Правило Крамера

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Основные задачи изучения системы (3.1), лекции 3:

  1. Выяснить, является ли система (3.1) совместной или несовместной.
  2. Если система (3.1) совместна, то выяснить, является ли она определенной и найти решения.

Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

\left\{ \begin{aligned} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3 \end{aligned} \right. (4.2)

Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы

\Delta= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}.

Умножим обе части первого уравнения почленно на алгебраическое дополнение А11 элемента а11, второе уравнение — на алгебраическое дополнение А21 элемента а21, а третье — на алгебраическое дополнение А31 элемента а31.

\left\{ \begin{aligned} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3 \end{aligned} \right. \left| \begin{aligned} A_{11} \\ A_{21} \\ A_{31} \end{aligned} \right.

Сложим все три полученных уравнения, умножив предварительно на соответствующие алгебраические дополнения, получим

\begin{gathered} (a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31})x + (a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31})y + \\ +(a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31})z = b_1 A_{11}+b_2 A_{21}+b_3 A_{31} . \end{gathered} (4.3)

Коэффициенты при y и z в силу свойства определителя (см. лекц. 2, теорема 2) равны нулю, а коэффициент при х на основании тех же свойств (см. лекц. 2, теорема 1) равен Δ, т.е. a11A11+a21A21+a31A31=Δ, поэтому равенство (4.3) примет вид:

\Delta x = \Delta_x , (4.4)
\text{где} \quad \Delta_x= \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =b_1 A_{11}+b_2 A_{21}+b_3 A_{31} . (4.5)

Заметим, что определитель Δх получается из определителя Δ путем замены коэффициентов а11, а21, а31 при неизвестном х свободными членами или замены первого столбца Δ коэффициентов при искомом х столбцом свободных членов. Аналогично получаются другие равенства:

\Delta y = \Delta_y , \quad \Delta z = \Delta_z , (4.6)
\text{где} \quad \Delta_y \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix}; \Delta_z \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}.

Определители Δy и Δz получают из определителя системы Δ заменой второго и третьего столбцов Δ коэффициентов при y и z столбцом свободных членов.

Рассмотрим следующие случаи.

  1. Δ0. Тогда из равенств (4.4) и (4.5) находим решение системы (2) как
    x=\frac{\Delta_x}{\Delta}; \; y=\frac{\Delta_y}{\Delta}; \; z=\frac{\Delta_z}{\Delta}, (4.7)

    которые называют формулами Крамера.

  2. \Delta=0, \text{ а } \Delta_x^2 + \Delta_y^2 + \Delta_z^2 > 0. Тогда по крайней мере один из Δх, Δy или Δz отличен от нуля и система (4.2) не имеет решения (система несовместна), что можно показать. Пусть, например, Δх0. Тогда равенство из (4.4) получаем Δх = Δх или 0·х = Δх, что невозможно.
  3. Δ=0 и Δх = Δy = Δz = 0. Тогда система (4.2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему

\left\{ \begin{aligned} & 2x-4y+z=3 \\ & x-5y+3z=-1 \\ & x-y+z=1 \end{aligned}. \right.

Решение. Вычислим все определители.

\Delta= \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\ 1 & -5 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} =-8; \quad \Delta_x= \begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ -1 & -5 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} =-16; \quad \Delta_y= \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =0; \quad \Delta_x= \begin{vmatrix} 2 & -4 & 3 \\ 1 & -5 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} =8.

Так как Δ = -8 0, то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (4.7):

x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-16}{-8}=2;\;y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{0}{-8}=0;\;z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{8}{-8}=-1,

т.е. (2, 0, -1) — искомое решение системы.

Пример 2. Решить систему

\left\{ \begin{aligned} 2x+3y=5; \\ 4x+6y=7. \end{aligned} \right.

Решение. Вычислим определители

\Delta= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} =0; \; \Delta_x= \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 7 & 6 \end{vmatrix} =9 \ne 0; \; \Delta_y= \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} =-6 \ne 0 ,

т.е. система решений не имеет (случай 2)

Пример 3. Решить систему

\left\{ \begin{aligned} &x-y+2z=-2; \\ &2x-2y+4z=4; \\ &3x-3y+6z=3. \end{aligned} \right.

Решение. Нетрудно убедиться в том, что Δ = 0 и Δх = Δy = Δz = 0. Данная система не имеет решений, так как первое и третье уравнения противоречивы. Если умножить первое уравнение на 3 и вычесть из полученного уравнение третье, то придем к ложному равенству 0 = 3.

Пример 4. Решить систему

\left\{ \begin{aligned} &2x+3y-z=3 \\ &4x+6y-2z=6 \\ &3x-y+2z=-1 \end{aligned}. \right.

Решение. Нетрудно убедиться в том, что Δ = 0 и Δх = Δy = Δz = 0. Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений относительно трех неизвестных

\left\{ \begin{aligned} &2x+3y-z=3 \\ &3x-y+2z=-1 \end{aligned} \right.

Так как

\Delta= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -11 \ne 0,

то можно найти решение последней системы

\left\{ \begin{aligned} &2x+3y=z+3 \\ &3x-y=-2z-1 \end{aligned} \right.

в которой переменная z является свободной, и, следовательно, исходная система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти либо по формулам Крамера, либо методом исключений. В результате получим (-5z/11; (7z+11)/11; z), где z может принимать произвольные значения.