Примеры линейных преобразований

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Пример 1. Пусть преобразование А есть поворот всех векторов 0Х плоскости х0y, т.е. поворот плоскости х0y вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Это преобразование линейно, так как безразлично, сначала ли сложить векторы а и b, а потом повернуть их на угол , или сначала повернуть векторы на указанный угол, а потом сложить их (рис. 9.1, а).

Рис. 9.1.

Так же будет безразлично умножить ли сначала вектор а на число λ, а затем повернуть его на угол , или сделать это в обратном порядке (рис. 9.1, б).

Чтобы построить матрицу рассматриваемого линейного преобразования — поворота на угол , выберем в рассматриваемом евклидовом пространстве V2 базис из двух единичных взаимноперпендикулярных векторов е1 и е2. Вектор е1 после поворота на угол перейдет в вектор А(е1), который также будет являться единичным и образовывать с исходным вектором е1 угол , а с вектором е2 угол /2 — (рис. 9.2). Из (рис. 9.2) очевидно, что

A(e_1)=OC+OB=\alpha e_1+\beta e_2. (9.16)

Но = |ОС| = |А(е1)| cos = 1×cos; β = |ОB| = |А(е1)| cos(/2 — ) = |А(е1)| sin = 1×sin. Тогда, подставив полученные значения и β в равенство (9.16), получим

A(e_1)=\cos\varphi\cdot e_1+\sin\varphi\cdot e_2. (9.17)

Аналогично рассуждая, из рис. 9.2 можно получить формулы преобразования для вектора А(е2):

A(e_2)=OC_1+OB_1=\alpha_1 e_1 + \beta_1 e_2. (9.18)

Рис. 9.2.

Но 1 = -|ОС1| = -|А(е2)| sin(/2+) = -1×sin; β1= |ОB1| = |А(е2)|cos = 1×cos. Тогда, подставив полученные значения 1 и β1 в равенство (9.18), будем иметь

А(е_1) = -\sin\varphi\times е_1 + \cos\varphi \times е_2. (9.19)

Из равенств (9.17) и (9.19) найдем матрицу

A'= \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix},

, выражающую образы базисных векторов через сами базисные векторы [см. формулe (9.13)]. Тогда матрица А, задающая линейное преобразование в данном пространстве V2, есть A= \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} .

Пример 2. Пусть в пространстве V2 каждому вектору х ставится в соответствие вектор у = А(х), представляющий собой зеркальное отображение вектора х относительно некоторой фиксированной прямой γ, проходящей через точку 0, которая принимается за начало всех векторов х V2 (рис. 9.3). Преобразование А в этом случае является линейным и называется зеркальным отображением относительно прямой γ. Примем за базис два единичных взаимно ортогональных вектора (рис. 9.4), один из которых направим по прямой γ. Найдем матрицу этого преобразования. Базисный вектор е1 преобразуется в вектор А(е1) = е1, а вектор е2 — в вектор А(е2) = -е2, т.е. А(е1) = е1 = 1 × е1+0×е2, А(е2) = -е2 = 0×е1 + (-1)×е2. Тогда в выбранном базисе матрицы A’ и А имеют вид:

A'= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},
A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Рис. 9.3.

Рис. 9.4.

Пример 3. Определим линейное преобразование А, переводящее каждый вектор х Rn в λх Rn, где λ — фиксированное число из поля К, т.е. х Rn λх Rn, которое называется преобразованием подобия. Найдем его матрицу. Для базисных векторов е1, е2, …, еn имеем

\begin{gathered} A(e_1)=\lambda e_1 = \lambda e_1 + 0e_2 + \ldots + 0e_n; \\ A(e_2)=\lambda e_2 = 0e_1 + \lambda e_2 + \ldots + 0e_n; \\ \ldots \\ A(e_n)=\lambda e_n = 0e_1 + 0e_2 + \ldots + \lambda e_n. \end{gathered}

Тогда

A'=A= \begin{pmatrix} \lambda & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda \end{pmatrix}.

Пример 4. Если х Rn преобразование А переводит вектор х сам в себя А(х) = х, то такое преобразование тоже линейно, называется тождественным и обозначается Е

\begin{gathered} A(e_1)=e_1=1\times e_1+0e_2+\ldots+0e_n; \\ A(e_2)=e_2=0e_1+1\times e_2+\ldots+0e_n; \\ \ldots \\ A(e_1)=e_1=0e_1+0e_2+\ldots+1\times e_n. \end{gathered}

Таким образом, матрица тождественного преобразования Е в любом базисе есть единичная матрица

A'=A=E= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}.

Пример 5. Если х Rn преобразование А переводит вектор х в нулевой А(х) = 0, то такое преобразование является линейным и называется нулевым.

\begin{gathered} A(e_1)=0e_1=0e_1+0e_2+\ldots+0e_n; \\ A(e_2)=0e_2=0e_1+0e_2+\ldots+0e_n; \\ \ldots \\ A(e_n)=0e_n=0e_1+0e_2+\ldots+0e_n. \end{gathered}

Матрица нулевого преобразования в любом базисе есть нулевая матрица V:

V= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}.