Действия над линейными преобразованиями

Сложение преобразований. Пусть в n-мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, …, l_n заданы два линейных преобразования А и В, определяемые как y = Ax и z = Bx.

Определение 28. Суммой линейных преобразований А и В называют преобразование С, обозначаемое С = А + В, если для каждого вектора x из пространства R справедливо Сх = (А + В)х = Ax + Вx. Тогда говорят, что преобразование С преобразует вектор х в вектор q равный сумме векторов у и z, т.е. q = y + z.

Из определения 28 очевидно, что матрица С, определяющая преобразование С, должна быть равна сумме матриц преобразований А и В: С = А + В.

Умножение преобразования на число. Пусть в n-мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, …, l_n задано линейное преобразование А, определяемом как y = Ax, и некоторое число λ.

Определение 29. Произведением линейного преобразования А и числа λ называют преобразование С, обозначаемое С = λА, если для каждого вектора x из пространства R справедливо Сх = (λА)х = λAx. Тогда говорят, что преобразование С преобразует вектор х в вектор q, равный λy, где у = Ax.

Произведение преобразований. Пусть в n-мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, …, l_n заданы два линейных преобразования А и В, определяемых как y = Ax и z = Bу, т.е. вектор x преобразуется преобразованием А в вектор y, который в свою очередь преобразуется в вектор z преобразованием В.

Определение 30. Произведением преобразований А и В называют преобразование С, обозначаемое С = ВА, если для каждого вектора x R справедливо Сх = (ВА)х = В(Ax) = Ву = z.

Заметим, что в этом случае матрица преобразования С, определяющая произведение преобразований А и В, будет выражаться произведением матриц соответствующих преобразований: С = ВА.

Обратное преобразование. Пусть в n-мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, …, l_n задано линейное преобразование А выражением y = Ax, где A — невырожденная квадратная матрица, для которой определена обратную матрицу A^-1 как A^-1A = AA^-1 = Е, где Е — единичная матрица¹⁾.

Определение 31. Обратным преобразованием х = A^-1у назовем такое, которое будет обратно прямому преобразованию y = Ax, причем произведение прямого и обратного преобразования будет переводить вектор в самого себя, т.е. х = A^-1у = A^-1Ax = Еx = х.

Очевидно, что матрица A^-1 обратного преобразования А^-1 будет являться обратной по отношению к матрице прямого преобразования А.

Представление линейного преобразования матрицей

Пусть в n-мерном пространстве R задано преобразование А, которое переводит вектор х R в вектор у m-мерного пространства R₁, т.е. задано преобразование у = Ах. Определим в пространствах R и R₁ базисы соответственно l₁, l₂, …, l_n и g₁, g₂, …, g_m. Тогда векторы х и у могут быть представлены в координатной форме следующим образом

(9.10)

а координаты образа у выражают через координаты прообраза х

(9.11)

Сравним выражение (9.11) вектора у с выражением (9.10). В результате получим g_i = A(l_i), т.е. образ базиса l₁, l₂, …, l_n. Разложим А(l₁), А(l₂), …, А(l_n) по базису g₁, g₂, …, g_m:

(9.12)

Заметим, что выражение (9.12) идентично по своей структуре формулам перехода (9.1).

Подставим выражения (9.12) в формулу (9.11), получим

Сравнив последнее выражение с выражением (9.10) для у, можно записать связь между y_j и x_i как

(9.13)

Если теперь из коэффициентов системы (9.13) составить матрицу

(9.14)

а из элементов х_i и у_j матрицы-столбцы

то систему уравнений (9.13) можно записать в матричном виде y = Ax, именно в таком виде, в каком ранее мы определили линейное преобразование А. Матрица А, определяемая формулами (9.14), называется матрицей линейного преобразования А.

Представим систему (9.12) в матричной записи L = A’(g), где обозначено

(9.15)

Заметим, что матрица A’ преобразования является транспонированной матрицей по отношению к матрице А и определяется выражением (9.14).

Определение 27. Если преобразование А переводит какой-либо ненулевой вектор х в нулевой, т.е. А(х) = 0 при х 0, то преобразование А называют вырожденным.

Вырожденное преобразование А задается вырожденной матрицей, у которой detA = 0 (или по теории матриц ранг такой матрицы меньше ее размера).

В дальнейшем будем рассматривать наиболее важный случай, когда матрица преобразования А задается квадратной матрицей, т.е. когда m = n. Тогда говорят, что пространства R и R₁ совпадают или что преобразование А задано в n-мерном пространстве с базисом l₁, l₂, …, l_n и отображает это пространство в себя.

Таким образом, каждому линейному преобразованию А в заданном базисе l₁, l₂, …, l_n соответствует квадратная матрица А порядка n и, наоборот, каждая квадратная матрица А порядка n определяет некоторое линейное преобразование А в заданном базисе l₁, l₂, …, l_n.

Линейные преобразования в линейном пространстве

Определение 24. Если некоторая величина характеризуется полностью одним числом, не зависящим от базиса линейного пространства, то такую величину называют скалярной, или скаляром. Скалярная величина обозначается одной буквой, без выделения.

Одним из основных понятий математики является функциональная зависимость. Говорят, что скалярная величина у является функцией скалярного аргумента х, если каждому значению переменной х, взятому из некоторого множества допустимых значений, соответствует определенное значение переменной у. Закон соответствия обычно записывают в виде y = f(x), где f — символическое обозначение некоторой функции.

Функции в общем случае зависят от одного или от нескольких вещественных переменных. Если функция зависит от трех вещественных переменных, то тогда говорят о функции, аргументом которой является вектор пространства V₃.

Поэтому понятие функциональной зависимости можно обобщить на векторные функции от векторного аргумента. Здесь мы ограничимся самыми простейшими типами, к которым относятся линейные функции. Векторные функции являются линейными операторами и обозначаются как y=Ax. С этой точки зрения операции над множествами, приведенные на рис. 7.1 лекции 7, можно рассматривать как примеры линейных операторов: позиция а — операция прибавления числа 5, позиция б — операция вычитания числа 3, позиция в — операция умножения на число 3, т.е. оператор А обозначает правило, по которому элементам множества А ставятся в соответствие элементы множества Б.

Определим два линейных пространства R и R₁ над числовым полем К, и пусть вектор х принадлежит линейному пространству R, а вектор у — линейному пространству R₁.

Определение 25. Оператором А называют любой закон (правило), по которому каждому вектору х R ставят в соответствие вектор у R₁ и обозначают у = Ах.

Определение 26. Оператор А называют линейным, если выполняются условия: А(х₁ +х₂) = Ах₁ +Ах₂, х₁ ,х₂ R; А(λх) = λА(х) х R λ К.

Из определения 25 следует, что линейный оператор А определяет преобразование А вектора х R в вектор у R₁. Вектор у называют образом вектора х, а вектор х — прообразом вектора у. Тогда очевидно, что множество L всех образов у = Ах, где х R, образует подпространство линейного пространства R₁. Действительно, если у₁ L и у₂ L, то сумма у₁ + у₂ = Ах₁ + Ах₂ = А(х₁ +х₂) = А(х₃) тоже будет принадлежать L, а при умножении у на λ имеем λу = λА(х) = А(λх), т.е. λy L, откуда на основании определения 32 следует, что L — является подпространством пространства R₁.

Таким образом, преобразование R в L с помощью линейного оператора А есть отображение пространства R в пространство R₁.

Евклидово пространство

В предыдущем параграфе мы выяснили, что количество координатных осей определяет мерность пространства. Так, если некоторое пространство задано тремя координатными осями, то говорят, что речь идет о трехмерном пространстве.

Рассмотрим n-мерное пространство, определенное n-координатными осями, на каждой из которых заданы единичные векторы, обычно обозначаемые как или е₁, е₂, …, е_r.

Рассмотрим в заданном пространстве вектор V. Если V₁, V₂, …, V_r — проекции вектора V на оси координат, то указанный вектор можно представить как

Замечание 15. В аффинном пространстве не задано понятие длины..

Определение 16. Если же в пространстве существует некоторый эталон длины, при помощи которого можно сравнить , то такое пространство назовем метрическим.

Аффинное пространство позволяет изучать общие свойства тел, не изменяющиеся при произвольном преобразовании системы координат. Примером аффинного пространства может служить пространство, по координатным осям которого отложим давление, объем, температура. Однако в нем отсутствует понятие длины, так как совершенно очевидно, что общей единицы для измерения давления, объема и температуры не существует, а следовательно, не имеет физического смысла понятие расстояния между двумя точками в этом пространстве. А вот пространство, в котором система координат определена географической широтой, долготой и высотой, является метрическим, так как пользуясь этими координатами можно определить расстояние между географическими объектами на карте. Поэтому, если в задаче надо знать расстояние между точками и закон его изменения со временем, то необходимо перейти к метрическому пространству, где и решать поставленную задачу. На практике одинаково часто используют как аффинное, так и метрическое пространства, при необходимости переходя из одного в другое.

Пусть — единичные векторы старой, а — единичные векторы новой систем координат. Покажем простую связь между ними.

Если обозначим проекцию единичного вектора на единичный вектор , то тогда получим систему линейных уравнений, определяющую переход от одной системы координат к другой:

Подпространства линейного пространства

Определение 14. Подпространством линейного пространства R называется совокупность его элементов R₁, которая сама является линейным пространством относительно введенных в R операций сложения и умножения на число.

Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, выполняются ли в R₁ аксиомы линейного пространства, которые выполняются в R. Для этого надо взять два элемента из R₁ и проверить операции сложения, умножения, существование нулевого и противоположного элементов. Очевидно, что размерность подпространства R₁ должна быть меньше или равна размерности пространства R.

Например, в обычном трехмерном пространстве геометрических векторов подпространствами будут являться множества векторов на всех плоскостях и всех прямых, проходящих через начало координат. Следовательно, чтобы охарактеризовать расположение любого геологического объекта достаточно только трех координат, так как эти объекты располагаются в трехмерном пространстве. Это могут быть не только привычные x,y,z, но и криволинейные, например, азимут, простирание и глубина залегания или широта, долгота и высота.

Очевидно, что подпространством любого пространства R будет само пространство R и множество, состоящее из одного нулевого элемента.

Рассмотрим теперь систему линейных однородных уравнений, ранг которой равен r. Каждое решение этой системы (₁, ₂, …, _n) будем рассматривать как векторы n-мерного пространства R с некоторым базисом. Известно, что среди множества решений однородной системы уравнений существуют независимые решения. Систему независимых решений однородной системы уравнений называют фундаментальной. Она состоит из (n — r) независимых решений. Таким образом, совокупность всех решений однородной системы уравнений с рангом r является линейным (n — r)-мерным подпространством в n-мерном арифметическом пространстве R. Базисом этого подпространства служит любая фундаментальная система решений.