Линейные преобразования линейных пространств столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Рассмотрим линейные пространства столбцов над полем K (например, над полем R действительных чисел)

\begin{align*} & U=\hat K^n = \left\{\left.X=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\right| x_i\in K\right\},\\[3mm] & V=\hat K^m = \left\{\left.Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}\right| y_i\in K\right\}. \end{align*}

Каждая (m\times n)-матрица F=(fij), f_{ij}\in K, задает отображение f: U\to V,

f(X)=Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}

для всех

\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=X\in U=\hat K^n,

где

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} y_1 & {}={} & f_{11}x_1 & {}+...+{} & f_{1n}x_n,\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ y_m & {}={} & f_{m1}x_1 & {}+...+{} & f_{mn}x_n. \end{array}

Теорема 7.0.6. Отображение

f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m,

задаваемое прямоугольной (m\times n)-матрицей F=(fij), обладает следующими свойствами:

  1. f(X+X’)=f(X)+f(X’) для всех X,X'\in U \textup;
  2. f(cX)=cf(X) для всех c\in K, X\in U.

Доказательство. Для

X= \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix},\ \ X'= \begin{pmatrix} x'_1\\\vdots\\x'_n \end{pmatrix},\quad c\in K

имеем

X+X'= \begin{pmatrix} x_1+x'_1\\\vdots\\x_n+x'_n \end{pmatrix},\quad cX=\begin{pmatrix}cx_1\\\vdots\\cx_n\end{pmatrix}.

Применяя отображение f, определяемое прямоугольной матрицей F=(fij), к X+X’ и cX, соответственно получаем f(X+X’)=f(X)+f(X’), f(cX)=cf(X).

Замечание 7.0.7. Отображение f: U\to V из одного линейного пространства U в другое линейное пространство V, удовлетворяющее свойствам

  1. f(X+X’)=f(X)+f(X’) для всех X,X'\in U,
  2. f(cX)=cf(X) для всех c\in K, X\in U,

называется линейным отображением (преобразованием). Тем самым мы показали, что отображение, задаваемое прямоугольной (m\times n)-матрицей F=(fij), определяет линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов:

f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m.

Пример 7.0.8. Если m=1, то имеем линейную функцию y=f1x1+…+fmxn из U=\hat K^n в \hat K^1=K.

Пример 7.0.9. Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на угол \alpha является линейным отображением f: \hat R^2\to\hat R^2, задаваемым матрицей поворота

\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phm \cos\alpha \end{pmatrix}.

Теорема 7.0.10 (об однозначной определяемости матрицы, задающей линейное отображение столбцов). Пусть

f: U=\hat K^n \to V=\hat K^m,\ \ g: U=\hat K^n \to V=\hat K^m \text{ -}

два линейных отображения, задаваемых (m\times n)-матрицами F=(fij) и G=(gij) соответственно. Тогда f=g в том и только в том случае, когда F=G (т. е. fij=gij для всех i, j

).

Доказательство.

  1. Если F=G, то ясно, что f=g.
  2. Пусть f=g. Рассмотрим
    e_j= \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix},

    где 1 стоит в j-й строке, а остальные элементы равны нулю. Тогда

    \begin{pmatrix} f_{1j}\\ \vdots\\ f_{ij}\\ \vdots\\ f_{mj} \end{pmatrix} = f(e_j) = g(e_j) = \begin{pmatrix} g_{1j}\\ \vdots\\ g_{ij}\\ \vdots\\ g_{mj} \end{pmatrix},

    поэтому для любого i имеем fij=gij, т. е. F=(fij)=(gij)=G.

Теорема 7.0.11 (о задании любого линейного отображения линейных пространств столбцов матрицей). Пусть

f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m \text{ -}

линейное отображение линейных пространств столбцов, т. е.

  1. f(X+X’)=f(X)+f(X’) для всех X,X'\in U,
  2. f(cX)=cf(X) для всех c\in K, X\in U.

Тогда найдется (и единственная) (m\times n)-матрица F=(fij) такая, что определяемое с ее помощью линейное отображение совпадает с линейным отображением f.

Доказательство. Пусть

e_j = \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} \vphantom{0}\\ \vphantom{\vdots}\\ \scriptstyle \kern-3mm -\;j\\ \vphantom{\vdots}\\ \vphantom{0} \end{matrix}\;,\quad f(e_j) = \begin{pmatrix} f_{1j}\\ \vdots\\ f_{ij}\\ \vdots\\ f_{mj} \end{pmatrix} \in V = \hat K^m,\ \ f_{ij}\in K.

Получили (m\times n)-матрицу F=(fij)

.

Для любого

X= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \in U = \hat K^n

имеем X=x_1e_1+…+x_ne_n. Тогда

\begin{mult} \smash[b]{\begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_m \end{pmatrix}} = f(X) = x_1f(e_1)+...+x_nf(e_n)={} \\ {}= x_1 \begin{pmatrix} f_{11}\\ \vdots\\ f_{m1} \end{pmatrix} +... + x_n \begin{pmatrix} f_{1n}\\ \vdots\\ f_{mn} \end{pmatrix}, \end{mult}

т. е.

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} y_1 & {}={} & f_{11}x_1 & {}+...+{} & f_{1n}x_n,\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ y_m & {}={} & f_{m1}x_1 & {}+...+{} & f_{mn}x_n. \end{array}

Итак, линейное отображение f задается (m\times n)-матрицей F=(fij).

Как мы показали, матрица F=(fij) определена однозначно.