доказать, что

а) \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{2n}\right)... \sin\left(\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}};

б) \prod\limits_{k=1}^n \sin\frac{\pi k}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.

Указание. Пусть

x_s=\varepsilon_s=\cos\frac{\pi s}{n}+i\sin\frac{\pi s}{n},\quad s=1,2,...,2n

(все корни степени 2n из 1).Тогда

x^{2n}-1=\prod\limits_{s=1}^{2n}(x-x_s)= \prod_{s=1}^{n-1}(x-x_s)\prod_{s=n+1}^{2n-1}(x-x_s)(x^2-1)

(так как xn=-1, x2n=1). Но x_{2n-s}=\bar x_s, поэтому

\begin{mult} x^{2n}-1=(x^2-1)\smash[b]{\prod_{s=1}^{n-1}(x-x_s)(x-\bar x_s)}={}\\ {}=(x^2-1)\prod_{s=1}^{n-1}\left(x^2-2x\cos\frac{\pi s}{n}+1\right). \end{multl}

Следовательно,

\frac{x^{2n}\!-\!1}{x^2\!-\!1}= x^{2(n-1)}+x^{2(n-2)}+...+x^2+1= \prod_{s=1}^{n-1}\!\left(x^2-2x\cos\frac{\pi s}{n}\!+\!1\right).

Полагая x=1, имеем

\begin{mult} n=\prod_{s=1}^{n-1}\left(2-2\cos\left(\frac{\pi s}{n}\right)\right)= \prod_{s=1}^{n-1}4\sin^2\left(\frac{\pi s}{2n}\right)={}\\ {}=2^{2(n-1)}\sin^2\left(\frac{\pi}{2n}\right) \sin^2\left(\frac{2\pi}{2n}\right)... \sin^2\left(\frac{\pi(n-1)}{2n}\right). \end{mult}

Пункт б) доказывается аналогично.