Определители малых порядков

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Рассматривая систему линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \end{array} \right.

для вычисления x1 умножим первое уравнение на a22, второе уравнение на -a12 и сложим их. Получим (a11a22-a12a21)x1=b1a22-b2a12. Аналогично, для вычисления x2 умножим первое уравнение на -a21, второе уравнение на a11 и сложим их. Получим (a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1. Если мы определителем (2\times 2) -матрицы

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

назовем число

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},

то в этом частном случае мы получим следующее утверждение (правило Крамера для n=2): если определитель квадратной системы отличен от нуля, т. е.

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0,

то система является определенной и для ее единственного решения справедливы формулы

x_1 = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12}\\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}}% {\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}},\quad x_2=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1\\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}}% {\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}.

Непосредственная проверка показывает, что (x1,x2) — решение.

Упражнение 6.1.1. Проделать аналогичную процедуру в случае n=3.

Замечание 6.1.2. Очевидно, что определители второго порядка обладают следующими свойствами:

\begin{alignat*}{2} & 1) &\quad &\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1; \\[0.5\baselineskip] & 2) &&\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{11} & a_{12} \end{vmatrix}; \\[0.5\baselineskip] & 3) &&\begin{vmatrix} ca_{11} & ca_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = c \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \intertext{аналогично для второй строки;} & 4) && \text{если } (a_{11},a_{12}) = (b_1,b_2)+(c_1,c_2), \text{ то} \\ &&& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b_1 & b_2\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} c_1 & c_2\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \intertext{аналогично для второй строки;} & 5) && \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix}. \end{alignat*}

Наша ближайшая цель — построить общую теорию определителей квадратных (n\times n) -матриц и привести многочисленные приложения определителей, в частности в системах линейных уравнений.

Отметим, что на начальном периоде теория определителей формировалась параллельно с аксиоматической теорией площадей и объемов. Например, в декартовой системе координат на плоскости определитель

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}

равен (ориентированной) площади параллелограмма, построенного на векторах (a11,a12) и (a21,a22).

Определители квадратных n x n -матриц

Пусть

A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\\ \hdotsfor{3}\\ a_{n1} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} \in \mM_n(K) \text{ - }

квадратная (n\times n) -матрица, a_{ij}\in K, где K — любое поле (например, K= R

).

При n=1 : |a|=a\in K.

При n=2 мы имеем

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},

т. е. определитель (2\times 2) -матрицы является суммой двух слагаемых, каждое из которых является произведением элементов матрицы, взятых по одному (и только одному) из каждой строки (столбца), при этом знак определяется четностью соответствующей подстановки индексов:

\begin{alignat*}{2} & +a_{11}a_{22}, &\quad & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \text{ - четная подстановка};\\ & -a_{12}a_{21}, && \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \text{ - нечетная подстановка}. \end{alignat*}

С этой «подсказкой» определим определитель квадратной матрицы A как

|A|=\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(1)}... a_{n\alpha(n)},

т. е. как сумму всех произведений элементов матрицы A, взятых по одному (и только одному) из каждой строки и каждого столбца ( a_{1\alpha(1)} — из 1-й строки и \alpha(1) -го столбца; a_{n\alpha(n)} — из n-й строки и \alpha(n) -го столбца), т. е. тех произведений, индексы которых дают подстановку \alpha\in S_n, при этом эти произведения берутся со знаком + ( \varepsilon(\alpha)=1), если подстановка \alpha четная, и со знаком - ( \varepsilon(\alpha)=-1), если подстановка \alpha нечетная.

Упражнение 6.2.1. Если n=3, A=(a_{ij})\in\mM_3(K), то

\begin{mult} |A|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-{} \\ {}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}. \end{mult}

Мнемоническое правило: три произведения

входят со знаком + ; три произведения

входят со знаком -.

Упражнение 6.2.2. При n=3, A=(a_{ij})\in\mM_3( R) в декартовой системе координат в R3 определитель |A| матрицы A равен ориентированному объему параллелепипеда, построенного на векторах (a11,a12,a13), (a21,a22,a23) и (a31,a32,a33).

Упражнение 6.2.3. Если A=(a_{ij})\in \mM_3( R), то все шесть слагаемых в разложении определителя третьего порядка |A| одновременно не могут быть положительны.