Подпространства линейного пространства

Определение 14. Подпространством линейного пространства R называется совокупность его элементов R₁, которая сама является линейным пространством относительно введенных в R операций сложения и умножения на число.

Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, выполняются ли в R₁ аксиомы линейного пространства, которые выполняются в R. Для этого надо взять два элемента из R₁ и проверить операции сложения, умножения, существование нулевого и противоположного элементов. Очевидно, что размерность подпространства R₁ должна быть меньше или равна размерности пространства R.

Например, в обычном трехмерном пространстве геометрических векторов подпространствами будут являться множества векторов на всех плоскостях и всех прямых, проходящих через начало координат. Следовательно, чтобы охарактеризовать расположение любого геологического объекта достаточно только трех координат, так как эти объекты располагаются в трехмерном пространстве. Это могут быть не только привычные x,y,z, но и криволинейные, например, азимут, простирание и глубина залегания или широта, долгота и высота.

Очевидно, что подпространством любого пространства R будет само пространство R и множество, состоящее из одного нулевого элемента.

Рассмотрим теперь систему линейных однородных уравнений, ранг которой равен r. Каждое решение этой системы (₁, ₂, …, _n) будем рассматривать как векторы n-мерного пространства R с некоторым базисом. Известно, что среди множества решений однородной системы уравнений существуют независимые решения. Систему независимых решений однородной системы уравнений называют фундаментальной. Она состоит из (n — r) независимых решений. Таким образом, совокупность всех решений однородной системы уравнений с рангом r является линейным (n — r)-мерным подпространством в n-мерном арифметическом пространстве R. Базисом этого подпространства служит любая фундаментальная система решений.