Кольцо многочленов от одной переменной

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Пусть K- произвольное поле.

Под многочленом (ненулевым) от одной переменной x с коэффициентами из поля K будем понимать формальное выражение вида f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn (иногда удобнее записывать эту сумму одночленов a_ix^i в другом порядке: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0), a_i\in K, a_n\ne 0 — старший коэффициент (anxn — старший член многочлена f(x)), a0 — свободный член, n=\deg f(x) — степень ненулевого многочлена f(x) (нулевой многочлен — это f(x)=a0=0).

Можно было вместо формальных выражений рассматривать счетные последовательности

(a_0,a_1,...,a_n,0,0,...),\quad a_i\in K,

в которых почти все ai (т. е. все, кроме конечного числа) равны нулю (нулевой многочлен — это последовательность, в которой все компоненты равны нулю).

Два многочлена f(x) и g(x) называются равными, если равны соответствующие коэффициенты при каждой степени xk переменной x.

Через K[x] обозначим множество всех многочленов f(x) с коэффициентами из поля K.

На множестве K[x] введем операции сложения и умножения, для f(x)=\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i,\quad g(x)=\sum\limits^s_{i=0}b_ix^i полагая f(x)+g(x)=\sum\limits_{i\geq 0}d_ix^i,\quad f(x)g(x)=\sum\limits_{i\geq 0}t_ix^i, где d_i=a_i+b_i,\quad t_i=\sum\limits_{\substack{k+l=i\\ 0\le k,l\le i}} a_kb_l.

Теорема 1.13.1. Множество K[x] с операциями сложения и умножения — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Доказательство.

  1. Так как при сложении складываются коэффициенты при одной степени xi, т. е. di=ai+bi, то ясно, что K[x] с операцией сложения — коммутативная группа.
  2. Учитывая определение коэффициента
    t_i=\sum\limits_{\substack{k+l=i\\ 0\le k,l\le i}} a_kb_l,

    заключаем, что операция умножения коммутативна.

    Пусть теперь

    h(x)=\sum\limits_{i\geq 0}c_ix^i.

    Тогда, подсчитывая коэффициенты при степени xi в (f(x)g(x))h(x) и в f(x)(g(x)h(x)), видим, что

    \sum\limits_{u+m=i}\biggl(\,\sum\limits_{k+l=u}a_kb_l\biggr)c_m=\sum\limits_{k+l+m=i}a_kb_lc_m=\sum\limits_{k+v=i}a_k\biggl(\,\sum\limits_{l+m=v}b_lc_m\biggr).

    Итак, мы проверили ассоциативность умножения многочленов.

    Ясно, что f(x)=1 (т. е. a0=1) является нейтральным элементом для операции умножения.

  3. Подсчитывая коэффициенты при степени xi в (f(x)+g(x))h(x) и f(x)h(x)+g(x)h(x), видим, что
    \sum_{k+l=i}(a_k+b_k)c_l=\sum_{k+l=i}a_kc_l+\sum_{k+l=i}b_kc_l,

    т. е. установлен закон дистрибутивности в K[x].

Замечание 1.13.2. Отображение K\to K[x], для которого a\mapsto f(x)=a_0=a, является инъективным гомоморфизмом колец (т. е. получили вложение поля K в кольцо многочленов K[x]).

Лемма 1.13.3. Пусть K — поле, f(x),g(x)\in K[x], 0\ne f(x), 0\ne g(x). Тогда

а) \deg(f(x)+g(x))\leq \max(\deg f(x),\deg g(x)).

б) \deg(f(x)g(x))=\deg f(x)+\deg g(x).

Доказательство.

а) Если i>\max(\deg f(x),\deg g(x)), то ci=ai+bi=0.

б) Если \deg f(x)=n, \deg g(x)=s и i>n+s, то

d_i= \sum\limits_{\substack{k+l=i\\ 0\le k,l\le i}}a_kb_l=0.

При этом d_{n+s}=a_nb_s\ne0 (поскольку a_n\ne 0, b_s\ne 0 и в поле K нет делителей нуля). Итак, d_{n+s}=a_nb_s\ne 0 — старший коэффициент многочлена f(x)g(x) — является произведением старших коэффициентов многочленов f(x) и g(x). Таким образом, \deg(f(x)g(x))=n+s=\deg f(x)+\deg g(x).

Следствие 1.13.4. Пусть K — поле. В кольце многочленов K[x] нет делителей нуля.

Доказательство. Как мы видели, если f(x)\ne 0, \deg f(x)=n, a_n\ne 0 — старший коэффициент многочлена f(x), g(x)\ne0, \deg f(x)=s, b_s\ne 0 — старший коэффициент многочлена g(x), то a_nb_s\ne 0 — старший коэффициент многочлена f(x)g(x), т. е.f(x)g(x)\ne 0.

Следствие 1.13.5. Пусть K — поле. В кольце K[x] (как в любом кольце без делителей нуля) можно сокращать на ненулевой многочлен, т. е. из f(x)g(x)=f(x)h(x), f(x)\ne 0, следует, что g(x)=h(x).