Усеченная пирамида

Определение. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания — вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая пирамиду, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть пирамиды представляет собой многогранник, который называют усеченной пирамидой.

На рисунке изображена усеченная пирамида ABCDA₁B₁C₁D₁.  Грани усеченной пирамиды, лежащие  в параллельных плоскостях (ABC) и (B₁C₁D₁), называют основаниями усеченной пирамиды, остальные грани называют боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани — трапеции. Усеченную пирамиду, которая получается из правильной пирамиды, также называют правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции, их высоты называют апофемами.

Объем усеченной пирамиды: V=31H(S1+S1S2+S2) , где H — длина высоты усеченной пирамиды,  S₁ и S₂ — площади оснований.

Для усеченной пирамиды справедливы следующие соотношения: S2S1=a22a21=h22h21, где a₁ и  a₂ — длины сторон оснований,  h₁ и h₂ — расстояния от оснований усеченной пирамиды до вершины полной пирамиды.

Правильная усеченная пирамида также как и обычная правильная пирамида имеет особенности:

• В правильной усеченной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.
• Все боковые грани правильной усеченной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные трапеции (углы при основаниях равнобедренной трапеции равны), поэтому:

1. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все плоские углы при основаниях равны.
2. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основаниях равны.
3. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при боковых ребрах равны.