Аксиоматическая теория множеств
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
В начале XX века Бертран Рассел, изучая канторовскую теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность этой теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики. После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования […]
Теория множеств Кантора
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»).[1] Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как […]
Абстрактная алгебра
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Абстра?ктная а?лгебра или вы?сшая а?лгебра или о?бщая а?лгебра — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами. Исторически алгебраические структуры возникали вначале в других областях математики. После абстрагирования от деталей, присущих определенному разделу математики, и выделения аксиоматических определений […]
Практическое применение алгебры
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо […]
Простые логические головоломки
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
1) Вы — биохимик, работающий с двенадцатислотной центрифугой. Это устройство, которое имеет 12 слотов одного размера вокруг центральной оси, в которые вы размещаете образцы химических веществ, которые вам нужно смешать. Когда машина включена, образцы вращаются вокруг центральной оси и превращаются в однородную жидкость. Чтобы быть уверенным в том, что образцы хорошо смешались, они должны быть […]
Некоторые следствия из метода Гаусса
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Следствие 3.7.1. Над полем действительных чисел K= R (и над любым бесконечным полем) число решений системы линейных уравнений может быть равно 0 (несовместная система), 1 (определенная система) и (неопределенная система). Замечание 3.7.2. Над конечным полем Z2={0,1} из двух элементов система x1+x2=0 имеет ровно два решения. Следствие 3.7.2. (квадратные системы линейных уравнений). Пустьm=n(т. е. число уравнений […]
Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных матриц размера mxn
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Через Mm,n(K) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем K фиксированного размера (для краткости обозначения, Mn(K)=Mn,n(K) — совокупность всех квадратных -матриц). Как для пространства строк Kn=M1,n(K) и для пространства столбцов , так и для Mm,n(K) определены операции сложения матриц C=A+B ( cij=aij+bij для каждого места (i,j)) и умножения матрицы на число D=cA ( dij=caij для […]
Определитель Вандермонда
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Теорема 6.9.1. Доказательство. Проведем индукцию по n (начало индукции n=2). Пусть утверждение верно для n’<n. Тогда, применяя элементарные преобразования столбцов , ,…, и предположение индукции, получаем Следствие 6.9.2. тогда и только тогда, когда при (т. е. когда все элементы a1,a2,…,an различны). Теорема 6.9.3 (интерполяционная формула Лагранжа). Если a1,…,an — различные элементы поля K, b1,…,bn — […]
Сведение вычисления определителя к определителям меньшего порядка
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Определение 6.8.1 (дополняющие миноры и алгебраические дополнения). Зафиксируем элемент aij квадратной -матрицы A=(aij). Вычеркивая в определителе |A| i -ю строку и j -й столбец (проходящие через aij), получаем определитель Mij матрицы порядка , называемый дополняющим минором элемента aij. Алгебраическим дополнением элемента aij называется число Aij=(-1)i+jMij. Замечание 6.8.2. Имеем n2 (дополняющих) миноров Mij. Лемма 6.8.3. Доказательство. […]
Линейные преобразования линейных пространств столбцов
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Произведение линейных отображений Теорема 7.1.1. Если U, V, W- линейные пространства над полем K, f и g- линейные отображения линейных пространств, то их произведение является линейным отображением. Доказательство. Пусть и . Тогда Матрица произведения линейных отображений пространств столбцов Если , , — пространства столбцов над полем K, линейное отображение задается -матрицей F=(fij), линейное отображение задается […]