Проективная размерность подпространств и проективная геометрия PG(KV )

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as алгебра, лекции, обучение, уравнения, формулы

Если $\dim {}_K V=n$ , $U\in L({}_K V)$ — линейное подпространство в _K V, то определим проективную размерность

$\pdim U=\dim {}_K U-1.$

Таким образом, нулевое подпространство в _K V имеет проективную размерность, равную -1 ; одномерные линейные подпространства имеют нулевую проективную размерность (их называют точками проективной геометрии); двумерные линейные подпространства имеют проективную размерность, равную 1 (их называют прямыми проективной геометрии); и т. д., $\pdim V = n-1$ . Обозначая через G_i совокупность всех (i+1)-мерных линейных подпространств в _K V, получаем (n-1)-мерную проективную геометрию PG(_K V)={G₀,G₁,…,G_n-1}, где G₀ — множество точек, G₁ — множество прямых, G₂ — плоскостей, G_i — множество i -мерных плоскостей, с отношением инцидентности $U\prec W$ для $U\in G_i$ , $W\in G_j$ , где $0 \leq i \leq j \leq n-1$ , означающим, что $U\subseteq W$ .

Теорема о ранге матрицы

Пусть $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ — прямоугольная $(m\times n)$ -матрица с элементами a_{ij} из поля K. Определитель $M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}$ квадратной $(k\times k)$ -матрицы, состоящей из элементов на пересечении k строк с номерами i₁,…,i_k и k столбцов с номерами j₁,…,j_k, называется минором k-го порядка матрицы A. Наивысший порядок ненулевого минора матрицы A обозначим через $r(A)$ .

Теорема 9.16.1 (о ранге матрицы). Следующие четыре числовые характеристики матрицы $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ совпадают:

r(A₁,…,A_m) (ранг системы строк, в Kⁿ);
$r(\hat A_1,...,\hat A_n)$ (ранг системы столбцов, в $\hat K^n$ );
r(A) (наивысший порядок ненулевого минора);
число ненулевых строк r в ступенчатом виде A матрицы A.

(Это совпадающее число называется рангом матрицы A } и будет обозначаться через r(A)).

Доказательство разобьем на четыре леммы.

Лемма 9.16.2. Пусть матрица $\tilde A$ получена из матрицы A элементарным преобразованием строк (столбцов) 1-го или 2-го типа, тогда $r(A)=r(\tilde A)$ . Если A — ступенчатая форма, к которой приводится матрица A, то r(A)=r(A).

Доказательство проведем для преобразований строк (для столбцов все аналогично).

Случай 1. A’_i=A_i+cA_j, $c\in K$ , $i\neq j$ . Для k>r(A) рассмотрим минор $\tilde M=\tilde M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}$ в $\tilde A$ .

а) Если $i\notin \{i_1,...,i_k\}$ , то $\tilde M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0$ .

б) Если $i,j\in \{i_1,...,i_k\}$ , то $\tilde M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0$ .

в) Если $i\in\{i_1,...,i_k\}\not\ni j$ , то разложим определитель $\tilde M$ по i -й строке A’_i=A_i+cA_j в сумму двух определителей: $\tilde M=M+c\tilde\Delta=0$ , так как $M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0$ , поскольку $k>r(A)$ , определитель $\tilde\Delta$ в качестве i -й строчки имеет часть строки A_j, но $j\notin\{i_1,...,i_k\}$ , и поэтому $\tilde\Delta$ отличается от минора матрицы порядка k перестановкой двух строк, и поэтому $\tilde\Delta=0$ . Итак, $r(\tilde A) \leq r(A)$ . Поскольку от A к $\tilde A$ можно вернуться элементарным преобразованием строк, то $r(A) \leq r(\tilde A)$ .

Случай 2. $A_i\leftrightarrow A_j$ разбирается аналогично ( $i,j\in\{i_1,...,i_k\}$ ; $i,j\notin\{i_1,...,i_k\}$ ; $i\in\{i_1,...,i_k\}\not\ni j$ ).

Лемма 9.16.3 (о сохранении линейных соотношений между столбцами при элементарных преобразованиях строк). Пусть от матрицы A к матрице A’ мы перешли элементарными преобразованиями строк, тогда столбцы матриц A и A’ имеют одни и те же линейные соотношения, а именно, $k_1\hat A_1+...+k_n\hatA_n=0$ тогда и только тогда, когда $k_1\hat A'_1+...+k_n\hat A'_n=0$ .

Доказательство. Ясно, что элементарные преобразования 1-го и 2-го типа для строк сохраняют линейное соотношение для столбцов и эти преобразования обратимы.

Следствие 9.16.4. Система столбцов $\hat A_{j_1},...,\hat A_{j_r}$ матрицы A линейно зависима (соответственно, линейно независима или является максимальной линейно независимой подсистемой в $\hat A_1,...,\hat A_n\in \hat K^m$ ) тогда и только тогда, когда соответствующая система столбцов (с теми же номерами) $\hat A'_{j_1},...,\hat A'_{j_r}$ матрицы A’ линейно зависима (соответственно линейно независима или является максимальной линейно независимой подсистемой в $\hat A'_1,...,\hat A'_n\in \hat K^m$ ).

Следствие 9.16.5. $r\{\hat A_1,...,\hat A_n\}=r\{\hat A'_1,...,\hat A'_n\}$ .

Лемма 9.16.6. Если A — ступенчатая матрица, то наивысший порядок ненулевого минора r(A) совпадает с числом r ненулевых строк.

Доказательство.

Минор r-го порядка на пересечении r ненулевых строк и столбцов, проходящих через уголки ступенек, является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на главной диагонали, и поэтому отличен от нуля.
Все миноры, порядок которых больше r, нулевые, так как имеют нулевую строку.

Лемма 9.16.7. В ступенчатой матрице A ранг системы столбцов совпадает с числом r ненулевых строк (а именно, столбцы, проходящие через уголки ступенек, образуют максимальную линейно независимую подсистему столбцов).

Доказательство.

Указанные столбцы линейно независимы, так как проходят через $(r\times r)$ -матрицу с ненулевым определителем.
Любой столбец ступенчатой матрицы является линейной комбинацией указанных.

Следствие 9.16.8 (алгоритм нахождения максимальной линейно независимой подсистемы в системе столбцов прямоугольной матрицы). От матрицы A перейдем к ступенчатой матрице A с помощью элементарных преобразований строк 1-го и 2-го типов, запомним номера столбцов j₁,…,j_r, проходящих через уголки ступенек в A, в матрице A возьмем столбцы с этими номерами $\hat A_{j_1},...,\hat A_{j_r}$ .

Пример 9.16.9. Найти какую-либо максимальную линейно независимую подсистему строк в системе $a_1,a_2,a_3,a_4\in R^4$ ,

$\begin{gathe} a_1=(-1,4,-3,-2),\quad a_2=(3,-7,5,3), \\ a_3=(3,-2,1,0),\quad a_4=(-4,1,0,1), \end{gathe}$

а остальные строки выразить как линейные комбинации строк этой подсистемы.

Решение Записываем строки a₁, a₂, a₃, a₄ как столбцы и приводим полученную матрицу к главному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

$\begin{multline*} \begin{pmatrix} -1 & \phm 3 & \phm 3 & -4\\ \phm 4 & -7 & -2 & \phm 1\\ -3 & \phm 5 & \phm 1 & \phm 0\\ -2 & \phm 3 & \phm 0 & \phm 1 \end{pmatrix}\to{} \begin{pmatrix} -1 & \phm 3 & \phm 3 & -4\\ \phm 0 & \phm 5 & \phm 10 & -15\\ \phm 0 & -4 & -8 & \phm 12\\ \phm 0 & -3 & -6 & \phm 9 \end{pmatrix}\to{} \\ {}\to \left( \begin{array}{cccc} \multicolumn{1}{|c}{-1} & 3 & 3 & -4\\ \cline{1-1} \phm 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 2 & -3\\ \cline{2-4} \phm 0 & 0 & 0 & \phm 0\\ \phm 0 & 0 & 0 & \phm 0 \end{array}\right) \to \left( \begin{array}{cccc} \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 3 & -5\\ \cline{1-1} 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 2 & -3\\ \cline{2-4} 0 & 0 & 0 & \phm 0\\ 0 & 0 & 0 & \phm 0 \end{array}\right). \end{multline*}$

Записываем номера столбцов в ступенчатом виде, проходящие через уголки ступенек: 1, 2. Поэтому {a₁,a₂} — максимальная линейно независимая подсистема, a₃=3a₁+2a₂, a₄=-5a₁-3a₂ ; ранг системы строк a₁, a₂, a₃, a₄ равен 2.

Завершение доказательства теоремы о ранге:

$\begin{align*} & \mr(\hat A_1,\ldots,\hat A_n) \stackrel{\text{лемма~9.16.3}}{=} \mr(\Hat{\Bar A}_1,\ldots,\Hat{\Bar A}_n) \text{ (ранг столбцов}\\ & \quad {} \text{ступенчатой матрицы $\bar A$)} \stackrel{\text{лемма~9.16.7}}{=} r \stackrel{\text{лемма~9.16.6}}{=}{} \\ & \quad {}= \mr(\bar A) \stackrel{\text{лемма~9.16.2}}{=}{} \mr(A) = \mr(A^*) \stackrel{\text{лемма~9.16.3}}{=} \mr(A_1,\ldots,A_m). \end{align*}$

Теорема 9.16.10. Пусть $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ , $B=(b_{ij})\in M_{n,r}(K)$ . Тогда

$r(AB) \leq r(A),\quad r(AB) \leq r(B).$

Доказательство. Пусть C=(c_ij)=AB. Тогда

$\begin{align*} c_{ij} &= a_{i1}b_{1j}+...+a_{in}b_{nj},\\ C_i &= a_{i1}B_1+...+a_{in}B_n,\\ \hat C_j &= \hat A_1b_{1j}+...+\hat A_n b_{nj}, \end{align*}$

т. е. строки матрицы C линейно выражаются через строки матрицы B, столбцы матрицы C линейно выражаются через столбцы матрицы A. Поэтому $r(C) \leq r(B)$ и $r(C) \leq r(A)$

Следствие 9.16.11. При умножении на квадратную матрицу A с $|A|\neq 0$ ранг не меняется.

Доказательство. Так как

$|A|\neq 0$

, то существует обратная матрица A^-1. Поэтому (BA)A^-1=B=A^-1(AB), и следовательно,

$r(B) \leq r(BA),\quad r(B) \leq r(AB).$

Ранее мы доказали, что

$r(B) \geq r(BA),\quad r(B) \geq r(AB).$

Поэтому

$r(B)=r(BA),\quad r(B)=r(AB).$

Задачи 9.16.12.

В условиях теоремы:
$r(A)+r(B)-n \leq r(AB).$
Если $A,B,C\in M_{n}(K)$ и ABC=0, то
$r(A)+r(B)+r(C) \leq 2n.$
Пусть $A\in M_{m,n}(K)$ , $B\in M_{n,m}(K)$ и m>n. Покажите, что $\det (AB)=0$ .
Доказательство. Так как $AB\in M_{m}(K)$ , то

$r(AB) \pleq r(B) \pleq n<m.$
Если $A^2=A\in M_{n}(K)$ , то
$r(A)+r(E-A)=n.$
Если $A,B\in M_{n}(K)$ и A²=A, AB=0=BA, то
$r(A+B)=r(A)+r(B).$
Если $A,B\in M_{n}(K)$ , AB=BA, $r(A^2)=r(A)$ и $r(B^2)=r(B)$ , то
$r((AB)^2)=r(AB).$
Если $A_1,...,A_k\in M_{n}(K)$ , $k \geq 2$ , то
$r(A_1... A_k) \geq r(A_1)+...+r(A_k)-n(k-1).$

Теорема 9.16.13 (о факториальном ранге). Пусть $m,n\in N$ , $A\in M_{m,n}(K)$ . Ранг матрицы r(A) равен наименьшему числу k такому, что

$A=B\cdot C,\ \ \text{где}\ \ B\in M_{m,k}(K),\ \ C\in M_{k,n}(K)$

(это число k называется факториальным рангом матрицы A).

Доказательство. Допустим, что $A=B\cdot C$ , где $B\in M_{m,n}(K)$ , $C\in M_{k,n}(K)$ . Тогда система столбцов матрицы A линейно выражается через систему столбцов матрицы B (их k штук). Поэтому $r(A) \leq k$ .

Пусть k=r(A). Выберем строки $A_{i_1},...,A_{i_k}$ , образующие максимальную линейно независимую подсистему строк A₁,…,A_m матрицы A,

$A_i=\beta_{i1}A_{i_1}+...+\beta_{ik}A_{i_k},\quad \beta_{ij}\in K,\ \ 1 \leq i \leq m.$

Рассмотрим матрицы $B\in M_{m,k}(K)$ , $B=(\beta_{ij})$ , и $C\in M_{k,n}(K)$ , для которой j -я строка $C_j=A_{i_j}$ , j=1,…,k. Тогда $A=B\cdot C$

Теорема 9.16.14 (теорема Кронекера—Капелли: критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц). Пусть $(a_{ij}\mid b_i)$ — система m линейных уравнений с n неизвестными, $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ — матрица коэффициентов,

$A'= \left( \begin{array}{c|c} & b_1\\ A & \vdots\\ & b_m \end{array} \right)\text{ -}$

расширенная матрица системы линейных уравнений.

а) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов A равен рангу расширенной матрицы $A'=(A,\hat b)$ , r(A)=r(A’).

б) Система линейных уравнений определенная тогда и только тогда, когда r(A)=r(A’)=n.

Доказательство.

Используя определение ранга матрицы с помощью столбцов, видим, что всегда $r(A) \leq r(A')$ .
Если (k₁,…,k_n) — решение, то
$k_1\hat A_1+...+k_n\hat A_n= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix},$

т. е. столбцы матрицы A’ линейно выражаются через столбцы матрицы A, следовательно, $r(A') \leq r(A)$ , и поэтому r(A’)=r(A).
Пусть r(A’)=r(A)=r. Тогда максимальная линейно независимая система столбцов матрицы A содержит r столбцов, и поэтому она является и максимальной линейно независимой системой столбцов матрицы A’. Таким образом, столбец

$\begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}$

линейно выражается через эту систему столбцов матрицы A, а поэтому и через все столбцы матрицы A,

$k_1\hat A_1+...+k_n\hat A_n= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}.$

Итак, существует решение (k₁,…,k_n) системы линейных уравнений.

Второе доказательство. Элементарными преобразованиями приведем систему линейных уравнений к ступенчатому виду (ранги матриц не меняются при этом). Совпадение рангов означает отсутствие «экзотических» уравнений в ступенчатом виде, т. е. совместность системы линейных уравнений.
Доказательство критерия определенности в терминах рангов). Если система определена, т. е. r(A)=r(A’), то она определена тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде нет свободных неизвестных, т. е. r(A)=r(A’)=n.