About admin

  • Website: or email
  • Biography:

Posts by admin:

Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

\left. \begin{gathered} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m \end{gathered} \right\} (4.12)

Элементарными преобразованиями системы (4.12) называют:

  1. перестановку любых двух уравнений;
  2. умножение обеих частей любого уравнения на любое число, отличное от нуля;
  3. прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Очевидно, что элементарные преобразования переводят линейную систему в эквивалентную.

Ступенчатой системой называется система линейных уравнений вида

\left. \begin{aligned} a_{11}x_1+ & a_{12}x_2+ & \ldots+ & a_{1n}x_n=b_1 \\ & a_{22}x_2+ & \ldots+ & a_{2n}x_n=b_2 \\ & & \ldots \\ & a_{kk}x_k+ & \ldots+ & a_{kn}x_n=b_k \end{aligned} \right\}, (4.13)

где k \le n, \; a_{ii} \ne 0 \forall i \in \overline{1,k}. Коэффициенты aii называются главными, или ведущими, элементами системы. Например, система

\left. \begin{aligned} 4x_1 + 3x_2 - \phantom{0}x_3 + \phantom{0}x_4 + 7x_5 =2 \\ -x_2 + 3x_3 \phantom{+03x_4} + \phantom{0} x_5 =3 \\ \phantom{0}x_3 + 3x_4 + 2x_5 =5 \\ x_4 + \phantom{0} x_5 =7 \end{aligned} \right\}

имеет ступенчатый вид.

Если в системе (4.13) k = n, то ее называют треугольной. Очевидно, что в этом случае она является определенной.

Если k < n, то k неизвестных х1, х2, …, хк, называют главными элементами. Они могут быть выражены через остальные n – k неизвестные, называемые свободными. В этом случае система (4.13) будет называться неопределенной.

Вернемся к произвольной системе (4.12) и для определенности будем считать, что а11 0. Если это не так, то тождественными линейными преобразованиями системы (4.12) можно всегда добиться выполнения данного условия. Исключим х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на a21/a11 и вычтем из соответствующих частей второго уравнения. Затем обе части первого уравнения умножим на a31/a11 и вычтем из соответствующих частей третьего. И так поступим с каждым следующим уравнением. Далее таким же образом исключаем х2 из третьего, четвертого и так далее уравнений. В результате таких преобразований мы получим совместную ступенчатую систему или придем к несовместимой системе, в которой одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все остальные коэффициенты левой части равны нулю. В последнем случае система (4.12) также будет несовместимой.

Пример 6. Решить систему

\left\{ \begin{aligned} &x_1+2x_2+x_3=9; \\ &x_1+x_2+2x_3=8; \\ &2x_1+x_2+x_3=7. \end{aligned} \right.

Решение. Вычисления удобно записывать по так называемой схеме единственного деления, в которой оперируют с коэффициентами системы.

X1 X2 X3 B Σ
1 2 1 9 13
1 1 2 8 12
2 1 1 7 11
1 2 1 9 13
0 -1 1 -1 -1
0 -3 -1 11 15
1 2 1 9 13
0 -1 1 -1 -1
0 0 -4 -8 -12

В результате получаем треугольную систему:

\left. \begin{aligned} x_1+2x_2+\phantom{4}x_3=\phantom{-}9; \\ -x_2+\phantom{4}x_3=-1; \\ -4x_3=-8. \end{aligned} \right\}

Делая обратный ход, найдем х3 = 2; х2 = 3; х1 = 1, т.е. решение (1, 3, 2).

Замечание. Последний столбец является контрольным. В нем суммируются элементы соответствующих строк.

Правило Крамера

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Основные задачи изучения системы (3.1), лекции 3: Выяснить, является ли система (3.1) совместной или несовместной. Если система (3.1) совместна, то выяснить, является ли она определенной и найти решения. Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. (4.2) Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы Умножим обе части первого […]

Операции над векторами

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Сложение и вычитание Сложение и вычитание векторов производят математически (по формулам) или геометрически (рис. 5.5). Геометрический способ более известен как правило треугольника. Рис. 5.5. Математически сложение записывают или , если речь идет о вычитании векторов (рис. 5.5). В координатной форме эти операции над векторами можно определить следующим образом. Пусть в пространстве заданы два разных вектора […]

Основные определения скалярных и векторных величин

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Определение 1. Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом. Примером скалярных величин могут служить угол, площадь, объем, плотность среды, сопротивление, температура. Следует различать два типа скалярных величин: чистые скаляры и псевдоскаляры. Определение 2. Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то […]

Умножение

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Различают несколько видов операции умножения. 1. Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора на скаляр получают новый вектор , длина (модуль) которого изменяется в раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора , если > 0, или противоположно исходному вектору, если < 0. В координатной форме, если a=(ax;ay;az), то b=λa=(λax;λay;λaz). Следовательно, операция умножения вектора […]

Следствия из аксиом линейного пространства

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

1. В каждом линейном пространстве нулевой вектор только один. Доказательство первого следствия из аксиом проведем от противного. Предположим, что в пространстве имеются два нулевых элемента: 01 и 02. Тогда по аксиоме 3 линейного пространства имеем: 02 + 01 = 02 и 01 + 02 = 01. Однако по аксиоме 1 01 + 02 = 02 […]

Определения и аксиомы линейного пространства

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Довольно часто в своей деятельности человеку приходится иметь дело с объектами, связанными между собой некоторыми условными правилами, которые могут быть однозначными (умножение, сложение, вычитание) и многозначными (извлечение корня четной степени из числа, взятие модуля числа). Графически это можно изобразить так, как показано на рис. 7.1. Рис. 7.1. На рис. 7.1а — 7.1в показаны однозначные операции […]

Линейные операции в координатах

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Теорема. При умножении вектора на число каждая из его координат умножается на это число, а при сложении складываются соответствующие координаты. Доказательство. Пусть даны два произвольных вектора x и y и некоторое произвольное число 0. Разложим векторы по базису l1, l2, …, ln, получим x=x1l1+x2l2+…+xnln и y=y1l1+y2l2+…+ynln и найдем произведение x x=x1l1+x2l2+…+xnln=(x1)l1+(x2)l2+…+(xn)ln x=(x1, x2, …, xm) […]

Линейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Определение 6. Векторы а1, а2, …, ак линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1, 2, …, к, не равные одновременно нулю, при которых выполняется: (8.1) Определение 7. Если равенство (8.1) выполнимо лишь при всех i = 0, то векторы а1, а2, …, ак называются линейно независимыми. Определение 8. Если имеет место равенство […]

Примеры линейных преобразований

on 23 Июль 2010 with Comments Closed
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Пример 1. Пусть преобразование А есть поворот всех векторов 0Х плоскости х0y, т.е. поворот плоскости х0y вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Это преобразование линейно, так как безразлично, сначала ли сложить векторы а и b, а потом повернуть их на угол , или сначала повернуть векторы на указанный угол, а потом сложить их […]