Некоторые следствия из метода Гаусса

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Лекции по алгебре
as , , , ,

Следствие 3.7.1. Над полем действительных чисел K= R (и над любым бесконечным полем) число решений системы линейных уравнений может быть равно 0 (несовместная система), 1 (определенная система) и \infty(неопределенная система).

Замечание 3.7.2. Над конечным полем Z2={0,1} из двух элементов система x1+x2=0 имеет ровно два решения.

Следствие 3.7.2. (квадратные системы линейных уравнений).

  1. Пустьm=n(т. е. число уравнений равно числу неизвестных). Тогда следующие условия эквивалентны:

    а) система определенная (т. е. имеет единственное решение);

    б) r=n в ступенчатом виде (т. е. нет свободных неизвестных);

    в) соответствующая однородная система имеет только одно решение (0,…,0).

  2. Альтернатива Фредгольма: при m=n либо система линейных уравнений определенная, либо соответствующая ей однородная система имеет ненулевое решение.

Доказательство.

  1. Если в ступенчатом виде r=n, то, учитывая, что m=n, получаем r=n=m. Следовательно, нет «экзотических» уравнений, и поэтому система совместна. Из критерия определенности с этим замечанием получаем, что утверждения а) и б) эквивалентны (и для однородной системы эквивалентны утверждения б) и в)).
  2. С учетом 1) альтернатива Фредгольма соответствует для r \le n следующей альтернативе: либо r=n, либо r<n.

Примеры применения метода Гаусса

  1. \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} x_1-2x_2+x_3+x_4=1,\\ x_1-2x_2+x_3-x_4=-1,\\ x_1-2x_2+x_3+5x_4=5. \end{array} \right.
    \begin{mult} \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 & \phm 1\\ 1 & -2 & 1 & -1\\ 1 & -2 & 1 & \phm 5 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 1\\ -1\\ \phm 5 \end{matrix} \right) \to{}\\ {}\to \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 & \phm 1\\ 0 & \phm 0 & 0 & -2\\ 0 & \phm 0 & 0 & \phm 4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 1\\ -2\\ \phm 4 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 & \phm 1\\ 0 & \phm 0 & 0 & -2\\ 0 & \phm 0 & 0 & \phm 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 1\\ -2\\ \phm 0 \end{matrix} \right). \end{mult}

    В ступенчатом виде нет «экзотических» уравнений, следовательно, система совместна. Главные неизвестные — x1, x4, свободные неизвестные — x2, x3. Если x2=a, x3=b, то x4=1, x1=1+2a-b-1=2a-b. Таким образом, множество решений имеет вид

    X=\{(2a-b,a,b,1)\mid a,b\in R\}.
  2. \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} 0x_1+x_2+x_3=1,\\ 0x_1+x_2-x_3=0. \end{array} \right.
    \left( \begin{matrix} 0 & 1 & \phm 1\\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 0 & 1 & \phm 1\\ 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 1\\ -1 \end{matrix} \right).

    Система совместна, главные неизвестные — x2, x3, свободная неизвестная — x1. Ясно, что x_2=x_3=\frac{1}{2}. Если x1=a, то множество решений имеет вид

    X=\left\{\left(a,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \:\biggm|\: a\in R\right\}.
  3. \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} 0x_1+x_2-8x_3=-17,\\ x_1+0x_2+x_3=10,\\ x_1-x_2+0x_3=0. \end{array} \right.
    \begin{mult} \left( \begin{matrix} 0 & \phm 1 & -8\\ 1 & \phm 0 & \phm 1\\ 1 & -1 & \phm 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -17\\ \phm 10\\ \phm 0 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 0 & \phm 1\\ 0 & \phm 1 & -8\\ 1 & -1 & \phm 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 10\\ -17\\ \phm 0 \end{matrix} \right) \to{}\\ {}\to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 0 & \phm 1\\ 0 & \phm 1 & -8\\ 0 & -1 & -1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 10\\ -17\\ -10 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & 0 & \phm 1\\ 0 & 1 & -8\\ 0 & 0 & -9 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} \phm 10\\ -17\\ -27 \end{matrix} \right). \end{mult}

    Система совместна (нет «экзотических уравнений»), все неизвестные x1, x2, x3главные,x3=3, x2=7, x1=7. Система определенная, имеет единственное решение (7,7,3).

  4. \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} x_1+2x_2-3x_3=-2,\\ 3x_1-x_2+2x_3=7,\\ 5x_1+3x_2-4x_3=2. \end{array} \right.
    \begin{mult} \left( \begin{matrix} 1 & \phm 2 & -3\\ 3 & -1 & \phm 2\\ 5 & \phm 3 & -4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -2\\ \phm 7\\ \phm 2 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 2 & -3\\ 0 & -7 & \phm 11\\ 5 & \phm 3 & -4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -2\\ \phm 13\\ \phm 2 \end{matrix} \right) \to{}\\ {}\to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 2 & -3\\ 0 & -7 & \phm 11\\ 0 & -7 & \phm 11 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -2\\ \phm 13\\ \phm 12 \end{matrix} \right) \to \left( \begin{matrix} 1 & \phm 2 & -3\\ 0 & -7 & \phm 11\\ 0 & \phm 0 & \phm 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -2\\ \phm 13\\ -1 \end{matrix} \right). \end{mult}

    Возникло «экзотическое уравнение». Значит, система несовместна.