Представление линейного преобразования матрицей

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Пусть в n-мерном пространстве R задано преобразование А, которое переводит вектор х R в вектор у m-мерного пространства R1, т.е. задано преобразование у = Ах. Определим в пространствах R и R1 базисы соответственно l1, l2, …, ln и g1, g2, …, gm. Тогда векторы х и у могут быть представлены в координатной форме следующим образом

x=x_1 l_1+x_2 l_2+\ldots+x_n l_n;\; y=y_1 g_1+y_2 g_2+\ldots+y_m g_m , (9.10)

а координаты образа у выражают через координаты прообраза х

y=A(x_1 l_1+x_2 l_2+\ldots+x_n l_n)=x_1 A(l_1)+x_2 A(l_2)+\ldots+x_n A(l_n). (9.11)

Сравним выражение (9.11) вектора у с выражением (9.10). В результате получим gi = A(li), т.е. образ базиса l1, l2, …, ln. Разложим А(l1), А(l2), …, А(ln) по базису g1, g2, …, gm:

\left\{ \begin{gathered} A(l_1)=a_{11}g_1+a_{21}g_2+\ldots+a_{m1}g_m; \\ A(l_2)=a_{12}g_1+a_{22}g_2+\ldots+a_{m2}g_m; \\ \ldots \\ A(l_n)=a_{1n}g_1+a_{2n}g_2+\ldots+a_{mn}g_m. \end{gathered} \right. (9.12)

Заметим, что выражение (9.12) идентично по своей структуре формулам перехода (9.1).

Подставим выражения (9.12) в формулу (9.11), получим

\begin{gathered} y=x_1(a_{11}g_1+a_{21}g_2+\ldots+a_{m1}g_m)+x_2(a_{12}g_1+ \\ +a_{22}g_2+\ldots+a_{m2}g_m)+\ldots+x_n(a_{1n}g_1+a_{2n}g_2+\ldots+a_{mn}g_m)= \\ =(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n)g_1+(a_{21}x_1+ \\ +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n)g_2+\ldots+(a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n)g_m. \end{gathered}

Сравнив последнее выражение с выражением (9.10) для у, можно записать связь между yj и xi как

\left\{ \begin{gathered} y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n; \\ y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n; \\ \ldpts \\ y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n. \end{gathered} \right. (9.13)

Если теперь из коэффициентов системы (9.13) составить матрицу

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}, (9.14)

а из элементов хi и уj матрицы-столбцы

x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} ; \quad y= \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix},

то систему уравнений (9.13) можно записать в матричном виде y = Ax, именно в таком виде, в каком ранее мы определили линейное преобразование А. Матрица А, определяемая формулами (9.14), называется матрицей линейного преобразования А.

Представим систему (9.12) в матричной записи L = A’(g), где обозначено

L= \begin{pmatrix} A(l_1)\\A(l_2)\\ \vdots \\A(l_m) \end{pmatrix} ;\ g= \begin{pmatrix} g_1\\g_2\\ \vdots \\g_n \end{pmatrix} ;\ A'= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{n2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{1m} & a_{2m} & \ldots & a_{nm} \\ \end{pmatrix}. (9.15)

Заметим, что матрица A’ преобразования является транспонированной матрицей по отношению к матрице А и определяется выражением (9.14).

Определение 27. Если преобразование А переводит какой-либо ненулевой вектор х в нулевой, т.е. А(х) = 0 при х 0, то преобразование А называют вырожденным.

Вырожденное преобразование А задается вырожденной матрицей, у которой detA = 0 (или по теории матриц ранг такой матрицы меньше ее размера).

В дальнейшем будем рассматривать наиболее важный случай, когда матрица преобразования А задается квадратной матрицей, т.е. когда m = n. Тогда говорят, что пространства R и R1 совпадают или что преобразование А задано в n-мерном пространстве с базисом l1, l2, …, ln и отображает это пространство в себя.

Таким образом, каждому линейному преобразованию А в заданном базисе l1, l2, …, ln соответствует квадратная матрица А порядка n и, наоборот, каждая квадратная матрица А порядка n определяет некоторое линейное преобразование А в заданном базисе l1, l2, …, ln.