Умножение

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы

Различают несколько видов операции умножения.

1. Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора $\overrightarrow{a}$ на скаляр получают новый вектор $\overrightarrow{b}$ , длина (модуль) которого изменяется в раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора $\overrightarrow{a}$ , если > 0, или противоположно исходному вектору, если < 0. В координатной форме, если a=(a_x;a_y;a_z), то b=λa=(λa_x;λa_y;λa_z). Следовательно, операция умножения вектора на скаляр не влияет на компланарность (коллинеарность) векторов. Поэтому если несколько векторов до умножения на скаляр были компланарны (коллинеарны), то после умножения компланарность (коллинеарность) между ними сохранится.

Заметим, что любой вектор может быть представлен как произведение единичного, коллинеарного ему вектора на модуль рассматриваемого вектора, т.е. $\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{b}|\cdot\overrightarrow{e}_b=b\cdot\overrightarrow{e}_b$ .¹⁾ Из последнего равенства следует, что $\overrightarrow{e}_b=\frac{\overrightarrow{b}}{b}$ . Операция умножения вектора на скаляр обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: $\alpha\cdot\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\cdot\alpha, (\alpha\cdot\overrightarrow{a}\cdot\beta=\alpha\cdot\beta\cdot\overrightarrow{a})$ , а также свойством дистрибутивности: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\cdot\alpha=\overrightarrow{a}\cdot\alpha+\overrightarrow{c}\cdot\alpha$ .

2. Скалярное произведение векторов.

Определение 14. Скалярным произведением двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется число S, равное $S=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})$ . Эта операция обозначается $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ или $(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})$ .

В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

$(\overrightarrow{a})^2=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{a}|\cdot\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{a})=a\cdot a=a^2 .$

Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{i}=a\cdot\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{i})=\text{Пр}_{\overrightarrow{i}}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}_{\overrightarrow{i}}$

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора $\overrightarrow{a}$ на направление единичного вектора $\overrightarrow{i}$ . Следовательно, любой вектор можно представить как $\overrightarrow{a}=a_x\cdot\overrightarrow{i}+a_y\cdot\overrightarrow{j}+a_z\cdot\overrightarrow{k}$ , где a_x,a_y,a_z — проекции вектора $\overrightarrow{a}$ соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора $\overrightarrow{a}$ по ортогональному базису. Из рис. 6.1 видно, что в этом случае вектор $\overrightarrow{a}$ является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора $\overrightarrow{a}$ на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора $\overrightarrow{a}$ численно будет равен $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ .

Рис. 6.1.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

$\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{i})\overrightarrow{i}+(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{j})\overrightarrow{j}+(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{k})\overrightarrow{k},$

где $(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{i})$ , $(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{j})$ и $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{k}$ есть скалярное произведение вектора $\overrightarrow{a}$ с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

$\begin{gathered} \overrightarrow{a}=(|\overrightarrow{a}|\cdot\cos\alpha)\overrightarrow{i}+(|\overrightarrow{a}|\cdot\cos\beta)\overrightarrow{j}+(|\overrightarrow{a}|\cdot\cos\gamma)\overrightarrow{k}=\\ =|\overrightarrow{a}|\cdot((\cos\alpha)\overrightarrow{i}+(\cos\beta)\overrightarrow{j}+(\cos\gamma)\overrightarrow{k}), \end{gathered}$

где , β и γ — углы, которые составляет вектор $\overrightarrow{a}$ соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

Можно заметить, что скалярное произведение коммутативно и дистрибутивно, т.е. $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$ и $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$ . Можно убедиться самостоятельно в том, что всегда выполняется равенство

$(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\alpha=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\alpha)=(\overrightarrow{a}\alpha)\cdot\overrightarrow{b}.$

Замечание 1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда

$\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})=0,\;\text{т.е. } (\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})=\frac{\pi}{2}.$

Замечание 2. $\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{i}=0$ , где $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ — единичные векторы (орты) осей координат.²⁾

Замечание 3. $\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{j}=\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{k}=1$ .

Замечание 4. Скалярное произведение векторов в координатной форме

$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=(a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k})\cdot(b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j}+b_z\overrightarrow{k})= \\ =a_x b_x (\overrightarrow{i})^2+a_y b_y (\overrightarrow{j})^2+a_z b_z(\overrightarrow{k})^2=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z. \end{gathered}$

Замечание 5. Используя формулу скалярного произведения векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , можно найти выражение косинуса угла между этими векторами через их проекции на орты:

$\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}.$

Если $\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})<0$ , то это значит, что угол между векторами больше 90°, т.е. тупой, а если $\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})>0$ , то угол острый.

Замечание 6. Механический смысл скалярного произведения векторов. Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS.

3. Векторное произведение двух векторов.

Определение 15. Под векторным произведением векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ понимают вектор $\overrightarrow{c}$ , имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости $|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\sin(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})$ , определяемой векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , причем так, что векторы $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ образуют правую тройку векторов (рис. 6.2).

Рис. 6.2.

Можно заметить, что длина вектора $\overrightarrow{c}$ численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Векторное произведение обозначают: $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ или $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$ . Очевидно, что $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$ (из определения векторного произведения), т.е. векторное произведение не коммутативно. Векторное произведение также не ассоциативно, $\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})\ne(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\times\overrightarrow{c}$ , в чем можно легко убедиться самостоятельно. Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

$\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}.$

Так как $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ перпендикулярен плоскости, определяемой векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , и численно равен площади параллелограмма, сторонами которого являются векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , то, очевидно, что проекции вектора на оси ординат 0х, 0у и 0z будут численно равны площадям проекций указанного параллелограмма на соответствующие координатные плоскости:

$\left. \begin{aligned} c_x=a_y b_z-a_z b_y; \\ c_y=a_z b_x-a_x b_z; \\ c_z=a_x b_y-a_y b_x. \end{aligned} \right\}$

Тогда векторное произведение $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ расписывается по базису $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ следующим образом¹⁾:

$\begin{gathered} \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=c_x\overrightarrow{i}+c_y\overrightarrow{j}+c_z\overrightarrow{k}=(a_y b_z-a_z b_y)\overrightarrow{i}+ \\ +(a_z b_x-a_x b_z)\overrightarrow{j}+(a_x b_y-a_y b_x)\overrightarrow{k}= \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \end{gathered}.$

Замечание 1. $\overrightarrow{i}\times\overrightarrow{j}=\overrightarrow{k};\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i};\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}$ . Используя это свойство векторного произведения проверяют ортогональность трех векторов. Если векторное произведение двух любых из трех векторов равно третьему вектору, то тогда говорят , что векторы ортогональны (или линейно независимы) между собой.

Замечание 2. Двойное векторное произведение $\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})$ есть вектор $\overrightarrow{d}$ , компланарный векторам $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ , вычисляемый по формуле

$\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}).$

Замечание 3. $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}= \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} \cdot\overrightarrow{i}- \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} \cdot\overrightarrow{j}+ \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} \cdot\overrightarrow{k}$ .

4. Смешанное произведение векторов.

Определение 16. Смешанным произведением векторов $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ назовем число К, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 6.3) и вычисляемое как:

$K=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})= \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

Очевидно, что если $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ компланарны, то $К=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=0$ .

Рис. 6.3.

Определение 17. Скалярным произведением двух векторных произведений назовем число, равное выражению

$(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{d})=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d})-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})= \begin{vmatrix} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c} & \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d} \\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} & \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d} \end{vmatrix}.$

Заметим, что $(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})^2=|\overrightarrow{a}|^2\cdot|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2$ .

Из определения смешанного произведения следует интересный факт, что произведение не зависит от порядка следования векторов в смешанном произведении, так как объем параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит только от расположения этих векторов в пространстве (левая или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. Следовательно, можно записать

$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a})=\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\;\text{или}\;\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}$

Это замечательное свойство смешанного произведения служит обоснованием упрощения записи смешанного произведения:

$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}.$

Примеры решения задач векторной алгебры (см. лекции 5 и 6)

Пример 1. Даны векторы $\overrightarrow{a}=(1;-1;2);\;\overrightarrow{b}=(2;0;-1)$ . Найти векторы:

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}.$

Решение. Вектор $\overrightarrow{c}$ представляет из себя сумму двух других векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , поэтому его координаты могут быть найдены как сумма соответствующих координат суммируемых векторов:

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1+2;-1+0;2+(-1))=(3;-1;1).$

Вектор $\overrightarrow{d}$ представляет из себя разность этих же векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , поэтому его координаты также могут быть найдены очень просто, как разность соответствующих координат вычитаемых векторов:

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(1-2;-1-0;2-(-1))=(-1;-1;3).$

Для того чтобы найти третий вектор $\overrightarrow{p}$ , необходимо выполнить промежуточные вычисления, так как на этот раз суммируются не просто векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , а векторы, предварительно умноженные на 3 и 2, соответственно. Поэтому сначала надо определить координаты векторов $3\overrightarrow{a}$ и $2\overrightarrow{b}$ , а только затем полученные векторы сложить между собой.

$3\overrightarrow{a}=(3\cdot 1;(-1)\cdot 3;2\cdot 3)=(3;-3;6);\;2\overrightarrow{b}=(2\cdot 2;2\cdot 0;(-1)\cdot 2)=(4;0;-2).$

Теперь можно вычислить искомый вектор $\overrightarrow{p}$ как

$\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(3+4;-3+0;-2+6)=(7;-3;4).$

Пример 2. Даны проекции силы F на координатные оси как $х = 4; у = 4; z = -4\sqrt{2}$ . Найти величину силы F и направление ее действия.

Решение. Вектор $\overrightarrow{F}$ имеет координаты (по условию) $\overrightarrow{F}=(4;4;-4\sqrt{2})$ . Так как в задаче речь идет о «величине» силы, то следовательно необходимо определить модуль найденного вектора. Поэтому величина силы находится как $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{4^2+4^2+(-4\sqrt{2})^2}=8$ .

Направление действия силы $\overrightarrow{F}=(4;4;-4\sqrt{2})$ определяют, используя направляющие косинусы, которые вычисляют по известным формулам:

$\cos\alpha=\frac{x}{|\overrightarrow{F}|}=\frac48=\frac12;\;\cos\beta=\frac{y}{|\overrightarrow{F}|}=\frac48=\frac12;\;\cos\gamma=\frac{z}{|\overrightarrow{F}|}=\frac{-4\sqrt{2}}{8}=-\frac{sqrt{2}}{2}.$

Следовательно сила F, модуль которой равен 8, действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы =60°; β=60°; γ=135°.

Пример 3. Даны векторы $\overrightarrow{a}=n\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k}$ и $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+n\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$ . Требуется определить при каком значении n эти векторы будут перпендикулярны?

Решение. Условием перпендикулярности вектором является равенство нулю их скалярного произведения, так как в формулу скалярного произведения входит косинус угла между этими векторами. Известно, что косинус равен нулю, если аргумент его равен $\frac{\pi}{2}$ , т.е. 90°. Поэтому для ответа на вопрос задачи достаточно определить, при каком значении n будет выполняться равенство $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$ .

По формулам скалярного произведения находим

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z=2n+2n-16=4n-16=0;$

Из уравнения 4n-16=0 находим, что n=4, т.е. при этом значении n $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$ .

Пример 4. Найти площадь треугольника, заданного вершинами A(1;1;0); B(3;0;-3); C(3;2;4).

Решение. Из геометрической интерпретации векторного произведения двух векторов (рис. 6.2) имеем, что модуль вектора $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , как на сторонах. А из геометрии известно, что диагональ параллелограмма делит последний на два равновеликих треугольника. На основании этого можно выписать формулу для нахождения площади треугольника АВС:

$S_{\Delta ABC}=\frac12 S_{ABCD}=\frac12 |\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|.$

Для того, чтобы определить векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , выберем в качестве вершины любую точку, например А, и найдем векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ (т.е. стороны треугольника представляем векторами, при этом выбор направления векторов не будет влиять на результат. Для определенности положим, что начало обоих векторов находится в точке А, тогда конец будет располагаться в точках В и С, соответственно).

Для того чтобы определить координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ , вычтем из соответствующих координат «конца» вектора (точка В) соответствующие координаты «начала» вектора (точка А). В результате получим

$\overrightarrow{AB}=(3-1;0-1;-3-0)=(2;-1;-3).$

Аналогично находим и координаты вектора $\overrightarrow{AC}$ , с той лишь разницей, что теперь вместо точки В в формуле будем использовать точку С.

$\overrightarrow{AC}=(3-1;2-1;4-0)=(2;1;4).$

Теперь найдем векторное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ по формуле

$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 2 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} =\overrightarrow{i} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} -\overrightarrow{j} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} +\overrightarrow{k} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \\ =\overrightarrow{i}(-4+3)-\overrightarrow{j}(8+6)+\overrightarrow{k}(2+2)=-\overrightarrow{i}-14\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}. \end{gathered}$

Воспользуемся свойством векторного произведения и найдем площадь искомого треугольника.

$\begin{gathered} S_{\Delta ABC}=\frac12 S_{ABCD}=\frac12 |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\frac12\sqrt{(-1)^2+(-14)^2+(4)^2}= \\ =\frac12\sqrt{213}\approx\frac12\cdot 14,6 = 7,3 \text{(кв.ед.)}. \end{gathered}$

Пример 5. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A(1;1;2); B(2;3;-1); C(2;-2;4); D(-1;1;3)

Решение. Из геометрической интерпретации смешанного произведения трех векторов (рис. 6.3) известно, что результат равен объему параллелепипеда, построенного на трех перемножаемых векторах как на сторонах. При этом, если векторы образуют правую тройку, то объем выражается положительным числом, а , если векторы образуют левую тройку, то отрицательным. Кроме того, из аналитической геометрии известно, что любой параллелепипед можно разделить на шесть одинаковых тетраэдров. Следовательно, основываясь на свойстве смешанного произведения трех векторов, можно записать:

$V_{\tetx{тетр.}}=\frac16 V_{\text{парал.}}=\frac16(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}).$

Определим векторы $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$ . Для этого, как и в предыдущем примере, будем считать, без ограничения общности, точку А «началом» каждого из векторов, а точки В, С и D — «концами» этих векторов. Тогда вычитая координаты «конца» из координат «начала» получаем искомые векторы.

$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=(2-1;3-1;-1-2)=(1;2;-3); \\ \overrightarrow{AC}=(2-1;-2-1;4-2)=(1;-3;2); \\ \overrightarrow{AD}=(-1-1;1-1;3-2)=(-2;0;1). \end{gathered}$

После того как необходимые для вычислений векторы найдены, несложно, пользуясь расчетной формулой смешанного произведения векторов, найти объем тетраэдра.

$\begin{gathered} V_{\text{тетр.}}=\frac16 V_{\text{паралел.}}=\frac16 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} =\frac16(-3-8+18-2)= \\ =\frac16\cdot 5=\frac56\text{куб.единиц}. \end{gathered}$

Замечание. Если объем тетраэдра (или параллелепипеда) получился отрицательным, то это значит, что выбрана левая тройка векторов. Для исправления ориентации тройки векторов (и знака результата) достаточно переставить две строки в определителе

... other posts by admin

Умножение

Реклама

Рубрики

Свежие записи

Архивы