Скалярное произведение

Рассмотрим два произвольных вектора:  − a(a1 ;a2 ;a3 ) и −b(b1;b2;b3)

Определение. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.

Определение. Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так: ∠(−a−b) .

Определение. Скалярным произведением векторов −a и −b называется произведение их длин на косинус угла между ними: (−a−b)=−a−bcos∠(−a−b) .

Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:

Утверждения:

• Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
• Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.
• Скалярное произведение двух векторов −a(a1;a2;a3) и −b(b1;b2;b3), заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле (−a−b)=a1b1+a2b2+a3b3.

Основные свойства скалярного произведения

Для любых векторов  −a, −b и −c и любого числа справедливы равенства:

• (−a)2=(−a−b)0, причем  (−a)2=0−a=−0;
• переместительный закон: (−a−b)=(−b−a);
• распределительный закон: (−a+−b−c)=(−a−c)+(−b−c);
• сочетательный закон: (−a−b)=(−a−b).