Решение системы линейных уравнений

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Чтобы выяснить имеет ли составленная система решение или нет, а, если имеет решение, то их количество, применяют следующую теорему.

Теорема 1. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то такая система совместна и имеет хотя бы одно не нулевое решение.

Пример. Определить совместность системы

\left. \begin{aligned} & 3x_1+4x_2=7 \\ & 3x_1+4x_2=12 \end{aligned} \right\}.

Решение. Составим матрицу системы \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:

rang \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} =rang \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix} =1

Составим расширенную матрицу системы

\left( \begin{aligned} &3 && 4 \\ &3 && 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &7 \\ &12 \end{aligned} \right)

и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:

rang \left( \begin{aligned} &3 && 4 \\ &3 && 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &7 \\ &12 \end{aligned} \right) =2

Как видим, ранг обычной матрицы не равен рангу расширенной, следовательно системы несовместна, т.е. не имеет ни одно решения.

Пример. Определить совместность системы

\left. \begin{aligned} & 3x_1+4x_2=7 \\ & 3x_1+4x_2=7 \end{aligned} \right\}.

Решение. Составим матрицу системы

\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:

rang \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} =rang \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix} =1

Составим расширенную матрицу системы

rang \left( \begin{aligned} &3 && 4 \\ &3 && 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &7 \\ &7 \end{aligned} \right)

и определим ее ранг (т.е. число независимых строк или столбцов:

rang \left( \begin{aligned} &3 && 4 \\ &3 && 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &7 \\ &7 \end{aligned} \right) =rang \left( \begin{aligned} &3 & 4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 7 \end{aligned} \right) =1

Как видим, ранг обычной матрицы равен рангу расширенной, следовательно системы совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение.

Заметим, что положительный ответ на вопрос «совместна ли система?» не гарантирует единственность возможного решения.

Виды систем линейных уравнений.

Определение 5. Если система

\left. \begin{gathered} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = 0 \\ \ldots \\ a_{k1}x_1+a_{k2}x_2 + \ldots + a_{kn}x_n = 0 \end{gathered} \right\} (3.2)

совместна, то она имеет бесконечное множество ненулевых (невырожденных) решений и называется однородной системой.

Однородная система всегда совместна и всегда имеет хотя бы одно нулевое решение.

Определение 6. Если система имеет единственное нулевое решение, то такая система называется вырожденной.

Определение 7. Если система имеет количество уравнений меньшее, чем количество неизвестных, то такая система называется недоопределенной, а если количество уравнений больше, чем количество неизвестных, то – переопределенной.

Матрицы таких систем (недоопределенной и переопределенной) как правило прямоугольные. Решаются такие системы специальными методами, относящимися к разделу линейного программирования.