Системы линейных уравнений

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

В общем случае линейная система, составленная из К линейных уравнений относительно n неизвестных примет вид:

\left. \begin{gathered} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \\ a_{k1}x_1+a_{k2}x_2 + \ldots + a_{kn}x_n = b_k \end{gathered} \right\} (3.1)

где x1, x2, …, xn — неизвестные; a11, a12, …, akn — коэффициенты при неизвестных; b1, b2, …, bk — свободные члены.

Определение 1. Решением системы (1) называется совокупность из n чисел (с1, с2, …, сn), которые, будучи подставленными в систему (1) на место неизвестных x1, x2, …, xn, обращают все уравнения системы в истинные равенства.

Не всякая система вида (1) имеет решение. Например, очевидно, что система

\left. \begin{aligned} & 3x_1+4x_2=7 \\ & 3x_1+4x_2=12 \end{aligned} \right\}

не имеет ни одного решения. А вот система

\left. \begin{aligned} & 3x_1+4x_2=7 \\ & 3x_1+4x_2=7 \end{aligned} \right\}

имеет бесконечное множество решений. Поэтому, прежде чем начать решать составленную систему, необходимо выяснить, есть ли вообще решение. Это необходимо делать хотя бы потому, что в общем случае поиск решения системы уравнения оказывается долгим и сложным делом.

Определение 2. Систему уравнений (1), имеющую хотя бы одно решение, называют совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной.

Определение 3. Решения \left( c_1^{(1)}, c_2^{(1)}, \ldots c_n^{(1)} \right) и \left( c_1^{(2)}, c_2^{(2)}, \ldots c_n^{(2)} \right) считают различными, если хотя бы одно из чисел c_i^{(1)} не совпадает с соответствующим числом c_i^{(2)}.

Например, система

\left. \begin{aligned} & 3x_1+4x_2=0 \\ & 6x_1+8x_2=0 \end{aligned} \right\}

имеет различные решения c_1^{(1)}=c_2^{(1)}=0 и c_1^{(2)}=4; \; c_2^{(2)}=-3. Системы, имеющие хотя бы 2 различных решения, имеют бесконечное количество разных решений.

Определение 4. Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определенной; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется неопределенной.