Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Пусть K — поле,

f(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\in K[t] \text{ -}

многочлен с коэффициентами из поля K, A\in M_{n}(K). Тогда определим

f(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^n\in M_{n}(K),

где

E=E_n= \begin{pmatrix} 1 & & \lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ & \ddots\\ \lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}} & & 1 \end{pmatrix} \in M_{n}(K)\text{ -}

единичная (n\times n) -матрица, т. е.

f(A)=\sum_{i=0}^{n}a_iA^i,

здесь A0=E

.

Пример 8.6.1. Пусть f(t)=t^2+2t+1=(t+1)^2, g(t)=t+1\in R[t],

A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_{2}( R).

Тогда

\begin{align*} f(A) &= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 + 2 \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} ={} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}\\ \biggl( &= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}^2 = \left( \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 = (g(A))^2\biggr). \end{align*}

Упражнение 8.6.2. Пусть

A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2}(K)

и

\begin{align*} f(\lambda) &= |A-\lambda E| = \begin{vmatrix} a-\lambda & b\\ c & d-\lambda \end{vmatrix} = (a-\lambda)(d-\lambda)-bc ={} \\ &= \lambda^2 -(a+d)\lambda+(ad-bc)\\ ( &= \lambda^2-\tr A\lambda +|A|)\text{ -} \end{align*}

характеристический многочлен матрицы A (здесь \tr A=a+d). Тогда

\begin{align*} f(A) &= A^2-(a+d)A+(ad-bc)E={} \\ &= \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd\\ ca+dc & cb+d^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} (a+d)a & (a+d)b\\ (a+d)c & (a+d)d \end{pmatrix} +{} \\ & \quad {}+ \begin{pmatrix} ad-bc & 0\\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}

(т. е. в этом частном случае мы видим, что справедлива теорема Гамильтона Кэли о том, что матрица A является корнем своего характеристического многочлена f(\lambda)=|A-\lambda E| для (2\times 2) -матриц).

Теорема 8.6.3. Пусть K — поле,

A\in M_{n}(K),

\Delta_A: K[t]\to M_{n}(K) \text{ -} отображение, для которого \Delta_A(f(t))=f(A) для f(t)\in K[t]. Тогда

  1. \Delta=\Delta_A — гомоморфизм K -алгебр, т. е.
    \begin{align*} \Delta(f+g) &= (f+g)(A) = f(A)+g(A)= \Delta(f)+\Delta(g),\\ \Delta(fg) &= (fg)(A) = f(A)g(A) = \Delta(f)\Delta(g),\\ \Delta(\lambda f) &= (\lambda f)(A) = \lambda f(A) = \lambda\Delta(f) \end{align*}

    для всех f,g\in K[t], \lambda\in K ;

  2. \Ker \Delta_A = \{f(t)\in K[t]\mid f(A)=0\} — ненулевой идеал кольца K[t].

Доказательство.

  1. Пусть f(t) = a0+a1t+…+antn, g(t) = b0+b1t+…+bmtm, где a_i,b_j\in K, и пусть \lambda\in K. Тогда

    а) если n \geq m, то

    (f+g)(A)=\sum_{i=0}^{n}(a_i+b_i)A^i= \sum_{i=0}^{n}a_iA^i+\sum_{i=0}^{m}b_iA^i= f(A)+g(A)

    (здесь bn=…=bm+1=0);

    б) если (fg)(t)=c0+c1t+…+cm+ntm+n, где

    c_k=\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i},

    то

    (fg)(A)=\sum_{k=0}^{m+n}c_k A^k;

    с другой стороны,

    \begin{mult} f(A)g(A)= \biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_iA^i\biggr)\biggl(\,\sum_{j=0}^{m}b_jA^j\biggr)={} \\* {}=\sum_{k=0}^{m+n}\biggl(\,\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}\biggr)A^k= \sum_{k=0}^{m+n}c_kA^k, \end{mult}

    т. е. (fg)(A)=f(A)g(A) ;

    в)

    (\lambda f)(A) = \sum_{i=0}^{n} (\lambda a_i)A^i = \lambda \biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_i A^i\biggr)= \lambda f(A).

  2. Если f(t),g(t)\in\Ker\Delta, h(t)\in K[t], \lambda\in K, то f(A)=0, g(A)=0, и поэтому

    \begin{align*} (f+g)(A) &= f(A)+g(A)=0+0=0,\\ (fh)(A) &= f(A)h(A) = 0\cdot h(A)=0,\\ (\lambda f)(A) &= \lambda f(A) = \lambda\cdot 0=0. \end{align*}

    Итак, \Ker\Delta\lhd K[t] (т. е. \Ker\Delta — идеал K -алгебры K[t]).

    Так как система матриц

    E,A,A^2,...,A{n^2+1}

    линейно зависима в Mn(K) (поскольку \dim_K M_{n}(K)=n^2), то найдутся (не все нулевые) элементы a_0,a_1,...,a_{n^2+1}\in K, для которых

    a_0 E+a_1 A+...+a_{n^2+1}A^{n^2+1}=0,

    т. е.

    0\neq f(t)=a_0+a_1t+...+a_{n^2+1}t^{n^2+1}\in\Ker\Delta.

    Итак, \Ker\Delta\neq 0.

Замечание 8.6.4. Более сильное утверждение о том, что

|A-tE|\in\Ker\Delta,

является содержанием следующей теоремы. (теорема Гамильтона Кэли, \deg |A-tE|=n), таким образом, любая квадратная матрица A является корнем своего характеристического многочлена |A-tE|.

Теорема 8.6.5 (теорема Гамильтона—Кэли). Пусть K — поле (или даже коммутативное ассоциативное кольцо с 1), A\in M_n(K), p(t)=|A-tE|\in K[t] — характеристический многочлен квадратной матрицы A, \deg p(t)=n. Тогда

p(A)=0\in M_n(K).

Доказательство. Для матрицы

D=A-tE=(d_{ij})\in M_n(K[t]),

d_{ij}\in K[t], рассмотрим присоединенную матрицу

B=(b_{ij})\in M_n(K[t]),

b_{ij}=D_{ji}\in K[t] — алгебраическое дополнение элемента d_{ji}. Тогда \deg(b_{ij}(t)) \leq n-1, и поэтому B=B(t)=B0+tB1+…+tn-1Bn-1, где B_i\in M_n(K). Так как p(t)=|A-tE|=(-1)ntn+cn-1tn-1+…+c1t+c0, где c_i\in K, i=0,1,…,n-1, D\cdot B=|D|\cdot E

, то

\begin{equation}\label{unuGK} (A-tE)B(t)=p(t)E. \end{equation} (8.1)

Приравнивая матричные коэффициенты при степенях tk, 0 \leq k \leq n, в левой и правой частях этого равенства, получаем:

\begin{equation}\label{duGK} \begin{alignedat}{2} &t^n: &\quad & -B_{n-1}=(-1)^nE, \\ &t^{n-1}: && A\cdot B_{n-1}-B_{n-2}= c_{n-1}E, \\ &t^{n-2}: && A\cdot B_{n-2}-B_{n-3}= c_{n-2}E, \\ & ... && ... \\ &t: && A\cdot B_1-B_0= c_1E, \\ &t^0: && A\cdot B_0= c_0E. \end{alignedat} \end{equation} (8.2)

Умножая слева равенства (8.2) на An,An-1,…,A,E соответственно, получаем

\begin{equation}\label{triGK} \begin{aligned} & \!-A^n\cdot B_{n-1}=(-1)^nA^n, \\ & \,\phm A^n\cdot B_{n-1}-A^{n-1}\cdot B_{n-2}= c_{n-1}A^{n-1}, \\ & \,\phm... \\ & \,\phm A^2\cdot B_1-A\cdot B_0= c_1A, \\ & \,\phm A\cdot B_0= c_0E. \end{aligned} \end{equation} (8.3)

Складывая равенства (8.2), получаем

M_n(K)\ni 0=p(A).

Замечание 8.6.6. Отметим, что равенства (8.2) показывают, что матрицы B0,B1,…,Bn-1 являются многочленами от матрицы A, в частности, BiA=ABi, i=0,1,…,n-1. Поэтому можно было подставить в (8.1) вместо переменной t матрицу A, и тогда

\begin{mult} M_n(K)\ni 0=(A-AE)(B_0+AB_1+...+A^{n-1}B_{n-1})={} \\ {}\stackrel{(8.1)}{=} p(A)\cdot E=p(A). \end{mult}

Замечание 8.6.7. Очевидное равенство |A-AE|=0\in K не является доказательством теоремы Гамильтона Кэли.

Упражнение 8.6.8. Аннулирующий многочлен минимальной степени \varphi_A(t) жордановой клетки r-го порядка

A= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & \lambda & 1 & ... & 0\\ 0 & 0 & \lambda & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & ... & \lambda \end{pmatrix}

равен

\varphi_A(t)=(\lambda-t)^r=|A-tE|.

Упражнение 8.6.9. Если

A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

то

\varphi_A(t)=(1-t)^2,\quad |A-tE|=(1-t)^3.