Исследование ступенчатых систем линейных уравнений

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Лемма 3.6.1. Однородная система линейных уравнений всегда совместна.

Доказательство. Решением системы является нулевая строчка (0,...,0) \in K^n.

Лемма 3.6.2. Если система линейных уравнений содержит уравнение

0x_1+...+0x_n=b \ne 0

(назовем его «экзотическим» уравнением), то система несовместна.

Доказательство. Для любой строчки (k_1,...,k_n)\in K^n 0\cdot k_1+...\+0\cdot k_n=0 \ne b.

Замечание 3.6.3. Если матрица коэффициентов системы линейных уравнений нулевая (т. е. все коэффициенты равны нулю), то ее совместность равносильна тому, что все свободные члены нулевые (при этом X=Kn).

По ненулевой ступенчатой матрице переменные x1,…,xn разобьем на две группы: главные {x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_r}}, «проходящие» через уголки ступенек (их r штук), и свободные — все остальные n-r переменных (их может и не быть совсем при r=n).

Замечание 3.6.4. Если в ступенчатой системе линейных уравнений нет «экзотических» уравнений (т. е. если r=m или r<m и \bar{b}_{r+1}=...=\bar{b}_m=0), то для любого набора значений для свободных неизвестных существует (и единственный) набор значений для главных неизвестных и эти наборы дают в совокупности решение системы линейных уравнений.

Доказательство. Так как значения для свободных неизвестных заданы, то, рассматривая r-е уравнение и перенося в правую часть уравнения члены со значениями свободных неизвестных, расположенных правее места (r,t) (если они есть), получаем уравнение (см. (3.2))

\bar{a}_{rt}x_t=c_r,\quad c_r\in K,\ \ 0\ne \bar{a}_{rt} \in K,

имеющее единственное решение для главного неизвестного

x_t=c_r\bar{a}_{rt}^{-1}.

Поднимаясь в (r-1)-е уравнение, повторяем этот же прием и однозначно определяем значение главного неизвестного в «уголке»(r-1)-го уравнения. Продолжая процесс, доходим до 1-го уравнения и определяем однозначно значение для первой главной переменной xi1(в (3.2) i1=1). Тем самым заданные значения свободных неизвестных оказались однозначно дополнены найденными значениями главных до решения системы линейных уравнений.

Теорема 3.6.5 (критерий совместности системы линейных уравнений по ее ступенчатому виду).

  1. Система линейных уравнений (aij|bi) из m уравнений с неизвестными x1,…,xn совместна тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде нет «экзотических» уравнений (т. е. или r=m, или r<m и \bar{b}_{r+1}=...=\bar{b}_m=0).
  2. Для совместной системы свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, при этом главные неизвестные однозначно определяются (при заданных значениях свободных неизвестных), тем самым мы получаем все решения системы линейных уравнений.

Доказательство. Отметим, что исходная система и ее ступенчатая системы эквивалентны.

1) а) Ясно, что совместная система не может содержать «экзотическое» уравнение (лемма 3.6.2). Таким образом, при первом появлении «экзотического» уравнения в методе Гаусса процесс надо остановить: система несовместна.

б) Если в ступенчатом виде нет «экзотических» уравнений, то утверждение следует из леммы 3.6.4.

2) Алгоритм нахождения всех решений в случае отсутствия «экзотических» уравнений рассмотрен в лемме 3.6.4.

Следствие 3.6.6. Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде найдется «экзотическое» уравнение.

Теорема 3.6.7 (критерий определенности системы линейных уравнений по ее ступенчатому виду). Система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда в ее ступенчатом виде:

  1. нет «экзотических» уравнений(критерий совместности);
  2. r=n (т. е. все неизвестные главные, другим словами — отсутствуют свободные неизвестные).

Доказательство.

  1. При условии совместности, если r<n, т. е. имеется хотя бы одно свободное неизвестное, то ему можно придать как минимум два различных значения из поля K. После дополнения значений свободных переменных значениями главных переменных до решения системы мы получаем заведомо два различных решения системы, т. е. |X|>1, система является неопределенной.
  2. Если же при условии совместности r=n, т. е. нет свободных неизвестных, то главные неизвестные определяются в методе Гаусса однозначно (через свободные члены системы), таким образом, система линейных уравнений является определенной.

Упражнение 3.6.8. Процесс приведения к ступенчатому виду можно продолжить на расширенную матрицу системы (aij|bi). Покажите, что система совместна тогда и только тогда, когда ступенчатый вид расширенной матрицы системы (a_j}bi)содержит столько же ненулевых строк, сколько и ступенчатый вид матрицы (aij) (все лидеры строк ступенчатого вида расширенной матрицы находятся среди столбцов матрицы коэффициентов (aij)).

Замечание 3.6.9. Любая ненулевая матрица A \in \mM_{m,n}(K) с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типа может быть приведена к главному ступенчатому виду. Действительно, вначале приведем матрицу A к ступенчатому виду. С помощью элементарных преобразований 3-го типа сделаем все лидеры ненулевых строк a_{1l_1},a_{2l_2},...,a_{rl_r}, 1 \leq l_1<l_2<...<l_r \leq n, равными единице. После этого, применяя элементарные преобразования строк 1-го типа, добьемся того, что в lr-м столбце единственный ненулевой элемент — это a_{rl_r}=1, затем аналогично добьемся с использованием элементарных преобразований строк 1-го типа того, что единственный ненулевой элемент в lr-1-м столбце — это a_{r-1,l_{r-1}}=1,..., в l1-м столбце — это a_{1l_1}=1 (эта процедура часто называется обратным ходом метода Гаусса). Таким образом, мы привели матрицу A к главному ступенчатому виду. Позже (см. 9.5.1) будет доказано, что главный ступенчатый вид матрицы определен однозначно.

Если совместная система линейных уравнений (в частности, однородная система) приведена к главному ступенчатому виду, то мы сразу (без последовательной подстановки уже полученных выражений в предыдущие уравнения) получаем единственное выражение главных неизвестных через свободные: l-е уравнение (1 \leq l \leq r) главного ступенчатого вида имеет вид

x_{j_l}+\sum\limits_{\substack{s=j_l+1\\ s\neq j_{l+1},...,j_r}}^{n} a_{ls}x_s=\tilde b_l\in K,

и поэтому

\begin{equation}\label{ep4} x_{j_l}=\tilde b_l- \sum\limits_{\substack{s=j_l+1\\ s\neq j_{l+1},...,j_r}}^{n} a_{ls}x_s \end{equation}

(для однородной системы \tilde b_l=0), в правой части присутствуют лишь свободные переменные. Таким образом, главный ступенчатый вид однородной системы равносилен (с заменой знака) выражению главных неизвестных через свободные (по этому ступенчатому виду).

В частном случае, при r=n, главный ступенчатый вид определенной системы линейных уравнений имеет форму

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & & \lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0}}} & \tilde b_1 \\ & \ddots & & \vdots \\ \lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0}}} & & 1 & \tilde b_n \\ \hline 0 & ... & \multicolumn{1}{c}{...} & 0 \\ 0 & ... & \multicolumn{1}{c}{...} & 0 \end{array} \right),

где (\tilde b_1,...,\tilde b_n) — единственное решение.

Определители малых порядков

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Рассматривая систему линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \end{array} \right.

для вычисления x1 умножим первое уравнение на a22, второе уравнение на -a12 и сложим их. Получим (a11a22-a12a21)x1=b1a22-b2a12. Аналогично, для вычисления x2 умножим первое уравнение на -a21, второе уравнение на a11 и сложим их. Получим (a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1. Если мы определителем (2\times 2) -матрицы

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

назовем число

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},

то в этом частном случае мы получим следующее утверждение (правило Крамера для n=2): если определитель квадратной системы отличен от нуля, т. е.

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0,

то система является определенной и для ее единственного решения справедливы формулы

x_1 = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12}\\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}}% {\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}},\quad x_2=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1\\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}}% {\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}.

Непосредственная проверка показывает, что (x1,x2) — решение.

Упражнение 6.1.1. Проделать аналогичную процедуру в случае n=3.

Замечание 6.1.2. Очевидно, что определители второго порядка обладают следующими свойствами:

\begin{alignat*}{2} & 1) &\quad &\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1; \\[0.5\baselineskip] & 2) &&\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{11} & a_{12} \end{vmatrix}; \\[0.5\baselineskip] & 3) &&\begin{vmatrix} ca_{11} & ca_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = c \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \intertext{аналогично для второй строки;} & 4) && \text{если } (a_{11},a_{12}) = (b_1,b_2)+(c_1,c_2), \text{ то} \\ &&& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b_1 & b_2\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} c_1 & c_2\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \intertext{аналогично для второй строки;} & 5) && \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix}. \end{alignat*}

Наша ближайшая цель — построить общую теорию определителей квадратных (n\times n) -матриц и привести многочисленные приложения определителей, в частности в системах линейных уравнений.

Отметим, что на начальном периоде теория определителей формировалась параллельно с аксиоматической теорией площадей и объемов. Например, в декартовой системе координат на плоскости определитель

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}

равен (ориентированной) площади параллелограмма, построенного на векторах (a11,a12) и (a21,a22).

Определители квадратных n x n -матриц

Пусть

A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\\ \hdotsfor{3}\\ a_{n1} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} \in \mM_n(K) \text{ - }

квадратная (n\times n) -матрица, a_{ij}\in K, где K — любое поле (например, K= R

).

При n=1 : |a|=a\in K.

При n=2 мы имеем

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},

т. е. определитель (2\times 2) -матрицы является суммой двух слагаемых, каждое из которых является произведением элементов матрицы, взятых по одному (и только одному) из каждой строки (столбца), при этом знак определяется четностью соответствующей подстановки индексов:

\begin{alignat*}{2} & +a_{11}a_{22}, &\quad & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \text{ - четная подстановка};\\ & -a_{12}a_{21}, && \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \text{ - нечетная подстановка}. \end{alignat*}

С этой «подсказкой» определим определитель квадратной матрицы A как

|A|=\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(1)}... a_{n\alpha(n)},

т. е. как сумму всех произведений элементов матрицы A, взятых по одному (и только одному) из каждой строки и каждого столбца ( a_{1\alpha(1)} — из 1-й строки и \alpha(1) -го столбца; a_{n\alpha(n)} — из n-й строки и \alpha(n) -го столбца), т. е. тех произведений, индексы которых дают подстановку \alpha\in S_n, при этом эти произведения берутся со знаком + ( \varepsilon(\alpha)=1), если подстановка \alpha четная, и со знаком - ( \varepsilon(\alpha)=-1), если подстановка \alpha нечетная.

Упражнение 6.2.1. Если n=3, A=(a_{ij})\in\mM_3(K), то

\begin{mult} |A|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-{} \\ {}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}. \end{mult}

Мнемоническое правило: три произведения

входят со знаком + ; три произведения

входят со знаком -.

Упражнение 6.2.2. При n=3, A=(a_{ij})\in\mM_3( R) в декартовой системе координат в R3 определитель |A| матрицы A равен ориентированному объему параллелепипеда, построенного на векторах (a11,a12,a13), (a21,a22,a23) и (a31,a32,a33).

Упражнение 6.2.3. Если A=(a_{ij})\in \mM_3( R), то все шесть слагаемых в разложении определителя третьего порядка |A| одновременно не могут быть положительны.

Миноры и алгебраические дополнения

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Рассмотрим определитель третьего порядка

D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} (1.5)

Вычеркнем из определителя одну строку и один столбец, например, первую строку и второй столбец. Из оставшиеся элементов составим определитель второго порядка

D_{12}= \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix},

номер которого (индекс у D) определяется номерами вычеркнутых строки (первой) и столбца (второй). Если из определителя (1.5) вычеркнуть другие строку и столбец, например, третий и третий, соответственно, то оставшиеся элементы будут также составлять определитель второго порядка, номер которого теперь будет другой — D_{33}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}

Определение 7. Определитель, который получается вычеркиванием одной строки и одного столбца из исходного определителя называется минором основного определителя.

Очевидно, что определитель третьего порядка имеет 9 различных миноров второго порядка, т.е. каждый элемент определителя имеет минор. Если взять определитель, например, пятого порядка, то количество миноров у такого определителя будет 25 – по количеству элементов (5 в строке и 5 столбцов). И эти миноры будут представлены определителями четвертого порядка.

Определение 8. Назовем алгебраическим дополнением любого элемента определителя D минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если сумма номеров элемента четная и минус в противном случае

A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij} (1.6)

Пример. Выписать и вычислить все алгебраические дополнения определителя \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}.

Решение. У определителя третьего порядка имеется 9 алгебраических дополнений (по каждому из элементов).

A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2; A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4;
A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2; A_{22}=(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1 = 1;
A_{13}=(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0-1=-1; A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-2)=2;
A_{31}=(-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0-1=-1; A_{32}=(-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0-1)=1;
A_{33}=(-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1-2 =-1.

Теорема 1. Определитель D равен сумме произведений элементов любого столбца или строки на их алгебраические дополнения

D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} (1.7)

Очевидно, что для определителя третьего порядка можно записать шесть различных равенств (по трем столбцам и по трем строчкам).

Теорема 2. Суммы, произведений элементов для любого столбца (строки) на алгебраические дополнения другого столбца (строки) определителя равна нулю.

Доказательство. Проведем доказательство на примере определителя (5). Возьмем сумму произведений алгебраических дополнений первой строки на элементы третьей строки. Получим

\begin{gathered} D= \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \cdot a_{31}- \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \cdot a_{32}+ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \cdot a_{33}= \\ =(a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})a_{31}-(a_{21}\cdot a_{33}-a_{31}\cdot a_{23})\cdot a_{32} + \\ +(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22})a_{33}=a_{22}a_{33}a_{31}-a_{32}a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}a_{32}+ \\ +a_{31}a_{23}a_{32} + a_{21}a_{32}a_{33}-a_{31}a_{22}a_{33} = 0 \end{gathered}

Разложение определителя по строке или столбцу дает нам правило вычисления любых определителей высоких порядков (четвертого и выше).

Определение 9. Определителем n-го порядка называется число Δ равное алгебраической сумме

\Delta=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+ \cdots +a_{1n}A_{1n}, (1.8)

где Aij=(-1)i+jDij есть алгебраические дополнения элемента aij, а Dij — есть соответствующие миноры, т.е. определители (n-1)-го порядка, получающиеся из исходного определителя вычеркиванием первой строки и n-го столбца, на пересечение которых находится элемент aij.

Рассмотренные приемы позволяют вычислять определители любых порядков, а, следовательно, находить решение линейных систем любых порядков.

Пример. Вычислить определитель

D= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 6 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}.

Решение. Для вычисления определителя пятого порядка воспользуемся формулой (1.8) и разложим данный определитель по первой строке (в этой строке все члены, кроме первого равны нулю). Получим

D=1\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix},

т.е. определитель стал теперь четвертого порядка. Опять разложим определитель по первой строке, так как все члены этой строки равны нулю, кроме одного. Затем вычислим полученный определитель третьего порядка по любой вычислительной схеме.

D= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =1 \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =-6.

Определители третьего порядка и их свойства

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

На практике редко задачи решаются при помощи таких простых систем, как рассмотренные в первом параграфе. Чаще для поиска решения получаются системы, состоящие из большего количества уравнений. Да и неизвестных в таких системах тоже больше, чем два. Пусть теперь дана система из трех линейных уравнений относительно трех неизвестных

\left\{ \begin{aligned} & a_{1_1}x+a_{1_2}y+a_{1_3}z=b_1; \\ & a_{2_1}+a_{2_2}y+a_{2_3}z=b_2; \\ & a_{3_1}x+a_{3_2}y+a_{3_3}z=b_3. \end{aligned} \right. (1.4)

Определение 6. Определителем третьего порядка, соответствующий матрице системы (1.4), назовем число D, равное

\begin{gathered} D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \\ = (a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{13}a_{32})-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32}). \end{gathered}

Для того, чтобы вычислить определитель третьего порядка применяют две вычислительные схемы, позволяющие вычислять определители третьего порядка без особых хлопот. Эти схемы известны как «правило треугольника» (или «правило звездочки») и «правило Саррюса«.

По правилу треугольника сначала перемножаются и складываются элементы, соединенными на схеме линиями

т.е. получаем сумму произведений: a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32

.

Обратите внимание, что перемножаются элементы, соединенные одной линией, прямой или ломанной, а потом полученные произведения складываются.

Затем перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме

т.е. получаем другую сумму произведений a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32. И, наконец, чтобы вычислить определитель, из первой суммы вычитают вторую. Тогда окончательно получаем формулу вычисления определителя третьего порядка:

D=(a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32)-(a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32).

По правилу Саррюса к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в другом направлении (см. схему):

Можно убедиться, что результат будет таким же, что и при вычислении определителя по правилу треугольника.

Пример. Вычислить определитель

D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}.

Решение. Вычислим определитель по правилу звездочки

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 0) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \cdot 1) = 2 - 5 = -3

и по правилу Саррюса

\left| \begin{aligned} &1 & 2 && 1 \\ &1 & 1 && 0 \\ &1 & 0 && 2 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &1 & 2 \\ &1 & 1 \\ &1 & 0 \end{aligned} \right. = (1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 0) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \cdot 1) = 2 - 5 = -3,

т.е. получаем одинаковый результат для обеих вычислительных схем, как и ожидалось.

Заметим, что все свойства, сформулированные для определителей второго порядка, справедливы для определителей третьего порядка, в чем можно убедиться самостоятельно. На основании этих свойств сформулируем общие свойства для определителей любого порядка.

Свойство 1. Величина определителя не изменяется при замене строк столбцами.

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) между собой, величина определителя меняет знак.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.

Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (столбца) содержат одинаковый множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) есть сумма равного числа слагаемых, то определитель будет равен сумме определителей, в которых элементы указанной строки (столбца) записываются отдельными слагаемыми.

Свойство 6. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то весь определитель тоже равен нулю.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) добавить соответствующие элементы другой строки(столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

Определители второго порядка и их свойства

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

На практике часто исследователю приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:

  1. коэффициенты в формулах постоянные,
  2. неизвестные входят в формулы только в первой степени,
  3. отсутствуют произведения между самими неизвестными,

то тогда такие зависимости называют линейными.

Пример. В лаборатории 10 образцов имеют общий вес 280 г. Найти средний вес одного образца, если тара весит 15 г.

Решение. Для ответа на вопрос воспользуемся простым уравнением:

10x+15=280,

обозначив за x средний вес одного образца. Решением составленного уравнения будет 26,5 г.

Пример. В лаборатории 10 образцов, поступивших от 1 отдела, и 10 образцов, поступивших от 2-го отдела, имеют общий вес 280 г, а 5 образцов из первого набора и 2 образца из второго набора имеют общий вес 128 г. Найти средний вес образцов в каждом наборе.

Решение. Для ответа на вопрос составим два уравнения, обозначив за x — средний вес образца породы 1, а за y — средний вес образца породы 2,

10x+10y=280;
5x+2y=128,

решая которые совместно, получаем x=24 г; y=4 г.

В обоих рассмотренных примерах мы имели дело с линейными зависимостями: в первом случае – с линейным уравнением, а во втором – с линейной системой уравнений.

Заменим коэффициенты буквами и получим линейную систему уравнений:

\left\{ \begin{aligned} a_{11}x+a_{12}y=b_1; \\ a_{21}x+a_{22}y=b_2, \end{aligned} \right. (1.1)

где a11, a12, a21, a22, b1, b2, — некоторые числа, x, y — неизвестные. Составим из коэффициентов системы (1.1) прямоугольную таблицу вида

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} (1.2)

Определение 1. Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел aij

Определение 2. Элементы aij из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы

Определение 3. Определителем второго порядка или детерминантом, соответствующим матрице (1.2) назовем число D такое, что

D=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} (1.3)

Определитель обозначается буквами D или Δ и записывается

D=\Delta= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}.

Следует обратить внимание, что хотя определитель есть число, по определению 3, но до тех пор пока не найдено его значение в виде единственного числа (по формуле 1.2 или еще каким-либо допустимым способом), он записывается в виде таблицы. Тогда можно сказать, например, о перестановке строк или столбцов в этой таблице. В таком случае следует говорить «определитель, соответствующий матрице». Но на практике обычно вторая часть этой фразы для простоты опускается и тогда остается только одно слово – определитель. Для того, чтобы различить что имеется в виду – сам определитель в виде таблицы или его найденное значение, во втором случае используют слово детерминант. Поэтому, если говорят, например, «количество строк в определителе…», то имеют в виду определитель, соответствующий матрице, но еще не вычисленный до единственного числа. А, если говорят детерминант, то имеют в виду, что данный определитель представлен единственным числом, вычисленным либо по формуле, либо еще каким-нибудь допустимым способом.

Пример. Дана система уравнений

\left\{ \begin{aligned} & 2x+4y=3; \\ & 8x-y=6. \end{aligned} \right.

Составить матрицу системы и вычислить определитель.

Решение. Из коэффициентов системы составим матрицу: A= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & -1 \end{pmatrix} и соответствующий ей детерминант \Delta= \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & -1 \end{vmatrix} .

Выполним вычисления по формуле (2), получим

Δ=(-1)·2-(4·8)=-2-32=-34.

Определение 4. Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

В примере был вычислен определитель второго порядка.

Определители обладают следующими свойствами.

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка

D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1 b_2 - b_1 a_2.

Заменим строки столбцами и снова вычислим получившийся определитель

D^*= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} =a_1 b_2 - b_1 a_2.

Сравнивая D с D* можно убедиться, что D = D*

.

Определение 5. Операция замены строк столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.

Свойство 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.

Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель

D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1 b_2 - b_1 a_2.

Поменяем в нем местами столбцы и вычислим получившийся определитель.

D= \begin{vmatrix} b_1 & a_1 \\ b_2 & a_2 \end{vmatrix} =b_1 a_2 - a_1 b_2 = -(a_1 b_2 - b_1 a_2).

Сравнивая результаты, убеждаемся, что определитель, действительно, поменял свой знак. Поменяем теперь местами строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.

D= \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} =b_1 a_2 - a_1 b_2 = -(a_1 b_2 - b_1 a_2)

Заметим, что все остальные приводимые здесь свойства доказываются аналогично на примерах, очень просто и поэтому далее все свойства приводятся без доказательств. Читатель может в качестве упражнений самостоятельно проверить каждое из этих свойств.

Свойство 4. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы умножить (или разделить) на одно и то же число m, отличное от нуля, то определитель также умножится (разделится) на это число.

D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \cdot; \cdots \; \cdots D_1 = \begin{vmatrix} ma_1 & b_1 \\ ma_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} ma_1 & mb_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =mD.

Свойство 5. Определитель, у которого элементы одной строки (столбца) пропорциональны другой строке (столбцу), равен нулю.

D= \begin{vmatrix} a_1 & ra_1 \\ a_2 & ra_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ ra_1 & rb_1 \end{vmatrix} =0

Свойство 6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого — второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.

\begin{gathered} D= \begin{vmatrix} a_1+a_2 & a_3 \\ b_1+b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_1 b_3 - b_1 a_3)+(a_2 b_3 - b_2 a_3) = \\ = (a_1 + a_2)b_3 - (b_1 + b_2)a_3. \end{gathered}

Сравнивая результат с исходным определителем убеждаемся в справедливости шестого свойства.

Это свойство широко используется для практических вычислений при работе с определителями порядка больше трех.

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца(строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на какое-либо отличное от нуля число.

D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+b_1m & b_1 \\ a_2+b_2m & b_2 \end{vmatrix}.

Определитель — очень удобная математическая форма, которая позволяет быстро находить решение систем линейных уравнений. Большинство задач, связанных с вычислительной математикой, используют математический аппарат теории определителей.

Операции над матрицами

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Определение 9. Суммой двух матриц одинакового размера A=(aij) и B=(bij) называется матрица C, у которой (cij)=(aij+bij), и записывают C = A + B.

Пример. Найти A + B, если

A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}.

Решение.

C = A + B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix}.

Можно убедится самостоятельно в справедливости равенств

  • A + B = B + A;
  • (A + B) + C = A + (B + C).

Определение 10. Произведением матрицы A=(aij) на число k называется такая матрица C=(cij), у которой (cij) = (kaij).

Для операции произведение матрицы на число справедливы следующие соотношения:

  • kA=Ak;
  • k(A+B)=Ak+Bk;
  • (k+λ)A=Ak+Aλ;
  • k(λA)=λkA=λ(kA).

Определение 11. Матрица B, у которой все элементы равны элементам матрицы A по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки по сравнению со знаками соответствующих элементов матрицы A, называется противоположной матрице A и записывается A=(-1)(aij).

Заметим, что умножение любой матрицы на нулевую дает в результате нулевую матрицу, как и в обычной алгебре, т.е. ·A=.

Если A — квадратная матрица, то тогда также очевидно равенство

det(λA)=λndetA ,

где n — размер матрицы A.

Определение 12. Если A=(aij)m×p, а B=(bij)p×n, то произведением матрицы A на матрицу B назовем матрицу C, каждый элемент которой вычисляют по формуле:

C = A·B = (aij)m×p·(bij)p×n=(as1b1k+as2b2k+...+askbsk)m×n=(cij)m×n

Из определения 12 видно, что каждый элемент матрицы C = AB, расположенный в s-ой строке и k-ом столбце равен сумме произведений элементов s-ой строки матрицы A на элементы k-го столбца матрицы B.

При перемножении матриц можно воспользоваться следующей таблицей. Покажем этот на примере.

Пусть требуется перемножить матрицы A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} и B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \\ 6 & 5 \\ \end{pmatrix} , т.е. найти AB . Составим таблицу: слева запишем элементы матрицы А (которую умножают), а снизу – элементы матицы В (на которую умножают):

1 2 3
4 5 6
3 2 1
2 1
4 3
6 5

Результат будем записывать в выделенных ячейках, по формуле – сумма произведений соответствующих элементов:

1 2 3 1·2+2·4+3·6 1·1+2·3+3·5
4 5 6 4·2+5·4+6·6 4·1+5·3+6·5
3 2 1 3·2+2·4+1·6 3·1+2·3+1·5
2 1
4 3
6 5

Произведя вычисления, получаем:

1 2 3 28 22
4 5 6 64 49
3 2 1 20 14
2 1
4 3
6 5

Это и будет искомая матрица (в выделенных ячейках). Это способ очень наглядный и удобный, позволяет избежать ошибок при перемножении матриц.

Известны следующие очевидные свойства произведений матриц

  • Переместительный закон не выполняется, т.е. AB BА. Поэтому различают умножение на матрицу слева или справа;
  • (A+B)C=AC+BC
  • (AB)C=A(BC)=ABC

Определение 13. Если AB = BA, то такие матрицы A и B называют перестановочными или коммутативными.

Очевидно, что коммутативной с единичной будет любая матрица подходящего размера AE = EA = A.

Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. det(AB) = detA·detB.

Определение 14. Если в некоторой матрице A поменять местами столбцы и строки, то полученная матрица будет называться транспонированной и обозначается Aт.

Определение 15. Если выполняется равенство A = Aт, то такая матрица называется симметрической.

Определение 16. Обратной по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство AA-1 = A-1A = E.

Определение 17. Матрица, которая имеет обратную называется обратимой или не особенной.

Теорема. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу A-1 необходимо и достаточно, чтобы она была бы невырожденной, т.е. detA 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует матрица A-1, тогда

detAA-1 = detAdetA-1 = detE = 1  0 ,

т.е. ни один из сомножителей не должен быть равен нулю, следовательно, detA 0.

Достаточность. Пусть detA 0. Надо доказать, что существует обратная матрица A-1. Покажем это на примере квадратной матрицы третьего порядка. Пусть дана матрица

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.

Найдем миноры второго порядка этой матрицы. Очевидно, что таких миноров будет 9: Ais = (-1)i+s Mis. Составим присоединенную матрицу из полученных алгебраических дополнений, которая обычно обозначается как

A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix},

затем найдем произведение

AA^*=(a_{is})(A_{is})= \begin{pmatrix} \det A & 0 & 0 \\ 0 & \det A & 0 \\ 0 & 0 & \det A \end{pmatrix} = \det A \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =(\det A)E.

Т.е. AA*=(detA)E, следовательно E=A\frac{1}{\det A}A^*, откуда по определению обратной матрицы получаем

A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^*. (2.2)

Теорема доказана. Заметим, что формула (2) известна как популярная расчетная формула для получения обратной матрицы.

Эта важная теорема дает нам простой алгоритм вычисления обратной матрицы, который можно сформулировать так.

  1. Вычислить detA;1)
  2. Вычислить все алгебраические дополнения матрицы A;
  3. Найти обратную матрицу по формуле 2.

Пример. Найти обратную матрицу для A= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix} и выполнить проверку.

Решение. Вычисляем

\det A = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} =20 \ne 0,

следовательно, обратная матрица существует. Найдем присоединенную матрицу A*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A и алгебраические дополнения:

\begin{gathered} A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} =7; \quad A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} =-1; \quad A_{31}=(-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} =-5; \\ A_{12}=(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} =-12; \quad A_{22}=(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} =16; \quad A_{32}=(-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} =0; \\ A_{13}=(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =1; \quad A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =-3; \quad A_{33}=(-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} =5. \end{gathered}

Составим

A^*= \begin{pmatrix} 7 & -1 & -5 \\ -12 & 16 & 0 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix}

и найдем по формуле (2) обратную матрицу:

A^{-1}=\frac{1}{20} \begin{pmatrix} 7 & -1 & -5 \\ -12 & 16 & 0 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix}

Проверка

AA^{-1}= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix} \frac{1}{20} \begin{pmatrix} 7 & -1 & -5 \\ -12 & 16 & 0 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix} =\frac{1}{20} \begin{pmatrix} 20 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Матрицы. Ранг матрицы

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Определение 7. Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один aij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что

  1. у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого Δr0;
  2. всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = RgA.

Из определения 7 вытекает, что

  1. ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так rmin(m,n).
  2. если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. aij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = RgA = 0.

Понятие ранга матрицы играет очень важную роль при построении графиков, при нахождении решения системы линейных уравнений, при переходе от одного базиса к другому, а также широко используется в прикладных исследованиях, особенно при обработке результатов эксперимента, выделения аномалий и количественного определения качества предоставленной для изучения информации. Об этих и многих других задачах мы будем говорить несколько позже.

Определение 8. Всякий детерминант минора матрицы A, отличный от нуля, размер которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. Т.е. иными словами ранг матрицы A это наивысший отличный от нуля минор.

Пример. Найти ранг матрицы

A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Решение. Так как в этой матрице только в одной строке есть отличные от нуля члены, то RgA=1.

Пример. Найти ранг матрицы

A= \begin{pmatrix} 7 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Решение. Для проверки найдем детерминант этой матрицы: detA=7. И так как он отличен от нуля, 7 0, значит, ранг матрицы равен 3, т.е. в матрице нет пропорциональных строк или столбцов. В противном случае detA был бы равен нулю (лекция 1, свойство 3).

Пример. Найти ранг матрицы

A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 7 \end{pmatrix}.

Решение. Очевидно, что detA=0, т.к. матрица содержит нулевую строку. Вычеркнем первую строку и второй столбец и найдем определитель полученного минора

\det(M_2)= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} =7-15=-8 \ne 0,

следовательно, делаем вывод, что RgA = 2.

Матрицы. Основные определения и типы матриц

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Определение 1. Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел aij, которые называют элементами матрицы и обозначается

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} =(a_{ij})_{m\times n} = (a_{ij}). (2.1)

Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица, это любая прямоугольная таблица, составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии

A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix}. (2.1*)

Определение 2. Если в выражении (1) m = n, то говорят о квадратной матрице, а если m n, то о прямоугольной.

В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

  1. Матрица — строка (или строковая матрица), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 × n. 
    A=(a11  a12  ...  an).
  2. Матрица — столбец (столбцевая матрица), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером m × 1
    A= \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \cdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}.
  3. Матрица, состоящая из одного элемента. A=(a11)1×1=a11.
  4. Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.
    V= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.
  5. Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме главной диагонали, на которой стоят единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре
    E= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.
  6. Диагональная матрица, квадратная порядка n, состоящая из нулей и на главной диагонали стоят не равные нулю элементы (не обязательно единицы)
    E= \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ 0 & 0 & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант, который составляется из элементов матрицы и обозначается

D_A=|A|=\det A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}

Очевидно, что DE=1; DV=.

Определение 3. Если detA 0, то матрица A называется невырожденной или не особенной.

Определение 4. Если detA = 0, то матрица A называется вырожденной или особенной.

Определение 5. Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е.

A = B \Leftrightarrow A = (a_{ij})_{m \times n}; B = (b_{ij})_{m \times n} \forall i, j:a_{ij}=b_{ij}.

Например, матрицы \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ \end{pmatrix} и \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ \end{pmatrix} равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ \end{pmatrix} и \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \\ \end{pmatrix} нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы , стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix} и \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ 6 & 5 \\ \end{pmatrix} разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix} и \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix} равны, согласно определению 5.

Определение 6. Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n-го порядка, определитель которой Δk называется минором k–го порядка матрицы A.

Пример. Выписать три минора второго порядка матрицы

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Решение. M_2= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}; M_2= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}; M_2= \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}.

Условие совместности общей линейной системы. Теорема Кронекера — Капелли

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

\left. \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_n \end{aligned} \right\}. (4.17)

Этой системе поставим в соответствие две матрицы. Первую

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix},

составленную из коэффициентов при неизвестных системы (4.17), называемую основной, и вторую

\left( \begin{aligned} &a_{11} & a_{12} && \ldots && a_{1n} \\ &a_{21} & a_{22} && \ldots && a_{2n} \\ &\ldots & \ldots && \ldots && \ldots \\ &a_{m1} & a_{m2} && \ldots && a_{mn} \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &b_1 \\ &b_2 \\ &\ldots \\ &b_m \end{aligned} \right)

называемую расширенной матрицей системы (4.17).

ТЕОРЕМА (Кронекер и Капелли). Для того, чтобы система линейных уравнений (4.17) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А был равен рангу ее расширенной матрицы В, то есть Rg A = Rg B.

Для системы (17) возможны следующие случаи:

  1. Rg A Rg B. В этом случае система несовместна, то есть решений не имеет.
  2. Rg A = Rg B = r. В этом случае система (4.17) совместна, то есть имеет хотя бы одно решение.

При этом:

если r = n (n — число неизвестных), то система имеет единственное решение;

если r < n, то система имеет бесконечное число решений, которые находятся следующим образом:

  • в матрице А выделяется любой базисный минор r-го порядка Δp 0
  • выделяется подсистема, состоящая из уравнений, коэффициенты при неизвестных которых являются базисными строками или входят в минор Δr;
  • полученная подсистема решается по формулам Крамера (Δr 0) при произвольных значениях (n — r) неизвестных, коэффициенты которых не входят в минор Δr.

Пример 8. Решить систему

\left. \begin{aligned} x_1+\phantom{2}x_2-3x_3=-1 \\ 2x_1+\phantom{2}x_2-2x_3=\phantom{-}1 \\ x_1+\phantom{2}x_2+\phantom{0}x_3=\phantom{-}3 \\ x_1+2x_2-3x_3=\phantom{-}1 \end{aligned} \right\}

Решение. Составим основную

A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}

и расширенную

\left( \begin{aligned} &1 & 1 && -3 \\ &2 & 1 && -2 \\ &1 & 1 && \phantom{-} 1 \\ &1 & 2 && -3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1 \\ &\phantom{-}1 \\ &\phantom{-}3 \\ &\phantom{-}1 \end{aligned} \right)

матрицы системы. Найдем Rg A и Rg B с помощью элементарных преобразований.

\left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&2&1&&-2\\&1&1&&\phantom{-}1\\&1&2&&-3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&\phantom{-}1\\&\phantom{-}3\\&\phantom{-}1 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&0&-1&&4\\&0&0&&4\\&0&1&&0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&\phantom{-}3\\&\phantom{-}4\\&\phantom{-}2 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\\Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&0&1&&-4\\&0&1&&0\\&0&0&&4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&-3\\&\phantom{-}2\\&\phantom{-}4 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&0&1&&-4\\&0&0&&4\\&0&0&&4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&-3\\&\phantom{-}5\\&\phantom{-}4 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\\Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&0&1&&-4\\&0&0&&4\\&0&0&&0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&-3\\&\phantom{-}5\\&\phantom{-}1 \end{aligned} \right)

Анализируя решение получаем, что Rg A = 3, Rg B = 4, т.е. данная система несовместна.

Пояснения к РЕШЕНИЮ. При переходе от первой матрицы ко второй с помощью первой строки получены нули в первом столбце остальных строк; при переходе от второй матрицы к третьей поменяли местами третью и четвертую строки, при переходе от третьей к четвертой матрице с помощью второй строки получен нуль во втором столбце третьей строки; при переходе от четвертой матрицы к пятой с помощью третьей строки получен нуль в третьем столбце четвертой строки.

Пример 9: Исследовать на совместность и решить систему

\left. \begin{aligned} x_1-2x_2+3x_3-4x_4=\phantom{-}4 \\ x_2-\phantom{4}x_3+\phantom{4}x_4=-3 \\ x_1+3x_2\phantom{-13x_2}-3x_4=\phantom{-}1 \\ -7x_2+3x_3+\phantom{4}x_4=-3 \end{aligned} \right\}

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, соответственно:

A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & \phantom{-}3 & -4 \\ 0 & \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \\ 1 & \phantom{-}3 & \phantom{-}0 & -3 \\ 1 & -7 & \phantom{-}3 & \phantom{-}1 \end{pmatrix} \text{и } B= \left( \begin{aligned} &1 & -2 && 3 && -4 \\ &0 & 1 && -1 && 1 \\ &1 & 3 && 0 && -3 \\ &0 & -7 && 3 && 1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 4 \\ -3 \\ 1 \\ -3 \end{aligned} \right)

Как и в примере 8, найдем Rg A и Rg B с помощью элементарных преобразований матрицы В.

\left( \begin{aligned} &1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&1&3&&0&&-3\\&0&-7&&3&&1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &+4\\&-3\\&+1\\&-3 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&0&5&&-3&&1\\&0&0&&-4&&8 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &+4\\&-3\\&-3\\&-24 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\\Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&0&0&&2&&-4\\&0&0&&-1&&2 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &+4\\&-3\\&12\\&-6 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&0&0&&1&&-2\\&0&0&&0&&0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &+4\\&-3\\&6\\&0 \end{aligned} \right)

Очевидно, RgA = RgB = 3 < 4, где 4 — число неизвестных, т.е. система имеет бесконечное множество решений.

Составим подсистему, состоящую из первых трех уравнений:

\left\{ \begin{aligned} x_1-2x_2+3x_3-4x_4=4 \\ x_2-x_3+x_4=-3 \\ x_3-2x_4=6 \end{aligned} \right. \text{ или } \left\{ \begin{aligned} x_1-2x_2+3x_3=4x_4+4 \\ x_2-x_3=-x_4-3 \\ x_3=2x_4+6 \end{aligned} \right.

Последнее уравнение дает выражение для x3 через x4 :x 3=2x4+6. Подставив полученное x3 во второе уравнение системы и приведя подобные получим выражение для x2 через x4 :x 2=x4+3. И, наконец, используя найденные x3 и x2, из первого уравнения найдем x1 :x 1=x4. Таким образом имеем следующее множество решений: {(-8); (x4+3); (2x4+6)}, где x4 — произвольная постоянная.

Пример 10: Исследовать и решить систему

\left\{ \begin{aligned} &\phantom{3}x_1+2x_2+3x_3=14 \\ &3x_1+2x_2+\phantom{3}x_3=10 \\ &\phantom{3}x_1+\phantom{3}x_2+\phantom{3}x_3=6 \\ &2x_1+3x_2+\phantom{3}x_3=5 \\ &\phantom{3}x_1+\phantom{3}x_2\phantom{+33x_3}=3 \end{aligned} \right.

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, соответственно:

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} ; \quad B= \left( \begin{aligned} &1 & 2 && 3 \\ &3 & 2 && 1 \\ &1 & 1 && 1 \\ &2 & 3 && -1 \\ &1 & 1 && 0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 14 \\ 10 \\ 6 \\ 5 \\ 3 \end{aligned} \right)

и применим к матрице В элементарные преобразования для приведения ее к треугольному виду:

\left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&3&2&&1\\&1&1&&1\\&2&3&&-1\\&1&1&&0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&10\\&6\\&5\\&3 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&-4&&-8\\&0&-1&&-2\\&0&-1&&-7\\&0&-1&&-3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&-32\\&-8\\&-23\\&-11 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\ \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&-1&&-2\\&0&-1&&-2\\&0&-1&&-7\\&0&-1&&-3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&-8\\&-8\\&-23\\&-11 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&1&&2\\&0&0&&-5\\&0&0&&-1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&8\\&-15\\&-3 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\ \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&1&&2\\&0&0&&1\\&0&0&&1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&8\\&3\\&3 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&1&&2\\&0&0&&1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&8\\&3 \end{aligned} \right).

В матрице В пришлось вычеркнуть две строки, но полученная матрица приведена к треугольному виду. RgA = RgB = 3 = n (n — число неизвестных), то есть система имеет единственное решение. Используя последнюю матрицу, запишем данную систему

\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2+3x_3=14; \\ x_2+2x_3=\phantom{1}8; \\ x_3=\phantom{1}3. \end{aligned} \right.

Решая систему, найдем x3=3; x2=2; x1=1. Ответ (1, 2, 3).

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Рассмотрим для определенности систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

\left. \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{aligned} \right\}. (4.14)

Составив матрицы из коэффициентов системы, неизвестных и свободных членов, т.е.

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}; \; X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}; \; B= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},

перепишем систему (14) в матричной форме:

AX=B (4.15)

Искомой в этом уравнении является матрица-столбец (или вектор-столбец) Х. Пусть А – невырожденная матрица, то есть detA 0, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части (4.15) на А-1 слева, получаем:

A-1(AX)=A-1B(A-1A)X=A-1BEX=A-1B, т.е.

X=A^{-1}B (4.16)

и есть искомое решение системы (4.14). Действительно, подставив (4.16) в (4.14), получим:

A(A-1B)=(A-1A)B=EB=B.

Пример 7. Решить систему матричным методом:

\left\{ \begin{aligned} &x+2y+z=3; \\ &2x+y-z=-6; \\ &3x+y+2z=1. \end{aligned} \right.

Решение. Запишем систему в матричной форме:

\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} }_{X} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} }_{B}

и убедимся, что данная система совместно и имеет единственное решение. Для этого найдем главный определитель системы (детерминант матрицы A).

\Delta=|A|=\det A= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} =-12 \ne 0.

Так как детерминант матрицы A отличен от нуля, следовательно обратная матрица существует и указанный метод применим к решению системы.

Для составления присоединенной матрицы А* найдем алгебраические дополнения

\begin{gathered} A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=3; \; A_{21}=-\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-3; \; A_{31}=\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-3; \\ A_{12}=-\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-7; \; A_{22}=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-1; \; A_{32}=-\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=3; \\ A_{13}=\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-1; \; A_{23}=-\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=5; \; A_{33}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-3; \end{gathered}

Составляем присоединенную матрицу А*:

A^*= \begin{pmatrix} 3 & -3 & -3 \\ -7 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \end{pmatrix},

следовательно, обратная матрица будет

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdotA^*=-\frac{1}{12} \begin{pmatrix} 3 & -3 & -3 \\ -7 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \end{pmatrix},

Тогда

X=A^{-1}B=-\frac{1}{12} \begin{pmatrix} 3 & -3 & -3 \\ -7 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} =-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 3\cdot 3 + (-3)\cdot(-6)+(-3)\cdot 1 \\ (-7)\cdot 3 + (-1)\cdot(-6)+(-3)\cdot 1 \\ (-1)\cdot 3 + 5\cdot(-6)+(-3)\cdot 1 \end{pmatrix} =-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 24 \\ -12 \\ -36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.

Т.е. х = -2; у = 1; z = 3.