Теория множеств Кантора

Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»).[1] Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre)[источник не указан 188 дней].

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Тем не менее, другие крупные математики — в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!).

Однако, в работах русского математика Мириманова предлагалось не ограничиваться одними только несамопринадлежащими множествами, как делал это Кантор, но допустить операции и с самопринадлежащими множествами, логика этих операций отлична от интуитивно обычных представлений и позволяет разрешить парадоксы принадлежности (парадокс Рассела) и парадокс фундированных классов (известный также как парадокс Мириманова).

Абстрактная алгебра

Абстра?ктная а?лгебра или вы?сшая а?лгебра или о?бщая а?лгебра — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами. Исторически алгебраические структуры возникали вначале в других областях математики. После абстрагирования от деталей, присущих определенному разделу математики, и выделения аксиоматических определений […]

Практическое применение алгебры

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо […]

Простые логические головоломки

1) Вы — биохимик, работающий с двенадцатислотной центрифугой. Это устройство, которое имеет 12 слотов одного размера вокруг центральной оси, в которые вы размещаете образцы химических веществ, которые вам нужно смешать. Когда машина включена, образцы вращаются вокруг центральной оси и превращаются в однородную жидкость. Чтобы быть уверенным в том, что образцы хорошо смешались, они должны быть […]

Некоторые следствия из метода Гаусса

Следствие 3.7.1. Над полем действительных чисел K= R (и над любым бесконечным полем) число решений системы линейных уравнений может быть равно 0 (несовместная система), 1 (определенная система) и (неопределенная система). Замечание 3.7.2. Над конечным полем Z2={0,1} из двух элементов система x1+x2=0 имеет ровно два решения. Следствие 3.7.2. (квадратные системы линейных уравнений). Пустьm=n(т. е. число уравнений […]

Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных матриц размера mxn

Через Mm,n(K) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем K фиксированного размера (для краткости обозначения, Mn(K)=Mn,n(K) — совокупность всех квадратных -матриц). Как для пространства строк Kn=M1,n(K) и для пространства столбцов , так и для Mm,n(K) определены операции сложения матриц C=A+B ( cij=aij+bij для каждого места (i,j)) и умножения матрицы на число D=cA ( dij=caij для […]

Определитель Вандермонда

Теорема 6.9.1. Доказательство. Проведем индукцию по n (начало индукции n=2). Пусть утверждение верно для n’<n. Тогда, применяя элементарные преобразования столбцов , ,…, и предположение индукции, получаем Следствие 6.9.2. тогда и только тогда, когда при (т. е. когда все элементы a1,a2,…,an различны). Теорема 6.9.3 (интерполяционная формула Лагранжа). Если a1,…,an — различные элементы поля K, b1,…,bn — […]

Сведение вычисления определителя к определителям меньшего порядка

Определение 6.8.1 (дополняющие миноры и алгебраические дополнения). Зафиксируем элемент aij квадратной -матрицы A=(aij). Вычеркивая в определителе |A| i -ю строку и j -й столбец (проходящие через aij), получаем определитель Mij матрицы порядка , называемый дополняющим минором элемента aij. Алгебраическим дополнением элемента aij называется число Aij=(-1)i+jMij. Замечание 6.8.2. Имеем n2 (дополняющих) миноров Mij. Лемма 6.8.3. Доказательство. […]

Линейные преобразования линейных пространств столбцов

Произведение линейных отображений Теорема 7.1.1. Если U, V, W- линейные пространства над полем K, f и g- линейные отображения линейных пространств, то их произведение является линейным отображением. Доказательство. Пусть и . Тогда Матрица произведения линейных отображений пространств столбцов Если , , — пространства столбцов над полем K, линейное отображение задается -матрицей F=(fij), линейное отображение задается […]