Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Теорема 9.5.1. Пусть A,B,C\in M_{m,n}(K), B и C — ступенчатые матрицы, полученные из ненулевой матрицы A конечным числом элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов. Тогда:

  1. системы строк {B1,…,Bm} матрицы B и {C1,…,Cm} матрицы C в линейном пространстве строк Kn линейно выражаются друг через друга (другими словами, линейные оболочки строк матриц A, B и C в K^n совпадают: \langle A_1,...,A_m\rangle = \langle B_1,...,B_m\rangle = \langle C_1,...,C_m\rangle
  2. числа r1 и r2 ненулевых строк в ступенчатых матрицах B и C соответственно совпадают (при этом r=r_1=r_2=\dim_K \langle A_1,...,A_m\rangle ; другие интерпретации числа r=r(A) будут даны в теореме 9.16.1 о ранге матрицы);
  3. лидеры строк ступенчатых матриц B и C располагаются в одних и тех же столбцах;
  4. если B и C — главные ступенчатые виды ненулевой матрицы A \in M_{m,n}(K), то B=C.

Доказательство.

  1. В силу замечания 9.4.5, в линейном пространстве строк Kn системы строк {A1,…,Am} матрицы A и {B1,…,Bm} матрицы B линейно выражаются друг через друга. Аналогично, системы строк {A1,…,Am} матрицы A и {C1,…,Cm} матрицы C также линейно выражаются друг через друга. Принимая во внимание транзитивность линейной выражаемости систем строк (см. следствие 9.4.2), получаем, что системы строк {B1,…,Bm} матрицы B и {C1,…,Cm} матрицы C линейно выражаются друг через друга. Следовательно,
    \langle A_1,...,A_m\rangle = \langle B_1,...,B_m\rangle = \langle C_1,...,C_m\rangle.
  2. Так как ненулевые строки ступенчатой матрицы образуют максимально независимую подсистему строк, то из 1) следует, что r1=r2 (см. следствие 9.4.10), при этом
    \begin{mult} r=r_1=r_2=\dim \langle B_1,...,B_m\rangle={} \\* {}= \dim \langle C_1,...,C_m\rangle=\dim \langle A_1,...,A_m\rangle. \end{mult}
  3. Пусть лидеры r ненулевых строк B1,B2,…,Br ступенчатой матрицы B расположены в столбцах с номерами k1,k2,…,kr, k1<k2<…<kr, а лидеры r ненулевых строк C1,C2,…,Cr ступенчатой матрицы C расположены в столбцах с номерами l1,l2,…,lr, l1<l2<…<lr. Так как системы строк {B1,B1_2,…,Br}, {C1,C2,…,Cr} линейно выражаются друг через друга, то, в силу леммы 3.5.5 и следствия 3.5.6, k1=l1 ( k_1 \geq \min\{l_i\}=l_1 ; l_1 \geq \min\{k_i\}=k_1).

    Продолжая этот процесс, убеждаемся в том, что k_3=l_3,...,\allowbreak k_r=l_r.

  4. В 2) и 3) доказано, что число ненулевых строк r и номера столбцов l1,…,lr, 1 \leq l_1<l_2...<l_r \leq n, в которых находятся главные неизвестные главных ступенчатых видов B и C, определены однозначно. Таким образом, разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами B и C, совпадают. Поскольку главные неизвестные однозначно выражаются через свободные (в эквивалентных однородных системах линейных уравнений с главными ступенчатыми матрицами B и C), при этом главный ступенчатый вид определяется этим выражением однозначно (см. замечание 3.6.9, то B=C).

Замечание 9.5.2 (матричное доказательство п. 4 теоремы о единственности главного ступенчатого вида). Для A\in M_{m,n}(K) существуют такие обратимые матрицы F,G\in M_m(K) (произведения матриц, соответствующих элементарным преобразованиям строк), что

A=F\cdot B=G\cdot C.

Следовательно,

B=D\cdot C,\ \ \text{где}\ \ D=F^{-1}G.

Используя определение главного ступенчатого вида и переставляя столбцы матриц B и C, имеем:

\begin{equation}\label{new7z} B\cdot Q= \left( \begin{array}{c|c} E_r & \text{\large * } \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right) = D \cdot \left( \begin{array}{c|c} E_r & \text{\large {*} }' \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right) = D\cdot C\cdot Q, \end{equation} (9.1)

где Q\in M_n(K) (матрица Q — обратимая матрица, соответствующая последовательности элементарных преобразований столбцов; мы уже доказали в п. 2 и 3, что числа r и столбцы j1,…,jr, в которых стоят лидеры строк, одинаковы для ступенчатых матриц B и C, соответственно; нулевые блоки могут отсутствовать (если k=r=m)). Следовательно, матрица D имеет следующий блочный вид:

D= \left( \begin{array}{c|c} E_r & \raisebox{-3.5mm}[0pt][0pt]{\text{\large$\tilde{*}$}} \\ \cline{1-1} 0 \end{array} \right),

где матрица \tilde * \in M_{m,m-r}(K) (если r<m) состоит из произвольных элементов поля K. Поэтому, умножая D на

\left( \begin{array}{c|c} E_r & \text{\large {*} }' \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right)

и приравнивая к

\left( \begin{array}{c|c} E_r & \text{\large * } \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right),

получаем, что *=*’\in M m-r, n-r. Умножая (9.1) справа на Q-1, получаем B=C.