Вычисление определителей

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Определение определителя

|A|=\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(n)}... a_{n\alpha(n)}

как суммы n! слагаемых-произведений плохо пригодно для реальных вычислений при больших n. В теоретическом плане важно отметить, что определитель |A| является многочленом от n2 переменных aij, в котором мономы входят с коэффициентами \pm 1. Отметим лишь одно из следствий этого факта: если aij=aij(x) являются дифференцируемыми функциями от переменной x, то определитель |A| также является дифференцируемой функцией от x, поскольку суммы и произведения дифференцируемых функций являются дифференцируемыми функциями.

Теорема 6.6.1. Пусть от квадратной (n\times n) -матрицы A=(aij) элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа) мы пришли к треугольной матрице

\bar A = \begin{pmatrix} \bar a_{11} & & & \raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-25pt}\LARGE*}}\\ 0 & \bar a_{22}\\ \vdots & & \ddots\\ 0 & \hdotsfor{2} & \bar a_{nn} \end{pmatrix}

(все элементы ниже диагонали равны нулю; любая ступенчатая матрица, очевидно, является треугольной). Тогда

|A| = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}.

Доказательство. Так как |A|= (-1)t |A|, то

|A|=(-1)^t |\bar A|= (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}.

Характеризация функции определителя матрицы базовыми свойствами

Теорема 6.7.1 (о единственности функции с базовыми свойствами 1—4 определителя). Пусть функция F, сопоставляющая каждой квадратной (n\times n) -матрице A\in\mM_n(K) «число» F(A)\in K, удовлетворяет базовым свойствам {1 4} функции определителя. Тогда F(A)=|A|, т. е. функция определителя |A| однозначно определяется свойствами {1 4}.

Доказательство. Приведем (n\times n) -матрицу A к треугольному виду

\bar A = \begin{pmatrix} \bar a_{11} & & & \raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-25pt}\LARGE * }}\\ 0 & \bar a_{22}\\ \vdots & & \ddots\\ 0 & \hdotsfor{2} & \bar a_{nn} \end{pmatrix}

элементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа). Тогда

F(\bar A)=(-1)^t F(A),

следовательно, F(A)=(-1)t F(A). Далее, вынося элемент \bar a_{nn} из n -й строки и создавая 0 над ним, получаем

%\begin{mult} \addtolength{\arraycolsep}{-2pt} F(\bar A) = \bar a_{nn} F \begin{pmatrix} \bar a_{11} & & & \raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-45pt}\LARGE * }}\\ \vdots & \ddots\\ 0 & ... & \bar a_{n-1\,n-1}\\ 0 & ... & 0 & 1 \end{pmatrix} = %{} %\\ %{}= \bar a_{nn} F \begin{pmatrix} \bar a_{11} & & & 0\\ \vdots & \ddots & \raisebox{10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-0pt}\LARGE * }} & \vdots\\ 0 & ... & \bar a_{n-1\,n-1} & 0\\ 0 & ... & 0 & 1 \end{pmatrix}. %\end{mult}

Продолжая это рассуждение, получаем

F(\bar A) = \bar a_{11}... \bar a_{nn} F \begin{pmatrix} 1 & & \lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ & \ddots\\ \lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}} & & 1 \end{pmatrix} = \bar a_{11} ... \bar a_{nn}.

Итак, F(A)=(-1)^t F(\bar A) = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn} = |A|.