Действия над линейными преобразованиями

Сложение преобразований. Пусть в n-мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, …, l_n заданы два линейных преобразования А и В, определяемые как y = Ax и z = Bx.

Определение 28. Суммой линейных преобразований А и В называют преобразование С, обозначаемое С = А + В, если для каждого вектора x из пространства R справедливо Сх = (А + В)х = Ax + Вx. Тогда говорят, что преобразование С преобразует вектор х в вектор q равный сумме векторов у и z, т.е. q = y + z.

Из определения 28 очевидно, что матрица С, определяющая преобразование С, должна быть равна сумме матриц преобразований А и В: С = А + В.

Умножение преобразования на число. Пусть в n-мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, …, l_n задано линейное преобразование А, определяемом как y = Ax, и некоторое число λ.

Определение 29. Произведением линейного преобразования А и числа λ называют преобразование С, обозначаемое С = λА, если для каждого вектора x из пространства R справедливо Сх = (λА)х = λAx. Тогда говорят, что преобразование С преобразует вектор х в вектор q, равный λy, где у = Ax.

Произведение преобразований. Пусть в n-мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, …, l_n заданы два линейных преобразования А и В, определяемых как y = Ax и z = Bу, т.е. вектор x преобразуется преобразованием А в вектор y, который в свою очередь преобразуется в вектор z преобразованием В.

Определение 30. Произведением преобразований А и В называют преобразование С, обозначаемое С = ВА, если для каждого вектора x R справедливо Сх = (ВА)х = В(Ax) = Ву = z.

Заметим, что в этом случае матрица преобразования С, определяющая произведение преобразований А и В, будет выражаться произведением матриц соответствующих преобразований: С = ВА.

Обратное преобразование. Пусть в n-мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, …, l_n задано линейное преобразование А выражением y = Ax, где A — невырожденная квадратная матрица, для которой определена обратную матрицу A^-1 как A^-1A = AA^-1 = Е, где Е — единичная матрица¹⁾.

Определение 31. Обратным преобразованием х = A^-1у назовем такое, которое будет обратно прямому преобразованию y = Ax, причем произведение прямого и обратного преобразования будет переводить вектор в самого себя, т.е. х = A^-1у = A^-1Ax = Еx = х.

Очевидно, что матрица A^-1 обратного преобразования А^-1 будет являться обратной по отношению к матрице прямого преобразования А.

Представление линейного преобразования матрицей

Пусть в n-мерном пространстве R задано преобразование А, которое переводит вектор х R в вектор у m-мерного пространства R1, т.е. задано преобразование у = Ах. Определим в пространствах R и R1 базисы соответственно l1, l2, …, ln и g1, g2, …, gm. Тогда векторы х и у могут быть представлены в координатной форме следующим образом […]

Линейные преобразования в линейном пространстве

Определение 24. Если некоторая величина характеризуется полностью одним числом, не зависящим от базиса линейного пространства, то такую величину называют скалярной, или скаляром. Скалярная величина обозначается одной буквой, без выделения. Одним из основных понятий математики является функциональная зависимость. Говорят, что скалярная величина у является функцией скалярного аргумента х, если каждому значению переменной х, взятому из некоторого […]

Евклидово пространство

В предыдущем параграфе мы выяснили, что количество координатных осей определяет мерность пространства. Так, если некоторое пространство задано тремя координатными осями, то говорят, что речь идет о трехмерном пространстве. Рассмотрим n-мерное пространство, определенное n-координатными осями, на каждой из которых заданы единичные векторы, обычно обозначаемые как или е1, е2, …, еr. Рассмотрим в заданном пространстве вектор V. […]

Подпространства линейного пространства

Определение 14. Подпространством линейного пространства R называется совокупность его элементов R1, которая сама является линейным пространством относительно введенных в R операций сложения и умножения на число. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, выполняются ли в R1 аксиомы линейного пространства, которые выполняются в R. Для этого надо взять два элемента из R1 и проверить […]