Школа Пифагора

Основателем Пифагорейской школы являлся Пифагор Самосский, который, предположительно, был мистиком, учёным и государственным деятелем аристократического толка. Пифагор создал пифагорейский союз, который являлся своеобразным, полумистическим, полурелигиозным обществом. Пифагорейцы были путешественниками, при встречи они приветствовали друг друга «пифагорейской звездой» , которую рисовали на земле прутиком.
Пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. Они приписывали числам особые сверхестественные свойства, понимали, что каждая вещь или явление обладают сущностью(содержанием) и видимостью (формой). Форма постигается органами чувств, а сущность умом и подчинена логике чисел. Познав мир чисел, познаём и сущность вещей . «Все сущее есть число «- лозунг пифагорейцев. Предполагают, что от пифагорейцев ведет свое начало термин «математика». Пифагорейцы различали четыре матемы (с греч. «матема»- знание, наука, учение через размышление): учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях (геометрию) и астрономию с астрологией.

После раскола пифагорейского союза образовалось два главных направления: «акузматики» (от греческого слова «акусма» — «священное изречение» ) — сторонники религиозно-мистического учения Пифагора и «математики»- приверженцы науки. От последних и ведется название «математика».

Все, что открывали пифагорейцы, приписывалось самому Пифагору. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Числа разбиваются на четные (мужские ), нечетные (женские), также рассматривались фигурные числа. Например, треугольные числа, связывающие арифметику и геометрию.

Наш термин «квадратные числа» идёт от построений пифагорейцев.

Пифагорейцы разделяли числа на дружественные и совершенные.
Дружественныечисла — это пара натуральных чисел каждый из которых равно сумме всех делителей другого числа. Например,
220 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110
284 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142
Совершенные числа — это числа равные сумме своих делителей. Например,
46 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 1
Также пифагорейцы открыли простые и составные числа.
Пифагорейцам приписывается обозначение чисел с помощью букв греческого алфавита:

a-1 , b-2 , g-3

Указанная символика для вычислений не была пригодной, но пифагорейцы вычислениями и не занимались. Вычислительную математику они называли логистикой и считали уделом купцов. В представление пифагорейцев числа пердставляли собой набор единиц. Единицу называли монадой, пифагорейцы её числом не считали, а считали только зародышем числа.

В связи с разделением чисел на четные и нечетные у пифагорейцев закладываются основы теории делимости чисел, которые в дальнейшем приводят пифагорейцев к отношению двух натуральных чисел, т.е. к понятию рационального числа. Однако само понятие рационального числа ими еще не осмысливалось. Изучение, отношений чисел приводит их к созданию теории пропорции. Главное открытие пифагорейцев — открытие иррациональности.

Пифагорейцы впервые вводят в математику систематические доказательства, то есть все утверждения пытаются доказать. Вершиной математической мысли пифагорейцы считают доказательство несоизмеримости диагоналей квадрата с его стороной. В современном изложении это доказательство выглядит так

Докажем иррациональность методом от противного. Метод доказательства от противного открыли тоже пифагорейцы.
Допустим, что число — рациональное, т.е. можно представить в виде несократимой дроби m / n.
Тогда m2 = 2n2 , откуда m2- четное, т.е. m — четное. Тогда из предположения, что дробь m / n несократима следует, что n — нечетное.
Но если m — четное, то m делится на 2, тогда m2 делится на 4, т.е. 2n2 тоже должно делиться на 4. Из этого следует, что n2 делится на 2 и, значит, n2- четное.
Т.е. в одном и том же рассуждении число n и четное, и нечетное.
Предположение о том, что-рациональное число неверно, значит это число иррециональное.

С открытием несоизмеримости диагоналей квадрата с его стороной приходит крах пифагорейской идеи о том, чточисла всесильны. Обнаружилось, что не всякому объекту можно приписать определённое рациональное число, даже такому простому как отрезок: каждому рациональному числу можно сопоставить отрезок, построив его с помощью циркуля и линейки, но не всякому отрезку можно приписать число.То есть мир отрезков богаче мира чисел, а это означает крах идеи Пифагора, что всё сущее есть число.Значит, математику надо строить не на основе арифметики, а на основе геометрии.

Вся дальнейшая математика древних греков была изложена на геометрическом языке.
Вот так, например, доказывается формула (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Теория линейных уравнений греками излагается на языке геометрических пропорций, а квадратные уравнения решались методом приложения площадей. Эта математика получила название геометрическая алгебра древних греков.