Собственные числа и собственные векторы матрицы

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Пусть K — поле, A\in M_{n}(K), 0\neq \hat X\in\hat K^n=\mM_{n,1}(K), \lambda\in K. Если A\cdot \hat X=\lambda\cdot \hat X, то \lambda называется собственным числом матрицы A, а \hat X — собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу \lambda.

Условие A\cdot\hat X=\lambda\cdot \hat X эквивалентно условию

(A-\lambda E)\hat X = \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \in \hat K^n,

где E\in M_{n}(K) — единичная матрица. При фиксированном \lambda это условие превращается в однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x1,…,xn

,

\hat X= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}.

Матрица A-\lambda E этой системы — квадратная матрица размера n. Поэтому наличие ненулевого решения этой системы равносильно тому, что |A-\lambda E|=0. Пусть t — переменная,

p(t)=|A-tE|=p_nt^n+p_{n-1}t^{n-1}+...+p_0\in K[t]\text{ -}

многочлен степени n от переменной t (называемый характеристическим многочленом матрицы A), при этом:

\begin{gathe} p_n=(-1)^n,\\ p_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=(-1)^{n-1}\tr A,\quad p_0=|A|. \end{gathe}

Мы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена из поля K

.

Если \lambda\in K и p(\lambda)=0, то все собственные векторы матрицы A относительно собственного числа \lambda — это все ненулевые решения системы

(A-\lambda E)\hat X=(0)\in\hat K^n.

Отметим, что множество всех собственных векторов матрицы A относительно собственного числа \lambda не образует линейного подпространства в \hat K^n, так как все эти векторы ненулевые. Но если к этому множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространство всех решений системы

(A-\lambda E)\hat X=(0).

Таким образом, если p(\lambda)=|A-\lambda E|=0, r=r(A-\lambda E), то 0 \leq r < n, то размерность пространства решений этой системы равна s=n-r, поэтому 1 \leq s \leq n. Если {X1,…,Xs} — какая\df либо фундаментальная система решений системы (A-\lambda E)\hat X=(0), то все собственные векторы матрицы A, отвечающие собственному числу \lambda, — это все нетривиальные линейные комбинации элементов \hat X_1,...,\hat X_s с коэффициентами из поля K.

Пример 9.19.1.

\begin{gathe} A = \begin{pmatrix} \phm 10 & 3\\ -5 & 2 \end{pmatrix},\quad K= R,\\ |A-\lambda E| = \begin{vmatrix} 10-\lambda & 3\\ -5 & 2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-12\lambda+35. \end{gathe}

Корни: \lambda_1=7, \lambda_2=5, \lambda_1,\lambda_2\in R (собственные числа матрицы A

).

Собственные векторы для \lambda_1=7 :

A-7E = \begin{pmatrix} \phm 3 & \phm 3\\ -5 & -5 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} \phm 3 & \phm 3\\ -5 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix},

ненулевые решения:

\left\{\left.\begin{pmatrix}\phm s\\-s\end{pmatrix}\right| s\in R,\ s\neq 0\right\}.

Собственные векторы для \lambda_2=5

:

A-5E = \begin{pmatrix} \phm 5 & \phm 3\\ -5 & -3 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} \phm 5 & \phm 3\\ -5 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix},

ненулевые решения:

\left\{\left.\begin{pmatrix}-3t\\\phm 5t\end{pmatrix}\right| t\in R,\ t\neq 0\right\}.

Пример 9.19.2.

\begin{gathe} K= C,\quad A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\\ p(\lambda)=|A-\lambda E|= \begin{vmatrix} -\lambda & \phm 1 & \phm 0\\ \phm 0 & -\lambda & \phm 2\\ \phm 0 & \phm 0 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3. \end{gathe}

Имеется лишь одно собственное число: \lambda=0. Собственные векторы относительно \lambda=0 задаются системой линейных уравнений

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.

Система уже имеет ступенчатый вид, x2, x3 — главные неизвестные, x1 — свободная переменная, множество собственных векторов относительно \lambda=0 :

\left\{\left. \begin{pmatrix} s\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right| s\in C,\ s\neq 0\right\}.

Пример 9.19.3. Если

A= \begin{pmatrix} \alpha_1 & & \lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ & \ddots\\ \lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}} & & \alpha_n \end{pmatrix} \text{ -}

диагональная матрица, то \alpha_1,...,\alpha_n — все корни характеристического многочлена матрицы A (и следовательно, собственные числа).