Правило Крамера
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Основные задачи изучения системы (3.1), лекции 3: Выяснить, является ли система (3.1) совместной или несовместной. Если система (3.1) совместна, то выяснить, является ли она определенной и найти решения. Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. (4.2) Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы Умножим обе части первого […]
Операции над векторами
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Сложение и вычитание Сложение и вычитание векторов производят математически (по формулам) или геометрически (рис. 5.5). Геометрический способ более известен как правило треугольника. Рис. 5.5. Математически сложение записывают или , если речь идет о вычитании векторов (рис. 5.5). В координатной форме эти операции над векторами можно определить следующим образом. Пусть в пространстве заданы два разных вектора […]
Основные определения скалярных и векторных величин
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Определение 1. Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом. Примером скалярных величин могут служить угол, площадь, объем, плотность среды, сопротивление, температура. Следует различать два типа скалярных величин: чистые скаляры и псевдоскаляры. Определение 2. Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то […]
Умножение
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Различают несколько видов операции умножения. 1. Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора на скаляр получают новый вектор , длина (модуль) которого изменяется в раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора , если > 0, или противоположно исходному вектору, если < 0. В координатной форме, если a=(ax;ay;az), то b=λa=(λax;λay;λaz). Следовательно, операция умножения вектора […]
Следствия из аксиом линейного пространства
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
1. В каждом линейном пространстве нулевой вектор только один. Доказательство первого следствия из аксиом проведем от противного. Предположим, что в пространстве имеются два нулевых элемента: 01 и 02. Тогда по аксиоме 3 линейного пространства имеем: 02 + 01 = 02 и 01 + 02 = 01. Однако по аксиоме 1 01 + 02 = 02 […]
Определения и аксиомы линейного пространства
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Довольно часто в своей деятельности человеку приходится иметь дело с объектами, связанными между собой некоторыми условными правилами, которые могут быть однозначными (умножение, сложение, вычитание) и многозначными (извлечение корня четной степени из числа, взятие модуля числа). Графически это можно изобразить так, как показано на рис. 7.1. Рис. 7.1. На рис. 7.1а — 7.1в показаны однозначные операции […]
Линейные операции в координатах
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Теорема. При умножении вектора на число каждая из его координат умножается на это число, а при сложении складываются соответствующие координаты. Доказательство. Пусть даны два произвольных вектора x и y и некоторое произвольное число 0. Разложим векторы по базису l1, l2, …, ln, получим x=x1l1+x2l2+…+xnln и y=y1l1+y2l2+…+ynln и найдем произведение x x=x1l1+x2l2+…+xnln=(x1)l1+(x2)l2+…+(xn)ln x=(x1, x2, …, xm) […]
Линейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Определение 6. Векторы а1, а2, …, ак линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1, 2, …, к, не равные одновременно нулю, при которых выполняется: (8.1) Определение 7. Если равенство (8.1) выполнимо лишь при всех i = 0, то векторы а1, а2, …, ак называются линейно независимыми. Определение 8. Если имеет место равенство […]
Примеры линейных преобразований
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Пример 1. Пусть преобразование А есть поворот всех векторов 0Х плоскости х0y, т.е. поворот плоскости х0y вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Это преобразование линейно, так как безразлично, сначала ли сложить векторы а и b, а потом повернуть их на угол , или сначала повернуть векторы на указанный угол, а потом сложить их […]
Действия над линейными преобразованиями
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы
Сложение преобразований. Пусть в n-мерном пространстве R с базисом l1, l2, …, ln заданы два линейных преобразования А и В, определяемые как y = Ax и z = Bx. Определение 28. Суммой линейных преобразований А и В называют преобразование С, обозначаемое С = А + В, если для каждого вектора x из пространства R справедливо […]