Теория множеств Кантора

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»).[1] Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre)[источник не указан 188 дней].

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Тем не менее, другие крупные математики — в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!).

Однако, в работах русского математика Мириманова предлагалось не ограничиваться одними только несамопринадлежащими множествами, как делал это Кантор, но допустить операции и с самопринадлежащими множествами, логика этих операций отлична от интуитивно обычных представлений и позволяет разрешить парадоксы принадлежности (парадокс Рассела) и парадокс фундированных классов (известный также как парадокс Мириманова).

Абстрактная алгебра

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Абстра?ктная а?лгебра или вы?сшая а?лгебра или о?бщая а?лгебра — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами.

Исторически алгебраические структуры возникали вначале в других областях математики. После абстрагирования от деталей, присущих определенному разделу математики, и выделения аксиоматических определений они становились предметом изучения абстрактной алгебры. Именно поэтому абстрактная алгебра находит многочисленные применения в большинстве других областей математики.

Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются
полугруппы
моноиды
группы
квазигруппы

Все они возникли как результат обобщения свойств обычных операций умножения и сложения на числах.[источник не указан 355 дней]

Более сложными примерами алгебраических структур являются
кольца и поля
модули и векторные пространства
ассоциативные алгебры и алгебры Ли
решётки и булевы алгебры

Группы и отображения между ними, называемые гомоморфизмами, изучаются в теории групп. Векторные пространства и линейные отображения между ними изучаются в разделе под названием линейная алгебра. Алгебраические уравнения высших порядков от одной переменной, а также, более общо, свойства групп автоморфизмов различных алгебраических систем есть предмет теории Галуа.

Общие для всех этих алгебраических систем свойства собираются и изучаются теорией категорий. Эта теория доставляет формальные средства для сравнения алгебраических структур и изучения соответствий между ними.

Практическое применение алгебры

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

Простые логические головоломки

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Лекции по алгебре
as , , , ,

1) Вы — биохимик, работающий с двенадцатислотной центрифугой. Это устройство, которое имеет 12 слотов одного размера вокруг центральной оси, в которые вы размещаете образцы химических веществ, которые вам нужно смешать. Когда машина включена, образцы вращаются вокруг центральной оси и превращаются в однородную жидкость. Чтобы быть уверенным в том, что образцы хорошо смешались, они должны быть размещены по 12 слотам сбалансировано. К примеру, если вы хотите смешать 4 вещества, то их можно разместить в слоты 3, 6, 9, и 12 (предполагается, что слоты пронумерованы, также как и цифры на часах). Можно ли смешать в такой центрифуге пять веществ? Ответ

2) 97 бейсбольных команд участвуют в ежегодном турнире. В этом турнире победитель выбирается по старой системе исключения. То есть эти 97 команд разбиваются на пары и команды каждой пары играют друг против друга. После того как проигравшие команды исключаются, победители снова делятся на пары, и т.д. Сколько игр нужно сыграть, чтобы определить чемпиона?

3) Сколько у меня цветов, если все из них кроме двух розы, все кроме двух — тюльпаны, и все кроме двух — маргаритки.

4) Любая группа из 6 человек состоит или из 3 общих знакомых, или из 3 общих незнакомцев. Докажите это.

5) Вы хотите послать другу ценный предмет. У вас есть коробка, которая больше чем сам предмет. У вас есть несколько замков с ключами. У коробки есть кольцо (петли), которое больше чем было бы достаточно для замка. Но у вашего друга ключей ни от одного вашего замка. Что же делать?
Замечание: Вы не можете послать ключ в незапертой коробке, так как его могут скопировать.

6) Две коробочки помечены «А» и «В». Надпись на коробочке «А» гласит: «Надпись на коробочке «B» верна и золото в коробочке «А»». Надпись на коробочке «B» гласит «Надпись на коробочке «А» не верна и золото в коробочке А». Предполагая что в одной из коробочек лежит золото, скажите в какой именно.

7) Докажите, что в Москве есть как минимум два человека с одинаковым количеством волос на голове, если известно, что максимальное количество волос у человека — 100 000.

8) В некоторой стране есть два города. В одном из них живут только люди, которые всегда говорят правду, в другом — только те, кто всегда лжет. Все они ходят друг к другу в гости, т.е. в любом из этих двух городов можно встретить как честного человека, так и лжеца. Предположим, вы оказались в одном из этих городов. Как, задав один-единственный вопрос первому встречному, определить, в какой город вы попали — в город честных или в город лжецов?

9) Допустим, что вы — узник, которому вдруг предоставлено право выйти на свободу, но только в том случае, если справитесь с таким заданием: перед вами две двери, одна из них ведет на волю, другая — дорога к смерти. Сидят два стражника, причем один из них — лгун, а второй всегда говорит правду; вы не знаете, кто из них кто. Вы должны, задав лишь один вопрос одному из стражников, определить дорогу на свободу. Какой вопрос вы зададите?

10) Пока трое мудрецов спали под деревом, озорной ребенок покрасил их головы в красный цвет. Проснувшись, каждый мудрец обнаружил дело рук ребенка на головах своих друзей. Естественно они начали смеяться. Внезапно один замолчал. Почему?

11) У Вас есть две баночки с пилюлями, маркированные «А» и «В». В день Вам нужно съесть по одной пилюле из каждой баночки, если же Вы съедите больше одной пилюли, то умрете. Однажды Вы взяли одну пилюлю из баночки «А», а когда стали вытряхивать пилюлю из банки «В», случайно выпало две пилюли. Теперь у Вас на руке лежат три пилюли совершенно неразличимые по внешнему виду. Как с наименьшими потерями выйти из этой ситуации?

12) «Директор школы возражает против отмены решения о запрете контроля за причёсками.» Как это понять? Можно ходить с любыми причёсками?

13) Как сделать так, чтобы полюбить кого-то самому, и, чтобы этот кто-то вас тоже полюбил?

14) Hа какой вопрос логик не может ответить «Hет»?

15) Волчонок, маpтышка и бегемотик подошли к каpусели, на котоpой кpужились машинка и самолетик. Каждый из дpузей хотел пpокатиться и на том, и на дpугом. Машинка и самолетик вмещали только по одному пассажиpу. За тpи захода каждый из дpузей по pазу пpокатился на машинке и на самолетике. В пеpвый заход маpтышка пpокатилась на самолетике, а волчонок — на машинке. Во вpемя втоpого захода на самолетике катался волчонок.
Кто и на чем катался по вpемя тpетьего захода?

16) Заполните пропуск, чтобы получилось истинное предложение (последнее слово, возможно, придется поменять, чтобы фраза правильно звучала по-русски):
В ЭТОМ ПРЕДЛОЖЕНИИ … БУКВ.

Ответы:

1) Для этого нужно каждый образец разделить на две части, после этого у Вас станет 10 образцов, естественно их разместить очень просто: слоты 12 и 6 оставляем пустыми, остальные заполняем.

2) Конечно же 96 :)

3) Есть два основных варианта решения:
1) Три цветка: роза, тюльпан и маргаритка.
2) Два цветка: гладиолус и ромашка ;) (Собственно этот вариант можно расширить почти до бесконечнcти)

4) Возьмём человека Х. Из пяти других людей, должны или иметься по крайней мере три знакомых X или по крайней мере три незнакомца для X. Допустим, что X имеет трех незнакомцев А, В, C. Если A, B, C не требуемая триада знакомых, они должны включить пару незнакомцев, например A и B. Тогда X, A, B — требуемая триада незнакомцев.

5) Положите предмет в коробку и закройте его на замок. Пошлите коробку другу. Друг закрывает коробку ещё и на свой замок и посылает коробку Вам; Вы открываете свой замок и посылаете коробку другу. Он открывает свой замок.

6) Решения, казалось бы, не существует. Если надпись на коробочке А правдива, то правдива и надпись на коробочке В, но там сказано, что надпись на А — ложна. Если же надпись на А — ложна, значит ложна надпись и на В, но тогда должна быть правдива надпись на А.
Если же рассматривать «и» в условии, как логическое, то решение у головоломки появится, т.к. в ложная надпись «Утверждение 1 И утверждение 2″ предполагает наличие хотя бы одного неверного утверждения. Золото находится в коробочке «B», надписи на обоих коробочках ложны.

P.S. Вообще в задаче не сказано, что тот, кто помечал коробочки, действовал согласно правилам логики. Ведь он мог просто положить золото в первую попавшуюся коробку, например «В».

7) Работает принцип Дирихле, так как число всех людей в Москве значительно больше 100 000. К тому же хотя бы два лысых человека в Москве точно есть :-)

8) «Вы находитесь в своем городе?» — ответ «да» всегда будет означать, что вы в городе честных, кто бы вам ни попался.

9) Существует бесконечное множество решений, однако наиболее красивы из них три:
— Показав на конкретную дверь: «Твой товарищ сказал бы, что ЭТА дверь ведет на свободу?» Ответ «да» означает, что это дверь НЕ ведет на свободу.
— «Перед дверью, ведущей на свободу, сидит стражник, говорящий правду?» Ответ «да» означает, что нужно войти в ту дверь, возле которой сидит стражник, которому Вы задали вопрос.
— Показав на конкретную дверь: «Если бы я спросил тебя, ведет ли ЭТА дверь на свободу, что бы ты ответил?» Ответ «да» означает, что эта дверь ведет на свободу. Этот ответ подходит даже тогда, когда нет никакого второго стражника.

10) Мудрец перестал смеяться потому, что понял, что его голова тоже раскрашена. Этому предшествовали следующие мысли: Допустим головы покрашены, только у двоих других мудрецов, но тогда вскоре один из них поймет, что его голова раскрашена, ведь если бы это было не так, то мудрецу с ракрашенной головой не было бы над чем смеяться. Но мудрецы не перестают смеяться, значит моё допущение неверно, и моя голова тоже раскрашена.

P.S. Весьма забавно то, что такой вариант задачи обычно решают довольно-таки быстро; если я заменю трех мудрецов на сто, то тоже быстро догадываются, что нужно рассуждать по индукции и решают задачу, но вот если количество мудрецов будет примерно семь, то люди, решающие эту задачу начинают «тормозить» и часто даже просят сказать ответ ;-)

11) Вытаскиваем ещё одну пилюлю А. Теперь у нaс есть 4 пилюли — разрезаем пилюлю 1, одну половинку положим слева, другую справа. Потом вторую пилюлю: одну половинку слева, другую справа. И так с остальными двумя пилюлями. В результате слева у нас будет лежать две половинки А и две половинки B. Справа тоже будет лежать две половинки А и две половинки B.

12) Да

13) Полюбить себя :-)

14) Существует ли такой вопрос на который ты ответишь «нет»?

15) Во время второго на машинке катался бегемотик, а во время третьего бегемотик пересел на самолётик, мартышка села на машинку, а волчонок отдыхал.

16) Есть много вариантов:
В этом предложении тридцать две буквы.
В этом предложении 20 букв.
В этом предложении более сорока букв.
В этом предложении не двадцать букв.
В этом предложении есть буквы. ;)

ГДЗ по геометрии – как помощь в самообразовании

Posted by admin on 23 Июль 2010 with No Comments
in Конспекты по геометрии
as , , ,

Геометрия, это наука, которая появилась очень и очень давно. Следуя своим инстинктам, человек, с самых давних времен, пытался хоть как-то обустроить окружающее его пространство. Древние люди, занимаясь строительством своего жилища, даже не имели понятия, что им при этом приходится решать задачи по геометрии.

В современном мире геометрия ушла очень далеко вперед. Это уже не та наука, которая занимается просто измерением земли. За многотысячелетнюю историю, найденные и установленные опытным путем законы и последовательности, были систематизированы и в итоге преобразились в красивую, стройную теорию.
В общеобразователь

ных школах изучение геометрии начинается в 7 классе. После окончания школы, учащиеся должны научиться различать огромное количество геометрических фигур, усвоить их свойства и признаки, уметь выполнять графическое построение геометрических фигур, вычислять их длину, площадь, а также объём. Программа обучения по курсу геометрии в средней школе, достаточно объемная, и раскрыть ее полностью бывает крайне сложно. В результате, большая часть школьников, при решении задач по геометрии, пасует. Это происходит не потому, что они не проходили определенный материал, а оттого, что у них не было возможности разобраться во всем самостоятельно. К счастью, в наше время, на помощь учащимся общеобразовательных школ, пришли решебники. В кругу ребят за ними закрепилось название ГДЗ – готовые домашние задания.

В таких изданиях для учащихся по полочкам разложены все тонкости и принципы решения задач по геометрии. Представлены все необходимые эскизы и ссылки на использованные при решении аксиомы и теоремы. Готовые домашние задания по геометрии, как и остальные решебники, будь то ГДЗ по алгебре или ГДЗ по русскому языку, способны у самого слабого ученика ликвидировать пробелы в изучении данного предмета. Для этого конечно придется выделить немного времени для самостоятельной подготовки. Во время самостоятельной подготовки, следует обращать особое внимание на то, чтобы ваше воображение постоянно развивалось. Повторение ранее пройденного материала обязательно даст положительный результат. Знания в области геометрии обязательно пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни, и дома, и на работе, потому что геометрия — стройная, строгая красота, которая окружает нас на каждом шагу.

Некоторые следствия из метода Гаусса

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Следствие 3.7.1. Над полем действительных чисел K= R (и над любым бесконечным полем) число решений системы линейных уравнений может быть равно 0 (несовместная система), 1 (определенная система) и \infty(неопределенная система).

Замечание 3.7.2. Над конечным полем Z2={0,1} из двух элементов система x1+x2=0 имеет ровно два решения.

Следствие 3.7.2. (квадратные системы линейных уравнений).

  1. Пустьm=n(т. е. число уравнений равно числу неизвестных). Тогда следующие условия эквивалентны:

    а) система определенная (т. е. имеет единственное решение);

    б) r=n в ступенчатом виде (т. е. нет свободных неизвестных);

    в) соответствующая однородная система имеет только одно решение (0,…,0).

  2. Альтернатива Фредгольма: при m=n либо система линейных уравнений определенная, либо соответствующая ей однородная система имеет ненулевое решение.

Доказательство.

  1. Если в ступенчатом виде r=n, то, учитывая, что m=n, получаем r=n=m. Следовательно, нет «экзотических» уравнений, и поэтому система совместна. Из критерия определенности с этим замечанием получаем, что утверждения а) и б) эквивалентны (и для однородной системы эквивалентны утверждения б) и в)).
  2. С учетом 1) альтернатива Фредгольма соответствует для r \le n следующей альтернативе: либо r=n, либо r<n.

Примеры применения метода Гаусса

  1. \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} x_1-2x_2+x_3+x_4=1,\\ x_1-2x_2+x_3-x_4=-1,\\ x_1-2x_2+x_3+5x_4=5. \end{array} \right.
    \begin{mult} \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 & \phm 1\\ 1 & -2 & 1 & -1\\ 1 & -2 & 1 & \phm 5 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 1\\ -1\\ \phm 5 \end{matrix} \right) \to{}\\ {}\to \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 & \phm 1\\ 0 & \phm 0 & 0 & -2\\ 0 & \phm 0 & 0 & \phm 4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 1\\ -2\\ \phm 4 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 & \phm 1\\ 0 & \phm 0 & 0 & -2\\ 0 & \phm 0 & 0 & \phm 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 1\\ -2\\ \phm 0 \end{matrix} \right). \end{mult}

    В ступенчатом виде нет «экзотических» уравнений, следовательно, система совместна. Главные неизвестные — x1, x4, свободные неизвестные — x2, x3. Если x2=a, x3=b, то x4=1, x1=1+2a-b-1=2a-b. Таким образом, множество решений имеет вид

    X=\{(2a-b,a,b,1)\mid a,b\in R\}.
  2. \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} 0x_1+x_2+x_3=1,\\ 0x_1+x_2-x_3=0. \end{array} \right.
    \left( \begin{matrix} 0 & 1 & \phm 1\\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 0 & 1 & \phm 1\\ 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 1\\ -1 \end{matrix} \right).

    Система совместна, главные неизвестные — x2, x3, свободная неизвестная — x1. Ясно, что x_2=x_3=\frac{1}{2}. Если x1=a, то множество решений имеет вид

    X=\left\{\left(a,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \:\biggm|\: a\in R\right\}.
  3. \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} 0x_1+x_2-8x_3=-17,\\ x_1+0x_2+x_3=10,\\ x_1-x_2+0x_3=0. \end{array} \right.
    \begin{mult} \left( \begin{matrix} 0 & \phm 1 & -8\\ 1 & \phm 0 & \phm 1\\ 1 & -1 & \phm 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -17\\ \phm 10\\ \phm 0 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 0 & \phm 1\\ 0 & \phm 1 & -8\\ 1 & -1 & \phm 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 10\\ -17\\ \phm 0 \end{matrix} \right) \to{}\\ {}\to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 0 & \phm 1\\ 0 & \phm 1 & -8\\ 0 & -1 & -1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 10\\ -17\\ -10 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & 0 & \phm 1\\ 0 & 1 & -8\\ 0 & 0 & -9 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 10\\ -17\\ -27 \end{matrix} \right). \end{mult}

    Система совместна (нет «экзотических уравнений»), все неизвестные x1, x2, x3главные,x3=3, x2=7, x1=7. Система определенная, имеет единственное решение (7,7,3).

  4. \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} x_1+2x_2-3x_3=-2,\\ 3x_1-x_2+2x_3=7,\\ 5x_1+3x_2-4x_3=2. \end{array} \right.
    \begin{mult} \left( \begin{matrix} 1 & \phm 2 & -3\\ 3 & -1 & \phm 2\\ 5 & \phm 3 & -4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -2\\ \phm 7\\ \phm 2 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 2 & -3\\ 0 & -7 & \phm 11\\ 5 & \phm 3 & -4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -2\\ \phm 13\\ \phm 2 \end{matrix} \right) \to{}\\ {}\to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 2 & -3\\ 0 & -7 & \phm 11\\ 0 & -7 & \phm 11 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -2\\ \phm 13\\ \phm 12 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 2 & -3\\ 0 & -7 & \phm 11\\ 0 & \phm 0 & \phm 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -2\\ \phm 13\\ -1 \end{matrix} \right). \end{mult}

    Возникло «экзотическое уравнение». Значит, система несовместна.

Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных матриц размера mxn

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Через Mm,n(K) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем K фиксированного размера m\times n (для краткости обозначения, Mn(K)=Mn,n(K) — совокупность всех квадратных (n\times n)-матриц). Как для пространства строк Kn=M1,n(K) и для пространства столбцов \hat K^n=M_{n,1}(K), так и для Mm,n(K) определены операции сложения матриц C=A+B ( cij=aij+bij для каждого места (i,j)) и умножения матрицы на число c\in K D=cA ( dij=caij для каждого места (i,j)). Как и для совокупности строк Kn=M1,n(K), так и для Mm,n(K) непосредственно проверяется выполнение всех аксиом линейного пространства (в частности, нейтральным элементом в Mm,n(K) будет нулевая матрица 0 с нулями на всех местах, -A=(-1)A).

Произведение матриц

Если

A=(a_{ij})\in M_{r,m}(K),\quad B=(b_{ij})\in M_{m,n}(K)

то мы определили их произведение

AB=U=(u_{ij})\in M_{r,n}(K),

полагая

u_{il}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kl}

(т. е. элемент матрицы AB, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца получается «умножением» i -й строки (длины m) матрицы A на j -й столбец (длины m) матрицы B). Таким образом, условие возможности перемножить две прямоугольные матрицы A и B заключается в том, что длина строк левого множителя A совпадает с длиной столбцов правого множителя B .

Примеры вычисления произведения AB

Пример 8.2.1.

\begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & m+n\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad m,n\in Z.

Пример 8.2.2.

\begin{pmatrix} k_1 & ... & k_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_1\\ \vdots\\ l_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1l_1+... k_nl_n \end{pmatrix} \in M_{1}(K)=K.

Пример 8.2.3.

\begin{gathe} \begin{pmatrix} \phm 2 & -1\\ \phm 1 & \phm 0\\ -3 & \phm 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -5 & -2\\ 3 & \phm 0 & \phm 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -10 & -8\\ \phm 1 & -5 & -2\\ \phm 9 & \phm 15 & \phm 22 \end{pmatrix};\\ \begin{pmatrix} 1 & -5 & -2\\ 3 & \phm 0 & \phm 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phm 2 & -1\\ \phm 1 & \phm 0\\ -3 & \phm 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phm 3 & -9\\ -6 & \phm 13 \end{pmatrix}. \end{gathe}

Пример 8.2.4. Пусть

E_r = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & ... & 1 \end{pmatrix} \in M_r(K)

(единичная матрица размера r\times r), A\in M_{r,m}(K), тогда ErA=A, AEm=A. В частности, если E=En, A\in M_n(K), то EA=A=AE.

Матричные единицы Eij

Обозначим через Eij матрицу, в которой на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит 1, а на всех остальных местах стоит 0. Тогда в Mn(K) имеем

E_{ij}E_{kl} = \begin{cases} E_{il}, & \text{если } j=k,\\ 0 \text{ (нулевая матрица)}, & \text{если } j\neq k \end{cases}

(или E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}, где

\delta_{jk} = \begin{cases} 1, & \text{если } j=k,\\ 0, & \text{если } j\neq k \end{cases} \text{ -}

символ Кронекера).

Важные следствия умножения матричных единиц

Следствие 8.3.1. Так как в Mn(K) при n \geq 2

E_{11}E_{12}=E_{12}\neq 0 = E_{12}E_{11},

то:

а) умножение матриц некоммутативно;

б) имеются делители нуля (ненулевые элементы, произведение которых равно нулю).

Задача 8.3.2. Найти в Mn(K) все делители нуля. Точнее, доказать, что для A\in M_n(K) следующие условия равносильны:

  1. AX=0 для некоторой матрицы 0\neq X\in M_n(K) ;
  2. YA=0 для некоторой матрицы 0\neq Y\in M_n(K) ;
  3. |A|=0.

Матрицы элементарных преобразований

Следствие 8.3.3. Пусть c\in K, i\neq j, и

e_{ij}^c=E+cE_{ij}\in M_m(K)

(в этой матрице в отличие от единичной матрицы на месте (i,j) вне диагонали стоит c). Ясно, что |e_{ij}^c|=1

.

а) Если i\neq j, e_{ij}^c\in M_m(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A'=e_{ij}^cA получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 1-го типа: A’i=Ai+cAj.

б) Если i\neq j, e_{ij}^c\in M_n(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A'=Ae_{ij}^c получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 1-го типа: \hat A'_j=\hat A_j+c\hat A_i.

Следствие 8.3.4. Пусть i\neq j и tij — матрица, полученная из единичной матрицы E_m\in M_m(K) перестановкой i-й и j-й строк (или, что то же самое, перестановкой i-го и j-го столбцов). Ясно, что |tij|=-1.

а) Если t_{ij}\in M_m(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A’=tijA получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 2-го типа: A’i=Aj, A’j=Ai.

б) Если t_{ij}\in M_n(K) и A\in M_{m,n}(K), то матрица A’=Atij получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 2-го типа: \hat A'_i=\hat A_j, \hat A'_j=\hat A_i.

Следствие 8.3.5. Пусть \lambda_1,...,\lambda_m\in K,

d(\lambda_1,...,\lambda_m)= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0\\ 0 & \lambda_2 & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & ... & \lambda_m \end{pmatrix} \in M_{m}(K) \text{ -}

диагональная матрица с элементами \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m\in K на диагонали. Ясно, что |d(\lambda_1,...,\lambda_m)|= \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot...\cdot \lambda_m.

а) Если d(\lambda_1,...,\lambda_m) \in M_{m}(K) и A\in M_{m,n}(K), то

d(\lambda_1,...,\lambda_m)A= \begin{pmatrix} \lambda_1 A_1\\ \lambda_2 A_2\\ \vdots\\ \lambda_m A_m \end{pmatrix} \text{ -}

матрица, получаемая из матрицы A умножением строк A1,…,Am соответственно на «числа» \lambda_1,...,\lambda_m

.

б) Если d(\lambda_1,...,\lambda_n)\in M_{n}(K) и A\in M_{m,n}(K), то

A\,d(\lambda_1,...,\lambda_n)= (\lambda_1\hat A_1,...,\lambda_n \hat A_n)\text{ -}

матрица, получаемая из матрицы A умножением столбцов \hat A_1,...,\hat A_n соответственно на «числа» \lambda_1,...,\lambda_n.

В частности, умножение слева матрицы A на матрицу d(1,...,{\lambda_i\!=\!c},...,1), c\neq 0, равносильно применению к строкам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа A’i=cAi (умножение справа на матрицу такого типа дает применение к столбцам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа \hat A'_i=c\hat A_i).

Замечание 8.3.6. Ясно, что \lambda E=d(\lambda,...,\lambda) и (\lambda E)A=\lambda A=A(\lambda E) для E=En, A\in M_n(K), т. е. \eemph{скалярная} матрица \lambda E перестановочна с любой другой матрицей из Mn(K).

Задача 8.3.7. Пусть K — поле, n\in N, n\geq 2,

Z(M_{n}(K))=\{A\in M_{n}(K)\mid AB=BA\kvsp\forall B\in M_{n}(K)\}.

Тогда A\in Z(M_{n}(K)) в том и только в том случае, когда A=\lambda E_n, \lambda\in K

.

Следствие 8.3.8 (матричная запись системы линейных уравнений). Для системы линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} a_{11}x_1 & {}+...+{} & a_{1n}x_n & {}={} & b_1,\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{m1}x_1 & {}+...+{} & a_{mn}x_n & {}={} & b_m \end{array} \right.

возможна матричная запись AX=B, где A=(aij) — (m,n) -матрица коэффициентов,

X= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \text{ -}

столбец неизвестных,

B= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix} \in M_{m,1}(K) \text{ -}

столбец свободных членов.

Таким образом, строка (k1,…,kn) является решением системы линейных уравнений, если столбец

\begin{pmatrix} k_1\\ \vdots\\ k_n \end{pmatrix} \in M_{n,1}(K)

является решением матричного уравнения

A \begin{pmatrix} k_1\\ \vdots\\ k_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}.

Замечание 8.3.9 (Штрассен, 1969). Умножение двух (2\times 2) -матриц можно осуществить с использованием 7 умножений и 18 сложений (вместо 8 умножений и 4 сложений в обычном определении произведения матриц

\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f\\ g & h \end{pmatrix} = \left( \begin{smallmatrix} \begin{array}{@{}>{\scriptstyle}l@{}} (a-d)(e-h)+(b-d)(g+h)+{}\\ {}+d(e+g)+(a-b)h \end{array} & -(a-b)h+a(h+f)\\ (-d+c)e+d(e+g) & \begin{array}{@{}>{\scriptstyle}l@{}} (a-d)(e-h)-(a-c)(e+f)+{}\\ {}+a(h+f)-(c-d)e \end{array} \end{smallmatrix}\right).

Это соображение развивает идею алгоритма А. А. Карацубы (1962 г.) быстрого умножения многочленов. Дальнейший прогресс в теории быстрого умножения чисел, многочленов, матриц связан, в частности, с использованием быстрого преобразования Фурье.

Определитель Вандермонда

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Теорема 6.9.1.

\begin{mult} \nota {V(a_1,...,a_n)} = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & ... & a_1^{n-1}\\ 1 & a_2 & ... & a_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & a_n & ... & a_n^{n-1} \end{vmatrix} ={} \\ {}= \prod_{1 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j),\quad a_1,...,a_n\in K. \end{mult}

Доказательство. Проведем индукцию по n (начало индукции n=2). Пусть утверждение верно для n’<n. Тогда, применяя элементарные преобразования столбцов \hat A_n-a_1\hat A_{n-1}, \hat A_{n-1}-a_1\hat A_{n-2},…, \hat A_2-a_1\hat A_1 и предположение индукции, получаем

\begin{align*} & V(a_1,...,a_n) = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & ... & a_1^{n-1}\\ 1 & a_2 & ... & a_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & a_n & ... & a_n^{n-1} \end{vmatrix} ={} \\ & \quad {}= \begin{vmatrix} 1 & 0 & ... & 0\\ 1 & (a_2-a_1) & ... & a_2^{n-2}(a_2-a_1)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & (a_n-a_1) & ... & a_n^{n-2}(a_n-a_1) \end{vmatrix} ={} \\ & \quad {}= \begin{vmatrix} (a_2-a_1) & ... & a_2^{n-2}(a_2-a_1)\\ \vdots & & \vdots\\ (a_n-a_1) & ... & a_n^{n-2}(a_n-a_1) \end{vmatrix} ={} \\ & \quad {}= (a_2-a_1)... (a_n-a_1) \begin{vmatrix} 1 & a_2 & ... & a_2^{n-2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & a_n & ... & a_n^{n-2} \end{vmatrix} ={} \\ & \quad {}= \prod_{k=2}^n (a_k-a_1) V(a_2,...,a_n) ={} \\ & \quad {}= \prod_{k=2}^n (a_k-a_1) \prod_{2 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j)= \prod_{1 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j). \end{align*}

Следствие 6.9.2. V(a_1,...,a_n)\neq 0 тогда и только тогда, когда a_i\neq a_j при i\neq j (т. е. когда все элементы a1,a2,…,an различны).

Теорема 6.9.3 (интерполяционная формула Лагранжа).

  1. Если a1,…,an — различные элементы поля K, b1,…,bn — любые элементы поля K, то существует и единственный многочлен f(x)\in K[x] такой, что \deg f(x) \leq n-1 и f(ai)=bi для всех 1 \leq i \leq n (здесь \deg f(x) — степень многочлена f(x) ).
  2. Этот многочлен имеет вид
    f(x)=\sum_{i=1}^{n} b_i \frac{(x-a_1)... \widehat{(x-a_i)}... (x-a_n)}% {(a_i-a_1)... \widehat{(a_i-a_i)}... (a_i-a_n)}

    (здесь \widehat{(x-a_i)}, \widehat{(a_i-a_i)} означает, что эти множители не входят в произведения).

  3. Интерполяционный многочлен f(x)\in K[x], \deg f(x)\pleq n-1, для которого f(ai)=bi, i=1,…,n, можно находить методом Ньютона в виде
    \begingroup \setlength{\multlinegap}{0pt} \begin{mult} f(x)={} \\ {}=\lambda_0 +\lambda_1 (x-a_1)+\lambda_2 (x-a_1)(x-a_2)+...+ \lambda_{n-1} \smash[t]{\prod_{i=1}^{n-1} (x-a_i)}, \end{mult} \endgroup%

    при этом коэффициенты определяются последовательно: при x=a_1 имеем b_1=f(a_1)=\lambda_0, т. е. \lambda_0=b_1 ; при x=a2 имеем b_2=f(a_2)=b_1+\lambda_1(a_2-a_1), т. е. \lambda_1=(b_2-b_1)/(a_2-a_1) ;…; при x=an-1 получаем

    b_{n-1}=\lambda_0+\lambda_1(a_{n-1}-a_1)+...+ \lambda_{n-2}\prod\limits_{i=1}^{n-2}(a_{n-1}-a_i)

    и находим \lambda_{n-2} (коэффициент при \lambda_{n-2} отличен от нуля); полагая x=an, имеем коэффициент \smash[b]{\prod\limits_{i=1}^{n-1}} (a_n-a_i)\neq 0 при \lambda_{n-1} в равенстве

    b_n=\lambda_0+\lambda_1(a_n-a_1)+...+ \lambda_{n-1}\prod\limits_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i)

    и находим \lambda_{n-1}.

Доказательство.

  1. Будем искать многочлен f(x)=f0+f1x+…+fn-1xn-1, где f0,f1,…,fn-1 — неизвестные коэффициенты (элементы поля K), такой, что
    \begin{align*} & f(a_1)=f_0+f_1a_1+...+f_{n-1}a_1^{n-1}=b_1,\\ & \quad\vdots\\ & f(a_n)=f_0+f_1a_n+...+f_{n-1}a_n^{n-1}=b_n. \end{align*}

    Определитель этой системы

    V(a_1,...,a_n)= \begin{vmatrix} 1 & a_1 & ... & a_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ 1 & a_n & ... & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j<i \leq n} (a_i-a_j)\neq 0,

    поскольку все элементы a1,…,an различны. Поэтому такой многочлен f(x) существует (и единственный).

  2. Очевидно, что приведенный многочлен в форме Лагранжа
    f(x)=\sum_{i=1}^{n} b_i \frac{(x-a_1)... \widehat{(x-a_i)}... (x-a_n)}% {(a_i-a_1)... \widehat{(a_i-a_i)}... (a_i-a_n)}

    удовлетворяет двум условиям:

    \begin{align*} & \deg f(x) \leq n-1;\\* & f(a_i)=b_i,\quad i=1,2,...,n. \end{align*}
  3. Многочлен f(x) в форме Ньютона удовлетворяет двум условиям:
    \begin{align*} & \deg f(x) \leq n-1;\\ & f(a_i)=b_i,\quad i=1,2,...,n. \end{align*}

Упражнение 6.9.4. Пусть 0 \leq k_1<k_2<...<k_n\in Z, 0<a_1<a_2<...<a_n\in R, A=(aij), где a_{ij}=a_i^{k_j}.Тогда |A|>0.

Упражнение 6.9.5. Пусть A=(a_{ij})\in\mM_n( R), где a_{ij}=\smash[b]{\frac{1}{a_i+b_j}}, a_i,b_j\in R. Тогда

|A|=\frac{\prod\limits_{1 \leq i<j \leq n}(a_j-a_i)(b_j-b_i)} {\prod\limits_{i,j=1}^n (a_i+b_j)}.

Сведение вычисления определителя к определителям меньшего порядка

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Определение 6.8.1 (дополняющие миноры и алгебраические дополнения). Зафиксируем элемент aij квадратной (n\times n) -матрицы A=(aij). Вычеркивая в определителе |A| i -ю строку и j -й столбец (проходящие через aij), получаем определитель Mij матрицы порядка (n-1)\times (n-1), называемый дополняющим минором элемента aij. Алгебраическим дополнением элемента aij называется число Aij=(-1)i+jMij.

Замечание 6.8.2. Имеем n2 (дополняющих) миноров Mij.

Лемма 6.8.3.

\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & ... & a_{2n}\\ \hdotsfor{3}\\ a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} M_{11} = a_{11} A_{11}.

Доказательство. Каждый член определителя вида

a_{11} a_{2\alpha(2)}...a_{n\alpha(n)}

(все остальные заведомо равны нулю) входит в правую часть доказываемого равенства, при этом с тем же знаком:

\begin{mult} \varepsilon \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n\\ 1 = \alpha(1) & \alpha(2) & ... & \alpha(n) \end{pmatrix}={} \\ {}= \varepsilon \begin{pmatrix} 2 & ... & n\\ \alpha(2) & ... & \alpha(n) \end{pmatrix} = \varepsilon \begin{pmatrix} 1 & ... & n-1\\ \alpha(2)-1 & ... & \alpha(n)-1 \end{pmatrix}. \end{mult}

Следствие 6.8.4.

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ 0 & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} A_{11}.

Лемма 6.8.5.

|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1\,k-1} & a_{1k} & a_{1\,k+1} & ... & a_{1n}\\ \hdotsfor{7}\\ 0 & ... & 0 & a_{ik} & 0 & ... & 0\\ \hdotsfor{7}\\ a_{n1} & ... & a_{n\,k-1} & a_{nk} & a_{n\,k+1} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{ik}A_{ik}.

Доказательство. Переставляя последовательно i -ю строку (i-1) раз с (i-1) строками, стоящими над ней, а затем переставляя последовательно k -й столбец (k-1) раз с (k-1) столбцами, стоящими левее его, получаем

\begin{mult} |A| = (-1)^{(i-1)+(k-1)} \begin{vmatrix} a_{ik} & 0 & ... & 0 & 0 & ... & 0\\ \hdotsfor{7}\\ a_{1k} & a_{11} & ... & a_{1\,k-1} & a_{1\,k+1} & ... & a_{1n}\\ \hdotsfor{7}\\ a_{nk} & a_{n1} & ... & a_{n\,k-1} & a_{n\,k+1} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} ={} \\ {} \stackrel{\text{лемма 6.8.3}}}{= (-1)^{i+k} a_{ik} M_{ik} = a_{ik} A_{ik}. \end{mult}

Теорема 6.8.6 (разложение определителя по i-й строке и по j-му столбцу, 1 <= i, j <= n).

\begin{alignat*}{2} & 1) & \quad & |A|=a_{i1}A_{i1}+...+a_{in}A_{in}\ \biggl(=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}\biggr);\\ & 2) & & |A|=a_{1j}A_{1j}+...+a_{nj}A_{nj}\ \biggl(=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}\biggr). \end{alignat*}

Доказательство.

  1. Поскольку (ai1,…,ain)=(ai1,0,…,0)+…+(0,…,0,ain), то, применяя лемму 6.8.5, получаем
    |A|=\sum_{j=1}^n \begin{vmatrix} & & & \text{\large * }\\ 0 & ... & 0 & a_{ij} & 0 & ... & 0\\ & & & \text{\large * } \end{vmatrix} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}.
  2. Так как |A|=|A*|, то разложение по j -й строке для |A*| является разложением по j -му столбцу для |A|.

Теорема 6.8.7 (о фальшивом разложении по i-й строке и по j-му столбцу).

  1. При i\neq k
    \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj} = a_{i1}A_{k1}+...+a_{in}A_{kn}=0

    (сумма произведений элементов aij i-й строки на алгебраические дополнения Akj элементов «чужой» k -й строки при i\neq k равна нулю);

  2. при j\neq k
    \sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ik}=a_{1j}A_{1k}+...+a_{nj}A_{nk}=0

    (сумма произведений элементов aij j-го столбца на алгебраические дополнения Aik элементов «чужого» k -го столбца при j\neq k равна нулю).

Доказательство.

  1. \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj} = \begin{vmatrix} & \text{\large * }\\ a_{i1} & ... & a_{in}\\ & \text{\large * }\\ a_{i1} & ... & a_{in}\\ & \text{\large * } \end{vmatrix} \begin{matrix} \vphantom{\text{\large * }}\\ \scriptstyle i\\ \vphantom{\text{\large * }}\\ \scriptstyle k\\ \vphantom{\text{\large * }} \end{matrix} = 0

    (разложение по k -й строке определителя, полученного из исходного заменой k-й строки на i -ю и равного 0, поскольку в нем имеется две одинаковые строки, i-я и k-я).

  2. 2) Применяя 1) к фальшивому разложению по строке для |A*|, |A*|=|A|, получаем фальшивое разложение по столбцу для |A|.

Пример 6.8.8. Найти определитель

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}.

а) По определению, \Delta = 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2\cdot 3\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot 3 - 3\cdot 3\cdot 3-1\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 2=-18.

б) Разлагая по первой строке, получаем

\Delta = 1\cdot \begin{vmatrix} 3 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 2\cdot (-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 3\cdot \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 3 & 1 \end{vmatrix} =-18.

в) Используя элементарные преобразования строк, имеем

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \phm 2 & \phm 3\\ 0 & -1 & -5\\ 3 & \phm 1 & \phm 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \phm 2 & \phm 3\\ 0 & -1 & -5\\ 0 & -5 & -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \phm 2 & \phm 3\\ 0 & -1 & -5\\ 0 & \phm 0 & \phm 18 \end{pmatrix},

и мы пришли к треугольному виду. При этом мы применяли только преобразования 1-го типа, не меняющие определитель. Следовательно, \Delta=-18.

Пример 6.8.9. Найти определитель

\Delta = \begin{vmatrix} \phm 2 & \phm 5 & -3 & -2\\ -2 & -3 & \phm 2 & -5\\ \phm 1 & \phm 3 & -2 & \phm 2\\ -1 & -6 & \phm 4 & \phm 3 \end{vmatrix}.

Используем элементарные преобразования строк, оставляя неизменной третью строку:

\Delta\to \begin{vmatrix} \phm 0 & -1 & \phm 1 & -6\\ -2 & -3 & \phm 2 & -5\\ \phm 1 & \phm 3 & -2 & \phm 2\\ -1 & -6 & \phm 4 & \phm 3 \end{vmatrix} \to \begin{vmatrix} \phm 0 & -1 & \phm 1 & -6\\ \phm 0 & \phm 3 & -2 & -1\\ \phm 1 & \phm 3 & -2 & \phm 2\\ -1 & -6 & \phm 4 & \phm 3 \end{vmatrix} \to \begin{vmatrix} 0 & -1 & \phm 1 & -6\\ 0 & \phm 3 & -2 & -1\\ 1 & \phm 3 & -2 & \phm 2\\ 0 & -3 & \phm 2 & \phm 5 \end{vmatrix}.

Мы применяли только преобразования 1-го типа, не меняющие определитель. Применяя разложение последнего определителя по первому столбцу, имеем

\Delta = 1 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 & \phm 1 & -6\\ \phm 3 & -2 & -1\\ -3 & \phm 2 & \phm 5 \end{vmatrix} = -4.

Линейные преобразования линейных пространств столбцов

Posted by admin on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Произведение линейных отображений

Теорема 7.1.1. Если U, V, W- линейные пространства над полем K,

U \stackrel{f}{\to} V \stackrel{g}{\to} W,

f и g- линейные отображения линейных пространств, то их произведение

h=gf: U\to W

является линейным отображением.

Доказательство. Пусть u,u_1,u_2\in {}_KU и \lambda\in K. Тогда

\begin{align*} & h(u_1+u_2) = (gf)(u_1+u_2) = g(f(u_1+u_2)) ={} \\ & \quad {}=g(f(u_1)+f(u_2)) = g(f(u_1)) + g(f(u_2))= h(u_1)+h(u_2);\\ & h(\lambda u) = (gf)(\lambda u) = g(f(\lambda u)) = g(\lambda f(u)) = \lambda (g(f(u))) = \lambda h(u). \end{align*}

Матрица произведения линейных отображений пространств столбцов

Если U=\hat K^n, V=\hat K^m, W=\hat K^r- пространства столбцов над полем K, линейное отображение f: \hat K^n\to \hat K^m задается (m\times n)-матрицей F=(fij), линейное отображение g: \hat K^m\to \hat K^r задается (r\times m)-матрицей G=(gij), то вычислим однозначно определенную матрицу линейного отображения h=gf: \hat K^n\to\hat K^r.

Пусть

\begin{gathe} X= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \in \hat K^n,\\ Y= \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_m \end{pmatrix} = f(X) \in \hat K^m,\quad Z= \begin{pmatrix} z_1\\ \vdots\\ z_r \end{pmatrix} = g(Y) \in \hat K^r. \end{gathe}

Тогда для 1 \leq k \leq r

\begin{mult} z_k=\sum_{i=1}^{m}g_{ki}y_i = \sum_{i=1}^{m} g_{ki}\biggl(\,\sum_{l=1}^{n}f_{il}x_l\biggr)= \sum_{i=1}^{m}\sum_{l=1}^{n}g_{ki}f_{il}x_l={} \\ {}\stackrel{(*)}{=} \sum_{l=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}x_l= \sum_{l=1}^{n}\biggl(\,\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}\biggr)x_l= \sum_{l=1}^{n}h_{kl}x_l, \end{mult}

где

h_{kl}=\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}=g_{k1}f_{1l}+...+g_{km}f_{ml},

т. е. матрицей линейного отображения h=gf является (r\times n)-матрица H=(hkl).

Замечание (*). Использованное в доказательстве равенство

\sum_{i=1}^{m}\biggl(\,\sum_{l=1}^{n}\gamma_{il}\biggr)= \sum_{l=1}^{n}\biggl(\,\sum_{i=1}^{m}\gamma_{il}\biggr)

означает разный порядок суммирования элементов прямоугольной (m\times n)-матрицы (\gamma_{il})\in M_{m,n}(K)

.

Это вычисление приводит нас к следующему определению произведения согласованных по размеру матриц.

Определение 7.2.1. Пусть

G=(g_{ij})\in M_{r,m}(K),\quad F=(f_{ij})\in M_{m,n}(K)\text{ -}

прямоугольные матрицы согласованных размеров (т. е. длина m строки матрицы G совпадает с длиной m столбца матрицы F). Тогда определим произведение H=GF как (r\times n)-матрицу H=(hkl), где

h_{kl}=\sum_{i=1}^{m}g_{ki}f_{il}= g_{k1}f_{1l}+...+g_{km}f_{ml}.

Таким образом, нами фактически доказана

Теорема 7.2.2. Для диаграммы

\hat K^n \stackrel{f}{\to} \hat K^m \stackrel{g}{\to} \hat K^r

с линейными отображениями, задаваемыми матрицами F\=(f_{ij})\in M_{m,n}(K) и G=(g_{ij})\in M_{r,m}(K) соответственно, произведение

h=gf: \hat K^n\to \hat K^r

является линейным отображением, задаваемым матрицей H=(hij), являющейся произведением H=GF матриц линейных отображений G и F.