Шаровой сектор

1. Определение: Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
2. Определение: Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.
   
3. Определение: Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса.

• Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента.
• Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Усеченный конус

Определение. Конусом называют тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания — образующие конуса

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшуюся часть называют усеченным конусом. Усеченный конус можно получить и как тело вращения. Определение. Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Круги O и O1 — его основания, его образующие AA1 равны между собой, прямая OO1 — ось, отрезок OO1 — высота. Его осевое сечение — равнобедренная трапеция.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса: S =(R1+R2)l

Объем усеченного конуса: V=31 H(R12+R1R2+R22),

где  h — высота усеченного конуса; R₁,R₂ — радиусы верхнего и нижнего оснований; l — образующая.

Усеченная пирамида

Определение. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания — вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая пирамиду, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть пирамиды представляет собой многогранник, который называют усеченной пирамидой.

На рисунке изображена усеченная пирамида ABCDA₁B₁C₁D₁.  Грани усеченной пирамиды, лежащие  в параллельных плоскостях (ABC) и (B₁C₁D₁), называют основаниями усеченной пирамиды, остальные грани называют боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани — трапеции. Усеченную пирамиду, которая получается из правильной пирамиды, также называют правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции, их высоты называют апофемами.

Объем усеченной пирамиды: V=31H(S1+S1S2+S2) , где H — длина высоты усеченной пирамиды,  S₁ и S₂ — площади оснований.

Для усеченной пирамиды справедливы следующие соотношения: S2S1=a22a21=h22h21, где a₁ и  a₂ — длины сторон оснований,  h₁ и h₂ — расстояния от оснований усеченной пирамиды до вершины полной пирамиды.

Правильная усеченная пирамида также как и обычная правильная пирамида имеет особенности:

• В правильной усеченной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.
• Все боковые грани правильной усеченной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные трапеции (углы при основаниях равнобедренной трапеции равны), поэтому:

1. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все плоские углы при основаниях равны.
2. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основаниях равны.
3. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при боковых ребрах равны.

Шар

Определение: Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

• Эта точка называется центром шара, а данное расстояние называется радиусом шара.
• Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.
• Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом.
• Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.
• Концы любого диаметра называются диаметрально-противоположными точками шара.
• Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.
• Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на секущую плоскость.
• Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью
• Любая диаметральная плоскость шара являются его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии
• Плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенного в эту точку, называется касательной плоскостью. Данная точка называется точкой касания.
• Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.
• Прямая, проходящая через заданную точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.
• Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.
  

Цилиндр

Определение: Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

1. Круги называются основаниями цилиндра. а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, — образующими цилиндра.
2. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. У цилиндра образующие параллельны и равны.
3. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
4. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
5. Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
6. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.
7. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.
   
8. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.
9. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра
   
10. Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой — равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра. Ее боковые ребра являются образующими цилиндра.
    
11. Призма называется описанной около цилиндра. если ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости ее граней касаются боковой поверхности цилиндра.

Конус

Определение. Конусом называется тело. которое состоит из круга — основание конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга — вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

• Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
• Конус называется прямым, если прямая соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.
• Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.
• Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.
• Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением.
• Прямой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
• Конические сечения как результат пересечения плоскости с конусом. Возможны три основных типа конических сечений: эллипс, парабола, гипербола.
• Центр тяжести любого конуса лежит на четверти высоты считая от основания.

Формулы определяющие конус

• Боковая поверхность: S=rl, где r — радиус основания, l — длина образующей.
• Полная поверхность: S=r(r+l), где r — радиус основания, l — длина образующей.
• Объем кругового конуса: V=31r2h
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса: =2(1−cos2), где α — угол раствора конуса (т. е. удвоенный угол между осью конуса и любой прямой на его боковой поверхности).

Призма

Определение. Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.

Грани призмы, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Поэтому в основаниях лежат равные многоугольники.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы равна расстоянию между плоскостями оснований.Сечение призмы плоскостью, проведенной через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называется диагональным сечением призмы.

Определение. Прямой призмой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными.

Определение. Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Определение. Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Площадью боковой поверхности S_б призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадью полной поверхности S_п призмы называется сумма площадей всех ее граней. S_п = S_б + 2S, где S – площадь основания призмы, S_б – площадь боковой поверхности.

Призмы бывают прямые и наклонные.

Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой — параллелограммы. Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Определение. Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

Определение. Длины трёх ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями.

Определение. Куб — прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Все виды взаимного расположения прямых и плоскостей можно увидеть на  слайде:

Теоремы

• Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
• Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
• Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпердикулярна и самой наклонной.
• Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
• Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
• Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
• Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.