Евклидово пространство

В предыдущем параграфе мы выяснили, что количество координатных осей определяет мерность пространства. Так, если некоторое пространство задано тремя координатными осями, то говорят, что речь идет о трехмерном пространстве.

Рассмотрим n-мерное пространство, определенное n-координатными осями, на каждой из которых заданы единичные векторы, обычно обозначаемые как или е₁, е₂, …, е_r.

Рассмотрим в заданном пространстве вектор V. Если V₁, V₂, …, V_r — проекции вектора V на оси координат, то указанный вектор можно представить как

Замечание 15. В аффинном пространстве не задано понятие длины..

Определение 16. Если же в пространстве существует некоторый эталон длины, при помощи которого можно сравнить , то такое пространство назовем метрическим.

Аффинное пространство позволяет изучать общие свойства тел, не изменяющиеся при произвольном преобразовании системы координат. Примером аффинного пространства может служить пространство, по координатным осям которого отложим давление, объем, температура. Однако в нем отсутствует понятие длины, так как совершенно очевидно, что общей единицы для измерения давления, объема и температуры не существует, а следовательно, не имеет физического смысла понятие расстояния между двумя точками в этом пространстве. А вот пространство, в котором система координат определена географической широтой, долготой и высотой, является метрическим, так как пользуясь этими координатами можно определить расстояние между географическими объектами на карте. Поэтому, если в задаче надо знать расстояние между точками и закон его изменения со временем, то необходимо перейти к метрическому пространству, где и решать поставленную задачу. На практике одинаково часто используют как аффинное, так и метрическое пространства, при необходимости переходя из одного в другое.

Пусть — единичные векторы старой, а — единичные векторы новой систем координат. Покажем простую связь между ними.

Если обозначим проекцию единичного вектора на единичный вектор , то тогда получим систему линейных уравнений, определяющую переход от одной системы координат к другой: