Системы линейных уравнений

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

В средней школе рассматривались линейные уравнения ax=b и системы линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} ax+by=e,\\ cx+dy=f, \end{array} \right.

где a, b, c, d, e, f \in R — действительные числа.

В излагаемой теории систем линейных уравнений мы будем совершать с коэффициентами операции сложения и умножения, а также делить (т. е. умножать на обратный элемент) на ненулевой элемент. Таким образом, естественно рассматривать системы линейных уравнений с коэффициентами из произвольного поля K. Для понимания основных моментов теории систем линейных уравнений можно считать, что K — поле R действительных чисел.

Наша ближайшая цель — исследовать системы m линейных уравнений общего вида от n переменных x1, x2, x3,…,xn

\begin{equation}\label{eq1.1} \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\ \dotfill\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m, \end{array} \right. \end{equation} (3.1)

где m,n \in N, a_{ij},b_i \in K

.

Таким образом, i-е уравнение, 1\le i \le m, нашей системы записывается в виде ai1x1+ai2x2+ … +ainxn=bi (aij — коэффициент при переменной xj в i-м уравнении, bi — свободный член i-го уравнения), или, кратко,

\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_i.

Прямоугольная (m \times n) — таблица коэффициентов a_{ij} \in K (m строк, n столбцов)

A= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13} &... &a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23} &... &a_{2n}\\ \hdotsfor{5}\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3} &... &a_{mn} \end{pmatrix}

называется матрицей коэффициентов системы линейных уравнений (3.1), а прямоугольная (m \times (n+1))-матрица (m строк, n+1 столбец)

A(a_{ij}|b_i)= \left(\left. \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &... &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} &... &a_{2n}\\ \hdotsfor{5}\\ a_{m1} &a_{m2} &a_{m3} &... &a_{mn} \end{matrix} \right| \begin{matrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_m \end{matrix} \right)

называется расширенной матрицей системы линейных уравнений (3.1) (уже полностью ее определяющей).

Если m=n (число уравнений равно числу переменных), то система линейных уравнений (и матрица A=\left( \begin{smallmatrix} a_{11}&... & a_{1n}\\ \multispan{3}{\dotfill}\\ a_{n1}&... & a_{nn} \end{smallmatrix}\right) ее коэффициентов при переменных) называется квадратной.

В квадратной матрице

\begin{pmatrix} a_{11}& ... &a_{1n}\\ \hdotsfor{3}\\ a_{n1}& ... &a_{nn} \end{pmatrix}

можно определить диагональ и побочную диагональ:

\begin{pmatrix} a_{11}\\ &a_{22}\\ &&\ddots\\ &&&a_{nn} \end{pmatrix}; \quad \begin{pmatrix} \phantom{a_{11}}&&&a_{1n}\\ &\phantom{a_{22}}&a_{2(n-1)}\\ &\revddots&&\phantom{\ddots}\\ a_{n1}&&\phantom{a_{nn}} \end{pmatrix}.

Если в системе линейных уравнений b1=…=bm=0, то система называется однородной.

Совокупность решений системы линейных уравнений

Определение 3.1.1. Решением системы линейных уравнений (3.1) называется строчка n элементов поля K (l1,…,ln), l_i \in K, такая, что при подстановке в i-е уравнение, 1\leq i \leq m, l1 вместо x1, l2 вместо x2,…,li вместо xi,…,ln вместо xn получаем bi (свободный член i-го уравнения), т. е.

\sum_{j=1}^{n} a_{ij}l_j=b_i.

Таким образом, строчка (l1, …, ln) является решением, если значения l1, …, ln соответственно для x1, …, xn удовлетворяют всем m уравнениям системы (3.1).

Через X обозначим совокупность всех решений системы линейных уравнений (3.1).

Замечание 3.1.2.

  1. X \subseteq K^n (т. е. совокупность всех решений является подмножеством в множестве Kn всех строк длины n элементов из поля K).
  2. Возможно, что X=\varnothing (т. е. система линейных уравнений не имеет решений), в этом случае система называется несовместной.
  3. Если X\ne\varnothing (т. е. система имеет решение), то система (3.1) называется совместной. Например, однородная система линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, (0,...,0)\in X\subseteq K^n.

Если система имеет только одно решение (|X|=1), то система называется определенной. Если |X| > 1, то совместная система называется неопределенной. Итак, для числа решений имеются следующие возможности:

Число решений
0 1 >1
Система несовместная, X=\varnothing Система определенная, |X|=1 Система неопределенная, |X|>1
Примеры
\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} x_1+x_2=0,\\ x_1+x_2=1 \end{array} \right.

X=\varnothing

несовместная с. л. у.

 \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} x_1+x_2=1,\\ x_1-x_2=0 \end{array} \right.

X=\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}

|X|=1

определенная с. л. у.

 \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} x_1+x_2=1 \end{array} \right.

x_2=c\in K,x_1=1-cX=\{ (1-c,c)\mid\allowbreak c \in K \}

|X|=|K|>1

неопределенная с. л. у.

Основная задача исследования систем линейных уравнений (3.1) заключается в описании (нахождении) множества решений X \subseteq K^n (в частности, определения, к какому типу принадлежит система (3.1): несовместная, определенная, неопределенная).