Матричный метод решения систем линейных уравнений

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Рассмотрим для определенности систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

\left. \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{aligned} \right\}. (4.14)

Составив матрицы из коэффициентов системы, неизвестных и свободных членов, т.е.

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}; \; X= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}; \; B= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},

перепишем систему (14) в матричной форме:

AX=B (4.15)

Искомой в этом уравнении является матрица-столбец (или вектор-столбец) Х. Пусть А – невырожденная матрица, то есть detA 0, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части (4.15) на А-1 слева, получаем:

A-1(AX)=A-1B(A-1A)X=A-1BEX=A-1B, т.е.

X=A^{-1}B (4.16)

и есть искомое решение системы (4.14). Действительно, подставив (4.16) в (4.14), получим:

A(A-1B)=(A-1A)B=EB=B.

Пример 7. Решить систему матричным методом:

\left\{ \begin{aligned} &x+2y+z=3; \\ &2x+y-z=-6; \\ &3x+y+2z=1. \end{aligned} \right.

Решение. Запишем систему в матричной форме:

\underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} }_{X} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} }_{B}

и убедимся, что данная система совместно и имеет единственное решение. Для этого найдем главный определитель системы (детерминант матрицы A).

\Delta=|A|=\det A= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} =-12 \ne 0.

Так как детерминант матрицы A отличен от нуля, следовательно обратная матрица существует и указанный метод применим к решению системы.

Для составления присоединенной матрицы А* найдем алгебраические дополнения

\begin{gathered} A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=3; \; A_{21}=-\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-3; \; A_{31}=\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-3; \\ A_{12}=-\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-7; \; A_{22}=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-1; \; A_{32}=-\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=3; \\ A_{13}=\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-1; \; A_{23}=-\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=5; \; A_{33}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-3; \end{gathered}

Составляем присоединенную матрицу А*:

A^*= \begin{pmatrix} 3 & -3 & -3 \\ -7 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \end{pmatrix},

следовательно, обратная матрица будет

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdotA^*=-\frac{1}{12} \begin{pmatrix} 3 & -3 & -3 \\ -7 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \end{pmatrix},

Тогда

X=A^{-1}B=-\frac{1}{12} \begin{pmatrix} 3 & -3 & -3 \\ -7 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} =-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 3\cdot 3 + (-3)\cdot(-6)+(-3)\cdot 1 \\ (-7)\cdot 3 + (-1)\cdot(-6)+(-3)\cdot 1 \\ (-1)\cdot 3 + 5\cdot(-6)+(-3)\cdot 1 \end{pmatrix} =-\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix} 24 \\ -12 \\ -36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.

Т.е. х = -2; у = 1; z = 3.