Условие совместности общей линейной системы. Теорема Кронекера — Капелли

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

\left. \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_n \end{aligned} \right\}. (4.17)

Этой системе поставим в соответствие две матрицы. Первую

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix},

составленную из коэффициентов при неизвестных системы (4.17), называемую основной, и вторую

\left( \begin{aligned} &a_{11} & a_{12} && \ldots && a_{1n} \\ &a_{21} & a_{22} && \ldots && a_{2n} \\ &\ldots & \ldots && \ldots && \ldots \\ &a_{m1} & a_{m2} && \ldots && a_{mn} \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &b_1 \\ &b_2 \\ &\ldots \\ &b_m \end{aligned} \right)

называемую расширенной матрицей системы (4.17).

ТЕОРЕМА (Кронекер и Капелли). Для того, чтобы система линейных уравнений (4.17) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А был равен рангу ее расширенной матрицы В, то есть Rg A = Rg B.

Для системы (17) возможны следующие случаи:

  1. Rg A Rg B. В этом случае система несовместна, то есть решений не имеет.
  2. Rg A = Rg B = r. В этом случае система (4.17) совместна, то есть имеет хотя бы одно решение.

При этом:

если r = n (n — число неизвестных), то система имеет единственное решение;

если r < n, то система имеет бесконечное число решений, которые находятся следующим образом:

  • в матрице А выделяется любой базисный минор r-го порядка Δp 0
  • выделяется подсистема, состоящая из уравнений, коэффициенты при неизвестных которых являются базисными строками или входят в минор Δr;
  • полученная подсистема решается по формулам Крамера (Δr 0) при произвольных значениях (n — r) неизвестных, коэффициенты которых не входят в минор Δr.

Пример 8. Решить систему

\left. \begin{aligned} x_1+\phantom{2}x_2-3x_3=-1 \\ 2x_1+\phantom{2}x_2-2x_3=\phantom{-}1 \\ x_1+\phantom{2}x_2+\phantom{0}x_3=\phantom{-}3 \\ x_1+2x_2-3x_3=\phantom{-}1 \end{aligned} \right\}

Решение. Составим основную

A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}

и расширенную

\left( \begin{aligned} &1 & 1 && -3 \\ &2 & 1 && -2 \\ &1 & 1 && \phantom{-} 1 \\ &1 & 2 && -3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1 \\ &\phantom{-}1 \\ &\phantom{-}3 \\ &\phantom{-}1 \end{aligned} \right)

матрицы системы. Найдем Rg A и Rg B с помощью элементарных преобразований.

\left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&2&1&&-2\\&1&1&&\phantom{-}1\\&1&2&&-3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&\phantom{-}1\\&\phantom{-}3\\&\phantom{-}1 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&0&-1&&4\\&0&0&&4\\&0&1&&0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&\phantom{-}3\\&\phantom{-}4\\&\phantom{-}2 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\\Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&0&1&&-4\\&0&1&&0\\&0&0&&4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&-3\\&\phantom{-}2\\&\phantom{-}4 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&0&1&&-4\\&0&0&&4\\&0&0&&4 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&-3\\&\phantom{-}5\\&\phantom{-}4 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\\Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&1&&-3\\&0&1&&-4\\&0&0&&4\\&0&0&&0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &-1\\&-3\\&\phantom{-}5\\&\phantom{-}1 \end{aligned} \right)

Анализируя решение получаем, что Rg A = 3, Rg B = 4, т.е. данная система несовместна.

Пояснения к РЕШЕНИЮ. При переходе от первой матрицы ко второй с помощью первой строки получены нули в первом столбце остальных строк; при переходе от второй матрицы к третьей поменяли местами третью и четвертую строки, при переходе от третьей к четвертой матрице с помощью второй строки получен нуль во втором столбце третьей строки; при переходе от четвертой матрицы к пятой с помощью третьей строки получен нуль в третьем столбце четвертой строки.

Пример 9: Исследовать на совместность и решить систему

\left. \begin{aligned} x_1-2x_2+3x_3-4x_4=\phantom{-}4 \\ x_2-\phantom{4}x_3+\phantom{4}x_4=-3 \\ x_1+3x_2\phantom{-13x_2}-3x_4=\phantom{-}1 \\ -7x_2+3x_3+\phantom{4}x_4=-3 \end{aligned} \right\}

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, соответственно:

A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & \phantom{-}3 & -4 \\ 0 & \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \\ 1 & \phantom{-}3 & \phantom{-}0 & -3 \\ 1 & -7 & \phantom{-}3 & \phantom{-}1 \end{pmatrix} \text{и } B= \left( \begin{aligned} &1 & -2 && 3 && -4 \\ &0 & 1 && -1 && 1 \\ &1 & 3 && 0 && -3 \\ &0 & -7 && 3 && 1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 4 \\ -3 \\ 1 \\ -3 \end{aligned} \right)

Как и в примере 8, найдем Rg A и Rg B с помощью элементарных преобразований матрицы В.

\left( \begin{aligned} &1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&1&3&&0&&-3\\&0&-7&&3&&1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &+4\\&-3\\&+1\\&-3 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&0&5&&-3&&1\\&0&0&&-4&&8 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &+4\\&-3\\&-3\\&-24 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\\Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&0&0&&2&&-4\\&0&0&&-1&&2 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &+4\\&-3\\&12\\&-6 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&0&0&&1&&-2\\&0&0&&0&&0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &+4\\&-3\\&6\\&0 \end{aligned} \right)

Очевидно, RgA = RgB = 3 < 4, где 4 — число неизвестных, т.е. система имеет бесконечное множество решений.

Составим подсистему, состоящую из первых трех уравнений:

\left\{ \begin{aligned} x_1-2x_2+3x_3-4x_4=4 \\ x_2-x_3+x_4=-3 \\ x_3-2x_4=6 \end{aligned} \right. \text{ или } \left\{ \begin{aligned} x_1-2x_2+3x_3=4x_4+4 \\ x_2-x_3=-x_4-3 \\ x_3=2x_4+6 \end{aligned} \right.

Последнее уравнение дает выражение для x3 через x4 :x 3=2x4+6. Подставив полученное x3 во второе уравнение системы и приведя подобные получим выражение для x2 через x4 :x 2=x4+3. И, наконец, используя найденные x3 и x2, из первого уравнения найдем x1 :x 1=x4. Таким образом имеем следующее множество решений: {(-8); (x4+3); (2x4+6)}, где x4 — произвольная постоянная.

Пример 10: Исследовать и решить систему

\left\{ \begin{aligned} &\phantom{3}x_1+2x_2+3x_3=14 \\ &3x_1+2x_2+\phantom{3}x_3=10 \\ &\phantom{3}x_1+\phantom{3}x_2+\phantom{3}x_3=6 \\ &2x_1+3x_2+\phantom{3}x_3=5 \\ &\phantom{3}x_1+\phantom{3}x_2\phantom{+33x_3}=3 \end{aligned} \right.

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, соответственно:

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} ; \quad B= \left( \begin{aligned} &1 & 2 && 3 \\ &3 & 2 && 1 \\ &1 & 1 && 1 \\ &2 & 3 && -1 \\ &1 & 1 && 0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} 14 \\ 10 \\ 6 \\ 5 \\ 3 \end{aligned} \right)

и применим к матрице В элементарные преобразования для приведения ее к треугольному виду:

\left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&3&2&&1\\&1&1&&1\\&2&3&&-1\\&1&1&&0 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&10\\&6\\&5\\&3 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&-4&&-8\\&0&-1&&-2\\&0&-1&&-7\\&0&-1&&-3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&-32\\&-8\\&-23\\&-11 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\ \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&-1&&-2\\&0&-1&&-2\\&0&-1&&-7\\&0&-1&&-3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&-8\\&-8\\&-23\\&-11 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&1&&2\\&0&0&&-5\\&0&0&&-1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&8\\&-15\\&-3 \end{aligned} \right) \Rightarrow\\ \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&1&&2\\&0&0&&1\\&0&0&&1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&8\\&3\\&3 \end{aligned} \right) \Rightarrow \left( \begin{aligned} &1&2&&3\\&0&1&&2\\&0&0&&1 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} &14\\&8\\&3 \end{aligned} \right).

В матрице В пришлось вычеркнуть две строки, но полученная матрица приведена к треугольному виду. RgA = RgB = 3 = n (n — число неизвестных), то есть система имеет единственное решение. Используя последнюю матрицу, запишем данную систему

\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2+3x_3=14; \\ x_2+2x_3=\phantom{1}8; \\ x_3=\phantom{1}3. \end{aligned} \right.

Решая систему, найдем x3=3; x2=2; x1=1. Ответ (1, 2, 3).