Планиметрия
in Конспекты по геометрии
as доказательство, Конспекты по геометрии, лекции, теорема
Некоторые обозначения
— отрезок с концами А и В,
, AB — длина отрезка ,
, — угол с вершиной в точке B,
— угол со сторонами (лучами) a и b,
, — величина угла,
— один градус, 1/180 часть развернутого угла,
— одна минута, ,
— одна секунда, ,
1 рад — один радиан, 1 рад = ,
— один град, 1/100 прямого угла,.
Связь между различными мерами угла
рад.
Треугольник (рис. 1)
Сумма внутренних углов: .
Теорема косинусов:
Теорема синусов: (R — радиус описанной окружности).
Величина внешнего угла: , , .
Периметр: (p — полупериметр)
Свойства средней линии: , (рис. 2)
Свойства медиан: , , (рис. 3)
nbsp; Свойства высот:
Свойства биссектрис: (рис. 1.4).
Длина медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из вершины B:
Площадь:
(формула Герона),
(r — радиус вписанной окружности).
Прямоугольный треугольник (рис. 1.5)
Если то
Теорема Пифагора: (a, c — длины катетов; b — длина гипотенузы).
Равнобедренный треугольник (рис. 1.6)
Равносторонний треугольник (рис. 1.7)
Параллелограмм (рис. 1.8)
Свойства сторон и углов:
Свойства диагоналей:
Площадь:
Ромб (рис. 1.9)
Свойства сторон и диагоналей:
Площадь:
Прямоугольник (рис. 1.10)
Свойства сторон и углов:
Свойства диагоналей:
Площадь:
Квадрат (рис. 1.11)
Свойства сторон и углов:
Длина диагонали:
Площадь:
Трапеция (рис. 1.12)
Свойства сторон:
Свойства средней линии:
Площадь:
Многоугольники
Сумма внутренних углов:
Сумма внешних углов:
Число диагоналей:
Вписанный и описанный многоугольники
(R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; p — полупериметр многоугольника; S — его площадь).
Треугольник
Четырехугольник
Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то
Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то
Подобные многоугольники
Если и — подобные многоугольники с коэффициентом подобия , а и , и — соответственно их периметры и площади, то:
Правильные n-угольники
Величина внутреннего угла:
Сторона: (R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности, апофема). В частности,
Площадь: ( — периметр n-угольника).
Окружность и круг
(r — радиус; — диаметр)
Углы, вписанные в окружность: (рис. 1.13).
Свойства хорд: (рис. 1.14).
Свойства секущих: (рис. 1.15).
Длина окружности:
Длина дуги в радиан:
Длина дуги в :
Площадь круга:
Площадь сектора в радиан:
Площадь сектора в :
Площадь кругового сегмента, содержащего дугу в :