Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных

Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

(4.12)

Элементарными преобразованиями системы (4.12) называют:

1. перестановку любых двух уравнений;
2. умножение обеих частей любого уравнения на любое число, отличное от нуля;
3. прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Очевидно, что элементарные преобразования переводят линейную систему в эквивалентную.

Ступенчатой системой называется система линейных уравнений вида

(4.13)

где . Коэффициенты a_ii называются главными, или ведущими, элементами системы. Например, система

имеет ступенчатый вид.

Если в системе (4.13) k = n, то ее называют треугольной. Очевидно, что в этом случае она является определенной.

Если k < n, то k неизвестных х₁, х₂, …, х_к, называют главными элементами. Они могут быть выражены через остальные n – k неизвестные, называемые свободными. В этом случае система (4.13) будет называться неопределенной.

Вернемся к произвольной системе (4.12) и для определенности будем считать, что а₁₁ 0. Если это не так, то тождественными линейными преобразованиями системы (4.12) можно всегда добиться выполнения данного условия. Исключим х₁ из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на a₂₁/a₁₁ и вычтем из соответствующих частей второго уравнения. Затем обе части первого уравнения умножим на a₃₁/a₁₁ и вычтем из соответствующих частей третьего. И так поступим с каждым следующим уравнением. Далее таким же образом исключаем х₂ из третьего, четвертого и так далее уравнений. В результате таких преобразований мы получим совместную ступенчатую систему или придем к несовместимой системе, в которой одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все остальные коэффициенты левой части равны нулю. В последнем случае система (4.12) также будет несовместимой.

Пример 6. Решить систему

Решение. Вычисления удобно записывать по так называемой схеме единственного деления, в которой оперируют с коэффициентами системы.

В результате получаем треугольную систему:

Делая обратный ход, найдем х₃ = 2; х₂ = 3; х₁ = 1, т.е. решение (1, 3, 2).

Замечание. Последний столбец является контрольным. В нем суммируются элементы соответствующих строк.

Правило Крамера

Основные задачи изучения системы (3.1), лекции 3:

1. Выяснить, является ли система (3.1) совместной или несовместной.
2. Если система (3.1) совместна, то выяснить, является ли она определенной и найти решения.

Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

(4.2)

Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы

Умножим обе части первого уравнения почленно на алгебраическое дополнение А₁₁ элемента а₁₁, второе уравнение — на алгебраическое дополнение А₂₁ элемента а₂₁, а третье — на алгебраическое дополнение А₃₁ элемента а₃₁.

Сложим все три полученных уравнения, умножив предварительно на соответствующие алгебраические дополнения, получим

(4.3)

Коэффициенты при y и z в силу свойства определителя (см. лекц. 2, теорема 2) равны нулю, а коэффициент при х на основании тех же свойств (см. лекц. 2, теорема 1) равен Δ, т.е. a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+a₃₁A₃₁=Δ, поэтому равенство (4.3) примет вид:

(4.4)

(4.5)

Заметим, что определитель Δ_х получается из определителя Δ путем замены коэффициентов а₁₁, а₂₁, а₃₁ при неизвестном х свободными членами или замены первого столбца Δ коэффициентов при искомом х столбцом свободных членов. Аналогично получаются другие равенства:

(4.6)

Определители Δ_y и Δ_z получают из определителя системы Δ заменой второго и третьего столбцов Δ коэффициентов при y и z столбцом свободных членов.

Рассмотрим следующие случаи.

1. Δ0. Тогда из равенств (4.4) и (4.5) находим решение системы (2) как

   (4.7)

   которые называют формулами Крамера.

2. . Тогда по крайней мере один из Δ_х, Δ_y или Δ_z отличен от нуля и система (4.2) не имеет решения (система несовместна), что можно показать. Пусть, например, Δ_х0. Тогда равенство из (4.4) получаем Δх = Δ_х или 0·х = Δ_х, что невозможно.
3. Δ=0 и Δ_х = Δ_y = Δ_z = 0. Тогда система (4.2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему

Решение. Вычислим все определители.

Так как Δ = -8 0, то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (4.7):

т.е. (2, 0, -1) — искомое решение системы.

Пример 2. Решить систему

Решение. Вычислим определители

т.е. система решений не имеет (случай 2)

Пример 3. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, что Δ = 0 и Δ_х = Δ_y = Δ_z = 0. Данная система не имеет решений, так как первое и третье уравнения противоречивы. Если умножить первое уравнение на 3 и вычесть из полученного уравнение третье, то придем к ложному равенству 0 = 3.

Пример 4. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, что Δ = 0 и Δ_х = Δ_y = Δ_z = 0. Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений относительно трех неизвестных

Так как

то можно найти решение последней системы

в которой переменная z является свободной, и, следовательно, исходная система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти либо по формулам Крамера, либо методом исключений. В результате получим (-5z/11; (7z+11)/11; z), где z может принимать произвольные значения.

Операции над векторами

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание векторов производят математически (по формулам) или геометрически (рис. 5.5). Геометрический способ более известен как правило треугольника.

Рис. 5.5.

Математически сложение записывают или , если речь идет о вычитании векторов (рис. 5.5). В координатной форме эти операции над векторами можно определить следующим образом. Пусть в пространстве заданы два разных вектора a=(a_x;a_y;a_z) и b=(b_x;b_y;b_z). Требуется определить вектор с, равный c=a+b или c=a-b. Чтобы математически выполнить сложение или вычитание, сложим или вычтем соответствующие компоненты исходных векторов: c=a+b=(a_x+b_x;a_y+b_y;a_z+b_z) или c=a-b=(a_x-b_x;a_y-b_y;a_z-b_z).

Если в пространстве задано несколько векторов, число которых больше двух, то операцию сложения (вычитания) записывают как .

Геометрически этот способ называют правилом многоугольника.

Непосредственно из геометрического определения суммы (разности) векторов следует два свойства операции сложения (разности), в справедливости которых можно легко убедиться самостоятельно:

• коммутативность суммы, т.е. ;
• ассоциативность суммы, т.е. .

Основные определения скалярных и векторных величин

Определение 1. Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом.

Примером скалярных величин могут служить угол, площадь, объем, плотность среды, сопротивление, температура.

Следует различать два типа скалярных величин: чистые скаляры и псевдоскаляры.

Определение 2. Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда говорят о чистой скалярной величине или об истинном скаляре.

Определение 3. Если некоторая скалярная величина определяется одним числом, абсолютная величина которого не зависит от выбора осей отсчета, а ее знак зависит от выбора положительного направления на осях координат, то тогда говорят о псевдоскалярной величине.

Определение 4. Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом — числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора.

Геометрически принято изображать вектор направленным отрезком. Для обозначения векторных величин используют малые латинские буквы, выделенные жирным шрифтом (a), либо со стрелочкой вверху (), либо две заглавные буквы с черточкой вверху (), где А — начало вектора, В — его конец (рис. 5.1). Заметим, что зная координаты начала и конца вектора и, можно найти координаты вектора, определяемого этими точками , т.е. от координат конца вычитают координаты начала вектора.

Рис. 5.1.

Определение 5. Два одинаково направленных и параллельных вектора называют коллинеарными.

Коллинеарные векторы могут быть разной длины (рис. 5.2, векторы АВ и А₁В₁), поэтому одна только коллинеарность не гарантирует равенства векторов. Если векторы коллинеарны, а их длины (модули) равны (рис. 5.2, векторы АВ и А₂В₂), то такие векторы называются эквиполентными.

Рис. 5.2.

Определение 6. Если модуль вектора равен единице, то такой вектор называют единичным, или ортом.

Орт вектора всегда имеет то же направление, что и рассматриваемый вектор. Единичные векторы координатных осей 0х, 0у, 0z обычно обозначают соответственно как (или i, j, k).

Определение 7. Если вектор не зависит от изменения направления, выбранного на осях координат в качестве положительного, то такой вектор называют полярным.

К полярным векторам относится векторы силы, скорости, напряженности электрического поля и др.

Определение 8. Если при изменении направления, выбранного на осях координат в качестве положительного, вектор, меняет свой знак, то такой вектор называют осевым.

Из геометрического определения коллинеарности, данного ранее, вытекает еще одно определение коллинеарности.

Определение 9. Два вектора и называют коллинеарными, если существуют такие два числа и β, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство .

Определение 10. Три вектора , и назовем компланарными, если существуют такие три числа , β и γ, не равные одновременно нулю, что выполняется равенство .

Геометрический смысл определения очевиден: если векторы , и , и параллельны одной плоскости, то обязательно выполняется условие компланарности независимо от того принадлежат эти векторы одной плоскости или параллельным (различным) плоскостям. Верно и обратное утверждение: если найдутся на трех плоскостях три компланарных вектора, по одному в плоскости, то эти плоскости будут параллельны.

Если векторы и не коллинеарны или , и не компланарны, то такие векторы называют линейно независимыми соответственно на плоскости или в пространстве.

Два ненулевых вектора и ортогональны, если они перпендикулярны (проекция вектора на и проекция вектора на равны нулю). Тогда записывают . Такие векторы ВСЕГДА линейно независимы.

Если три ненулевых векторы , и попарно ортогональны (), то тогда они образуют тройку линейно независимых векторов.

Определение 11. Линейно независимые векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 5.3), если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний палец правой руки, в противном случае говорят о левой тройке векторов (рис. 5.4).

Рис. 5.3.

Рис. 5.4.

Определение 12. Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг другу и образующие правую тройку векторов, называют прямоугольной декартовой системой координат.

Определение 13. Углом между векторами и называют такой угол , не превосходящий , на который нужно повернуть вектор , чтобы совместить его с направлением вектора , начало которого должно совпадать с началом . Угол между векторами обозначается () или ().

Умножение

Различают несколько видов операции умножения.

1. Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора на скаляр получают новый вектор , длина (модуль) которого изменяется в раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора , если > 0, или противоположно исходному вектору, если < 0. В координатной форме, если a=(a_x;a_y;a_z), то b=λa=(λa_x;λa_y;λa_z). Следовательно, операция умножения вектора на скаляр не влияет на компланарность (коллинеарность) векторов. Поэтому если несколько векторов до умножения на скаляр были компланарны (коллинеарны), то после умножения компланарность (коллинеарность) между ними сохранится.

Заметим, что любой вектор может быть представлен как произведение единичного, коллинеарного ему вектора на модуль рассматриваемого вектора, т.е. .¹⁾ Из последнего равенства следует, что . Операция умножения вектора на скаляр обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: , а также свойством дистрибутивности: .

2. Скалярное произведение векторов.

Определение 14. Скалярным произведением двух векторов и называется число S, равное . Эта операция обозначается или .

В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора на направление единичного вектора . Следовательно, любой вектор можно представить как , где a_x,a_y,a_z — проекции вектора соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора по ортогональному базису. Из рис. 6.1 видно, что в этом случае вектор является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора численно будет равен .

Рис. 6.1.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

где , и есть скалярное произведение вектора с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

где , β и γ — углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

Можно заметить, что скалярное произведение коммутативно и дистрибутивно, т.е. и . Можно убедиться самостоятельно в том, что всегда выполняется равенство

Замечание 1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда

Замечание 2. , где — единичные векторы (орты) осей координат.²⁾

Замечание 3. .

Замечание 4. Скалярное произведение векторов в координатной форме

Замечание 5. Используя формулу скалярного произведения векторов и , можно найти выражение косинуса угла между этими векторами через их проекции на орты:

Если , то это значит, что угол между векторами больше 90°, т.е. тупой, а если , то угол острый.

Замечание 6. Механический смысл скалярного произведения векторов. Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS.

3. Векторное произведение двух векторов.

Определение 15. Под векторным произведением векторов и понимают вектор , имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости , определяемой векторами и , причем так, что векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 6.2).

Рис. 6.2.

Можно заметить, что длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Векторное произведение обозначают: или . Очевидно, что (из определения векторного произведения), т.е. векторное произведение не коммутативно. Векторное произведение также не ассоциативно, , в чем можно легко убедиться самостоятельно. Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

Так как перпендикулярен плоскости, определяемой векторами и , и численно равен площади параллелограмма, сторонами которого являются векторы и , то, очевидно, что проекции вектора на оси ординат 0х, 0у и 0z будут численно равны площадям проекций указанного параллелограмма на соответствующие координатные плоскости:

Тогда векторное произведение расписывается по базису следующим образом¹⁾:

Замечание 1. . Используя это свойство векторного произведения проверяют ортогональность трех векторов. Если векторное произведение двух любых из трех векторов равно третьему вектору, то тогда говорят , что векторы ортогональны (или линейно независимы) между собой.

Замечание 2. Двойное векторное произведение есть вектор , компланарный векторам и , вычисляемый по формуле

Замечание 3. .

4. Смешанное произведение векторов.

Определение 16. Смешанным произведением векторов , и назовем число К, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 6.3) и вычисляемое как:

Очевидно, что если , и компланарны, то .

Рис. 6.3.

Определение 17. Скалярным произведением двух векторных произведений назовем число, равное выражению

Заметим, что .

Из определения смешанного произведения следует интересный факт, что произведение не зависит от порядка следования векторов в смешанном произведении, так как объем параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит только от расположения этих векторов в пространстве (левая или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. Следовательно, можно записать

Это замечательное свойство смешанного произведения служит обоснованием упрощения записи смешанного произведения:

Примеры решения задач векторной алгебры (см. лекции 5 и 6)

Пример 1. Даны векторы . Найти векторы:

Решение. Вектор представляет из себя сумму двух других векторов и , поэтому его координаты могут быть найдены как сумма соответствующих координат суммируемых векторов:

Вектор представляет из себя разность этих же векторов и , поэтому его координаты также могут быть найдены очень просто, как разность соответствующих координат вычитаемых векторов:

Для того чтобы найти третий вектор , необходимо выполнить промежуточные вычисления, так как на этот раз суммируются не просто векторы и , а векторы, предварительно умноженные на 3 и 2, соответственно. Поэтому сначала надо определить координаты векторов и , а только затем полученные векторы сложить между собой.

Теперь можно вычислить искомый вектор как

Пример 2. Даны проекции силы F на координатные оси как . Найти величину силы F и направление ее действия.

Решение. Вектор имеет координаты (по условию) . Так как в задаче речь идет о «величине» силы, то следовательно необходимо определить модуль найденного вектора. Поэтому величина силы находится как .

Направление действия силы определяют, используя направляющие косинусы, которые вычисляют по известным формулам:

Следовательно сила F, модуль которой равен 8, действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы =60°; β=60°; γ=135°.

Пример 3. Даны векторы и . Требуется определить при каком значении n эти векторы будут перпендикулярны?

Решение. Условием перпендикулярности вектором является равенство нулю их скалярного произведения, так как в формулу скалярного произведения входит косинус угла между этими векторами. Известно, что косинус равен нулю, если аргумент его равен , т.е. 90°. Поэтому для ответа на вопрос задачи достаточно определить, при каком значении n будет выполняться равенство .

По формулам скалярного произведения находим

Из уравнения 4n-16=0 находим, что n=4, т.е. при этом значении n .

Пример 4. Найти площадь треугольника, заданного вершинами A(1;1;0); B(3;0;-3); C(3;2;4).

Решение. Из геометрической интерпретации векторного произведения двух векторов (рис. 6.2) имеем, что модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. А из геометрии известно, что диагональ параллелограмма делит последний на два равновеликих треугольника. На основании этого можно выписать формулу для нахождения площади треугольника АВС:

Для того, чтобы определить векторы и , выберем в качестве вершины любую точку, например А, и найдем векторы и (т.е. стороны треугольника представляем векторами, при этом выбор направления векторов не будет влиять на результат. Для определенности положим, что начало обоих векторов находится в точке А, тогда конец будет располагаться в точках В и С, соответственно).

Для того чтобы определить координаты вектора , вычтем из соответствующих координат «конца» вектора (точка В) соответствующие координаты «начала» вектора (точка А). В результате получим

Аналогично находим и координаты вектора , с той лишь разницей, что теперь вместо точки В в формуле будем использовать точку С.

Теперь найдем векторное произведение векторов и по формуле

Воспользуемся свойством векторного произведения и найдем площадь искомого треугольника.

Пример 5. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A(1;1;2); B(2;3;-1); C(2;-2;4); D(-1;1;3)

Решение. Из геометрической интерпретации смешанного произведения трех векторов (рис. 6.3) известно, что результат равен объему параллелепипеда, построенного на трех перемножаемых векторах как на сторонах. При этом, если векторы образуют правую тройку, то объем выражается положительным числом, а , если векторы образуют левую тройку, то отрицательным. Кроме того, из аналитической геометрии известно, что любой параллелепипед можно разделить на шесть одинаковых тетраэдров. Следовательно, основываясь на свойстве смешанного произведения трех векторов, можно записать:

Определим векторы и . Для этого, как и в предыдущем примере, будем считать, без ограничения общности, точку А «началом» каждого из векторов, а точки В, С и D — «концами» этих векторов. Тогда вычитая координаты «конца» из координат «начала» получаем искомые векторы.

После того как необходимые для вычислений векторы найдены, несложно, пользуясь расчетной формулой смешанного произведения векторов, найти объем тетраэдра.

Замечание. Если объем тетраэдра (или параллелепипеда) получился отрицательным, то это значит, что выбрана левая тройка векторов. Для исправления ориентации тройки векторов (и знака результата) достаточно переставить две строки в определителе

Следствия из аксиом линейного пространства

1. В каждом линейном пространстве нулевой вектор только один.

Доказательство первого следствия из аксиом проведем от противного. Предположим, что в пространстве имеются два нулевых элемента: 0₁ и 0₂. Тогда по аксиоме 3 линейного пространства имеем: 0₂ + 0₁ = 0₂ и 0₁ + 0₂ = 0₁. Однако по аксиоме 1 0₁ + 0₂ = 0₂ + 0₁ 0₁ = 0₂.

2. Для любого вектора х существует только один противоположный вектор.

Доказательство опять проведем от противного. Предположим, что у элемента х имеются два противоположных элемента у и z. Тогда по аксиоме 4 имеем два равенства¹⁾: x + y = 0x + z = 0 x + y + z = (x+y) + z = 0 + z = z x + y + z = y + (x + z) = y + 0 = y z = y.

3. Произведение любого вектора х на число 0 равно нулевому вектору или нуль-вектору.

Доказательство. Действительно, для любого х по аксиоме 7 имеем 0х = (0 + 0)х = 0х + 0х. Но если прибавим к обеим частям последнего равенства (-0х), то получим 0х — 0х = 0х + 0х — 0х, откуда после приведения подобных имеем 0 = 0х, что и требовалось доказать.

4. Произведение нуль-вектора на любое число равно нуль-вектору.

Докажем это следствие, используя шестую аксиому из аксиом линейного пространства и свойство 3 : 0 = (0х) = (0)х = 0х = 0.

5. Произведение любого вектора х на -1 равно вектору, противоположному х, т.е. (-1)х = -х.

На основании аксиом 5 и 6 проведем доказательство следствия: х+(-1)х = (1х + (-1)х = (1-1)х = 0х = 0.

6. В линейном пространстве определено действие вычитание. Именно вектор х называется разностью векторов b и а, если х + а = b, и обозначается x = b — a.

Можно доказать, что для любых векторов а и b существует разность и причем только единственная.

Определения и аксиомы линейного пространства

Довольно часто в своей деятельности человеку приходится иметь дело с объектами, связанными между собой некоторыми условными правилами, которые могут быть однозначными (умножение, сложение, вычитание) и многозначными (извлечение корня четной степени из числа, взятие модуля числа). Графически это можно изобразить так, как показано на рис. 7.1.

Рис. 7.1.

На рис. 7.1а — 7.1в показаны однозначные операции отображения элементов множеств А в элементы множеств Б (прибавление числа 5 к каждому элементу множества А (рис. 7.1а); вычитание числа 3 из каждого элемента множества А (рис. 7.1б); умножение на число 3 (рис. 7.1в) каждого элемента множества А). Из рисунков видно, что каждому элементу множества А соответствует один и только один элемент множества Б. Очевидно, существует и обратное правило перехода от элементов множества Б к элементам множества А. В указанных случаях это могут быть операция вычитания числа 5 из элементов множества Б (обратная сложению с числом 5), сложение с числом 3 и деление на 3. Схематически обратные операции приведены на рис. 7.2.

Рис. 7.2.

Иными словами для прямой операции сложения определена обратная операция вычитание, а для прямой операции умножения — обратная операция деления¹⁾. Заметим, что как для прямой, так и для обратной операции одному элементу множества соответствует один и только один элемент множества Б. Условимся, что если прямая и обратная операции отображения элементов одного множества в элементы другого обладают рассмотренным свойством, то такие операции будем называть взаимнооднозначными.

Иногда одному элементу множества А соответствует два (и более) элемента множества Б (рис. 7.1, г) или двум (или более) элементам множества А соответствует один элемент множества Б (рис. 7.1, д). В этих случаях нельзя заранее сказать, какому именно элементу одного множества будет соответствовать элемент другого множества. Поэтому только указывают количество элементов соответствия. Очевидно, что количество элементов в исходном и отображаемом множествах при таком отображении будет различным.

Рис. 7.3.

Попытаемся теперь выполнить простейшую операцию, например сложения, над множествами, приведенными на рис. 7.1, а и б. По правилам сложения множеств левые части будем складывать с левыми частями, а правые — с правыми (каждый элемент одного множества с каждым элементом другого множества). В результате данной операции имеем два новых множества (рис. 7.3, а, б), каждое из которых будет состоять из девяти элементов. Заметим, что и в данном случае можно подобрать пары элементов из одного и другого множества так, что каждый элемент множества Б будет превосходить соответствующий элемент множества А на число 2, т.е. можно определить линейное правило прямого (или обратного) перехода от множества А к множеству Б (рис. 3 в).

Таким образом, линейные операции над элементами однотипных множеств дают в результате элементы нового множества, обладающие теми же свойствами, что и исходные.

В геологии примером взаимнооднозначных множеств служат векторные величины, например силы, приложенные к одному блоку породы со стороны вмещающих пород. Над этими силами можно производить операции сложения, вычитания и умножения на число. Последняя операция эквивалентна увеличению или уменьшению силы в раз. В результате будем иметь, как и в первом примере, новое множество сил, приложенных к тому же телу (множество сил А преобразуется в новое множество сил Б).

Рассмотрим теперь число математические объекты. Пусть дана некоторая однородная система уравнений

(7.1)

Так как количество неизвестных больше, чем количество уравнений, система (7.1) имеет бесконечное множество решений. Определим это множество по формулам Крамера

(7.2)

Если теперь положить z = 1, то после подстановки его значения в формулы (7.2) получим частное решение системы (7.1), в чем можно убедиться самостоятельно:

(7.3)

Положим теперь z = 5 и подставим опять в выражение (7.2). В результате получим новое решение, которое тоже удовлетворяет системе (7.1):

(7.4)

Сложим найденное частное решение (7.3) с другим частным решением (7.4)

(7.5)

которое, как легко убедиться, также является решением системы (7.1), т.е. множество решений (7.2) системы (7.1) тоже обладает рассмотренным свойством: линейные операции над элементами множества дают в результате элементы того же множества.

Мы рассмотрели примеры трех различных множеств. Объекты этих множеств различны по своей природе. Но эти множества имеют общее свойство, которое позволяет сделать вывод, что приведенные примеры есть примеры линейных пространств. Введем некоторые определения.

Определение 1. Числовым полем К называется множество чисел , β, если , β К числа ±, β, /β (β 0) также принадлежат этому множеству.

Определение 2. Множество R называется линейным или векторным пространством над полем К, если для любых двух его элементов х и у определена сумма х + у R и для каждого элемента х R и каждого числа К определено произведение х R так, что выполнены следующие условия:

1. x+y=y+x x,y R;
2. (x+y)+z=x+(y+z) x,y,z R;
3. существует такой нулевой элемент 0 R, что x+0 = х,х R;
4. для каждого элемента х R существует такой элемент -x (называется противоположным х), что x + (-х) = 0;
5. x·1 = x, x R;
6. (βx)=(β)x, ,β K и x R;
7. (+β)x = x + βx, ,β K и x R;
8. (x+y)=x+y, K и x,y R.

Эти условия в математике называют аксиомами линейного пространства.

Традиционно элементы линейного пространства называют векторами, хотя по своей конкретной природе они могут быть вовсе не похожи на привычные для нас направленные отрезки.

Приведем еще несколько примеров линейных пространств.

1. Множество многочленов степени не выше n с вещественными коэффициентами.
2. Множество свободных векторов в трехмерном пространстве, рассматриваемые в аналитической геометрии. Это пространство обозначается V₃.
3. Множество всех матриц размером m × n.
4. n — мерное арифметическое пространство. Это множество всех упорядоченных наборов из n чисел, например х = (х₁, х₂, …, х_n), у = (у₁, у₂, …, у_n), для которых определены операции сложения и умножения на число по правилам:

   x+y = (x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn), x = (x1, x2, ..., xn).

Определение 3. Набор n чисел х = (х₁, х₂, …, х_n) называется n-мерным вектором арифметического пространства.

Определение 4. Числа х₁, х₂, …, х_n, составляющие n-мерный вектор х, называются координатами вектора.

Определение 5. Если координаты всех n-мерных векторов вещественные, то арифметическое пространство называют вещественным и обозначают R_n. Если координаты векторов комплексные, то пространство называют комплексным и обозначают С_n.

Очевидно, что приведенные в начале параграфа, примеры относятся к линейным пространствам. Однако не все множества образуют линейные пространства. Например, это множество многочленов степени n, в чем можно убедиться, рассмотрев сумму двух многочленов х³ — 2х² + 1 и -х³ + 8, которые принадлежат множеству многочленов степени 3. Сумма приведенных многочленов образует многочлен второй степени, который не является элементом множества многочленов третьей степени и, следовательно, не принадлежит рассматриваемому множеству. Иными словами все многочлены всех степеней образуют, а многочлены одной какой-то степени не образуют линейное пространство.

Линейные операции в координатах

Теорема. При умножении вектора на число каждая из его координат умножается на это число, а при сложении складываются соответствующие координаты.

Доказательство. Пусть даны два произвольных вектора x и y и некоторое произвольное число 0. Разложим векторы по базису l₁, l₂, …, l_n, получим x=x₁l₁+x₂l₂+…+x_nl_n и y=y₁l₁+y₂l₂+…+y_nl_n и найдем произведение x

x=x1l1+x2l2+...+xnln=(x1)l1+(x2)l2+...+(xn)ln  x=(x1, x2, ..., xm)

и сумму x + y

x+y = (x1l1+x2l2+...+xnln)+(y1l1+y2l2+...+ynln)=
=(x1+y1)l1+(x2+y2)l2+...+(xn+yn)ln 
 x+y = [(x1+y1);(x2+y2);...;(xn+yn)].

Доказанная теорема очень важна в математике, так как из нее следует признак линейной зависимости и независимости векторов. Покажем это. Пусть в некотором n-мерном пространстве R задана система векторов:

(8.5)

Умножим каждый из векторов на некоторое число _i и сложим их все друг с другом. В результате получим линейную комбинацию этих же векторов, которая является новым вектором, равным, по определению 12, нулю

(8.6)

Распишем систему (8.6) в координатной форме

(8.7)

откуда следует однородная система уравнений

(8.8)

из коэффициентов которой составляют матрицу

(8.9)

Равенство (8.7) эквивалентно равенствам (8.6) и (8.8). На основании теоремы можно утверждать, что векторы системы (8.5) линейно независимы тогда и только тогда, когда однородная система (8.8) имеет единственное нулевое решение, что на практике обозначает, что ранг матрицы (8.9) равен количеству векторов системы m.

Линейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства

Определение 6. Векторы а₁, а₂, …, а_к линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ₁, ₂, …, _к, не равные одновременно нулю, при которых выполняется:

(8.1)

Определение 7. Если равенство (8.1) выполнимо лишь при всех i = 0, то векторы а₁, а₂, …, а_к называются линейно независимыми.

Определение 8. Если имеет место равенство ₁а₁ + ₂а₂ + … + _ка_к = b, то говорят, что вектор b является линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …, а_к, или линейно выражается через эти векторы.

Заметим, что если векторы а₁, а₂, …, а_к линейно зависимы, то тогда, по крайней мере, один из векторов может быть линейно выражен через остальные. Это вытекает из самого определения 6, так как, если хотя бы один из i 0, то на него можно выполнить деление остальных _к и тогда будем иметь β₁а₁ + β₂а₂ + … + β_ка_к = а_i, где β₁=-₁/_i; β₂ = -₂/_i; …; β_к= -_к/_i. Верно и обратное утверждение, что если один из векторов линейно выражается через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Заметим, что если векторы a и b не коллинеарны или a, b и c не компланарны, то такие векторы являются линейно независимыми соответственно на плоскости или в пространстве.

Покажем это на примере трех некомпланарных векторов a, b и c. Доказательство проведем методом от противного, предположив, что указанные векторы хотя и не компланарны, но линейно зависимы. Тогда должно выполняться условие линейной зависимости векторов, т.е. ·a+β·b+γ·c=0 и пусть при этом 0. Тогда на - можно разделить левую и правую часть уравнения и в результате будем иметь выражение , которое противоречит определению 10 («Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ»), т.е. хотя векторы a, b и c не компланарны, но вектор a линейно выражается через два других b и c, что говорит (по определению 8) о их линейной зависимости. Из этого следует, что вектор a должен быть линейно независим с векторами b и c. Интересно, что в трехмерном пространстве любые четыре пространственных вектора будут линейно зависимыми.

Два ненулевых вектора a и b ортогональны, если они перпендикулярны (проекция вектора a на b и проекция вектора b на a равны нулю). Тогда записывают a⊥b. Такие векторы всегда линейно независимы.

Если ненулевые векторы a, b и c попарно ортогональны (a⊥b, b⊥c, a⊥c), то тогда они образуют тройку линейно независимых векторов.

Определение 9. Рангом системы векторов называется максимальное количество ее линейно независимых векторов.

Определение 10. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, а всякая система, состоящая из большего количества векторов, является линейно зависимой в этом пространстве.

Например, векторы, лежащие на одной прямой, образуют одномерное пространство, в котором только один независимый вектор, а все остальные могут быть выражены линейными соотношениями через него. На плоскости множество векторов образует двумерное пространство, т.е. в этом пространстве определены только два независимых вектора.

Определение 11. Если пространство имеет конечное множество линейно независимых векторов, то его называют конечномерным, а если в нем можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, то — бесконечномерным.

Определение 12. Совокупность n линейно независимых единичных векторов n-мерного пространства называют базисом n-мерного пространства.

Заметим, что через базисные векторы могут быть выражены любые другие векторы, определяемые в данном базисе.

Теорема. Каждый вектор х линейного n-мерного пространства можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство теоремы состоит из двух частей. Сначала мы докажем возможность выразить любой произвольный вектор через базис линейного пространства, а затем, что разложение произвольного вектора по данному базису единственное.

Пусть произвольный базис n-мерного пространства R и некоторый произвольный вектор x R. Так как каждые n + 1 векторов n-мерного пространства R линейно зависимы (определение 6), то система, которую образуют векторы l₁, l₂, …, l_n и x должна быть линейно зависимой. А это значит, что выполняется равенство

(8.2)

где ₁, ₂, …, _n, — числа одновременно не равные нулю. При этом ясно, что 0, так как в противном случае хотя бы одно из чисел ₁, ₂, …, _n не равнялось бы нулю и тогда равенство (8.2) имело бы вид

(8.3)

что, в свою очередь, показывало бы линейную зависимость базисных векторов. Выразим x из равенства (8.2), разделив на коэффициенты при l_i и перенеся их в правую часть. После выполнения указанных преобразований имеем

Положим х_i = -_i/. Тогда

(8.4)

Докажем теперь, что разложение (8.4) вектора x по данному базису l₁, l₂, …, l_n единственное. Предположим, что вектор x в пространстве R имеет два различных разложения

Тогда вычтем из одного равенства другое, и так как в левых частях равенства стоит один и тот же вектор, то получим

следовательно, имеем систему

Последнее выражение полностью доказывает теорему.

Определение 13. Числа х₁, х₂, …, х_n в разложении (8.4) вектора x по базису l₁, l₂, …, l_n называют координатами вектора в этом базисе и обозначают как х = (х₁, х₂, …, х_n).

Примеры линейных преобразований

Пример 1. Пусть преобразование А есть поворот всех векторов 0Х плоскости х0y, т.е. поворот плоскости х0y вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Это преобразование линейно, так как безразлично, сначала ли сложить векторы а и b, а потом повернуть их на угол , или сначала повернуть векторы на указанный угол, а потом сложить их (рис. 9.1, а).

Рис. 9.1.

Так же будет безразлично умножить ли сначала вектор а на число λ, а затем повернуть его на угол , или сделать это в обратном порядке (рис. 9.1, б).

Чтобы построить матрицу рассматриваемого линейного преобразования — поворота на угол , выберем в рассматриваемом евклидовом пространстве V₂ базис из двух единичных взаимноперпендикулярных векторов е₁ и е₂. Вектор е₁ после поворота на угол перейдет в вектор А(е₁), который также будет являться единичным и образовывать с исходным вектором е₁ угол , а с вектором е₂ угол /2 — (рис. 9.2). Из (рис. 9.2) очевидно, что

(9.16)

Но = |ОС| = |А(е₁)| cos = 1×cos; β = |ОB| = |А(е₁)| cos(/2 — ) = |А(е₁)| sin = 1×sin. Тогда, подставив полученные значения и β в равенство (9.16), получим

(9.17)

Аналогично рассуждая, из рис. 9.2 можно получить формулы преобразования для вектора А(е₂):

(9.18)

Рис. 9.2.

Но ₁ = -|ОС₁| = -|А(е₂)| sin(/2+) = -1×sin; β₁= |ОB₁| = |А(е₂)|cos = 1×cos. Тогда, подставив полученные значения ₁ и β₁ в равенство (9.18), будем иметь

(9.19)

Из равенств (9.17) и (9.19) найдем матрицу

, выражающую образы базисных векторов через сами базисные векторы [см. формулe (9.13)]. Тогда матрица А, задающая линейное преобразование в данном пространстве V₂, есть .

Пример 2. Пусть в пространстве V₂ каждому вектору х ставится в соответствие вектор у = А(х), представляющий собой зеркальное отображение вектора х относительно некоторой фиксированной прямой γ, проходящей через точку 0, которая принимается за начало всех векторов х V₂ (рис. 9.3). Преобразование А в этом случае является линейным и называется зеркальным отображением относительно прямой γ. Примем за базис два единичных взаимно ортогональных вектора (рис. 9.4), один из которых направим по прямой γ. Найдем матрицу этого преобразования. Базисный вектор е₁ преобразуется в вектор А(е₁) = е₁, а вектор е₂ — в вектор А(е₂) = -е₂, т.е. А(е₁) = е₁ = 1 × е₁+0×е₂, А(е₂) = -е₂ = 0×е₁ + (-1)×е₂. Тогда в выбранном базисе матрицы A’ и А имеют вид:

Рис. 9.3.

Рис. 9.4.

Пример 3. Определим линейное преобразование А, переводящее каждый вектор х R_n в λх R_n, где λ — фиксированное число из поля К, т.е. х R_n λх R_n, которое называется преобразованием подобия. Найдем его матрицу. Для базисных векторов е₁, е₂, …, е_n имеем

Тогда

Пример 4. Если х R_n преобразование А переводит вектор х сам в себя А(х) = х, то такое преобразование тоже линейно, называется тождественным и обозначается Е

Таким образом, матрица тождественного преобразования Е в любом базисе есть единичная матрица

Пример 5. Если х R_n преобразование А переводит вектор х в нулевой А(х) = 0, то такое преобразование является линейным и называется нулевым.

Матрица нулевого преобразования в любом базисе есть нулевая матрица V: