Линии второй степени

Канонические уравнения

Окружность

Окружность радиуса R с центром в начале координат:

Уравнение касательной к окружности в произвольной точке

Параметрические уравнения:

Окружность радиуса R с центром в точке C(a; b):

Эллипс (рис. 4.14)

Пусть на плоскости заданы две точки и и дано число a (a > c). Эллипс — множество точек M плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от точек и равна 2a. Точки и называются фокусами эллипса; — большая ось; — малая ось; O — центр; — левый и правый фокусы; — вершины; — фокальные радиусы;

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет:

Плоскость

Способы задания плоскости

Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)

где — нормальный вектор плоскости.

В векторном виде .

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) By + Cz + D = 0 — параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 — параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 — параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 — параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 — параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 — параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 — проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 — проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 — проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 — проходит через ось Oz;

11) z = 0 — плоскость Oxy;

12) y = 0 — плоскость Oxz;

13) x = 0 — плоскость Oyz.

Прямая в пространстве

Способы задания прямой

Векторно-параметрическое уравнение прямой

где — фиксированная точка, лежащая на прямой; — направляющий вектор.

В координатах (параметрические уравнения):

Канонические уравнения прямой

Уравнения прямой по двум точкам

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

при условии, что не имеют места равенства

Направляющий вектор такой прямой

где

Прямая на плоскости

Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) — нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0, где — радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 — прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 — прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 — прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 — ось Ox;

5) x = 0 — ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках

где a, b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

где — угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p — расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь — нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если и произвольно, если C = 0.

Простейшие задачи аналитической геометрии

Расстояние между двумя точками

где и радиус-векторы точек и .

В координатах:

на прямой   

на плоскости   

в пространстве   

Деление отрезка в данном отношении

В координатах:

на прямой   ;

на плоскости   ,   ;

в пространстве   ,   ,   

Середина отрезка (= 1)

В координатах:

на прямой   ;

на плоскости   ,   ;

в пространстве   ,   ,   .

Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

Параллельный сдвиг координатных осей (рис. 4.8)

Поворот координатных осей (рис. 4.9)

Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)

Системы координат на плоскости и в пространстве

Системы координат на плоскости

Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1)

О — начало координат, Ох — ось абсцисс, Оy — ось ординат, — базисные векторы, — абсцисса точки M ( — проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), — ордината точки M ( — проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).

Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.2)

О — начало координат, — оси координат, , — координаты точки M ( — проекция точки M на ось параллельно оси , аналогично ), — базисные векторы.

Геометрические преобразования

Поворот плоскости вокруг центра O на угол

Обозначение: или

Свойство поворотов: (n — целое).

Композиция поворотов: (тождественное преобразование).

Координатные формулы поворота на угол

Если и то при повороте вокруг точки :

при повороте вокруг точки

Центральная симметрия (симметрия относительно точки O) на плоскости

Определение:

Композиция центральных симметрий:

1) с общим центром:

2) с различными центрами:

Координатные формулы центральной симметрии относительно начала координат:

Осевая симметрия (симметрия относительно прямой l) на плоскости

Обозначение: (l — ось симметрии).

Композиция осевых симметрий:

1) если , O — точка пересечения осей, то (центральная симметрия);

2) если , то (параллельный перенос.)

Координатные формулы осевой симметрии:

относительно оси OY:

относительно оси OX:

относительно прямой :

Стереометрия

Призма

Площадь поверхности: , где — площадь основания призмы; — площадь боковой поверхности призмы; P — периметр перпендикулярного сечения; l — длина бокового ребра.

Объем: где Q — площадь основания; H — высота призмы, — площадь перепендикулярного сечения.

Прямоугольный параллелепипед (рис. 1.16)

Свойства диагоналей: Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Площадь поверхности:

Объем:

В частности, для куба

Пирамида (рис. 1.17)

Площадь поверхности: где — площадь боковой поверхности пирамиды; — площадь основания.

Объем: где Q — площадь основания, H — высота пирамиды.

Правильная пирамида

где P — периметр основания; — высота боковой грани.

где — угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Усеченная пирамида

Объем: где h — высота; , — площади оснований.

Для правильной усеченной пирамиды где , — периметры оснований; — высота боковой грани.

Цилиндр (рис. 1.18)

Площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности:

Объем:

Конус (рис. 1.19)

Площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности:

Объем:

Усеченный конус (рис. 1.20)

Шар (рис. 1.21)

Площадь поверхности:

Объем:

Площадь сферического сегмента: (H — высота сегмента).

Объем шарового сегмента:

Объем шарового сектора:

Планиметрия

Некоторые обозначения

— отрезок с концами А и В,

,  AB — длина отрезка ,

,  — угол с вершиной в точке B,

— угол со сторонами (лучами) a и b,

,  — величина угла,

— один градус, 1/180 часть развернутого угла,

— одна минута, ,

— одна секунда, ,

1 рад — один радиан, 1 рад = ,

— один град, 1/100 прямого угла,.

Связь между различными мерами угла

рад.

Треугольник (рис. 1)

Сумма внутренних углов: .

Теорема косинусов:

Теорема синусов: (R — радиус описанной окружности).

Величина внешнего угла: , , .

Периметр: (p — полупериметр)

Свойства средней линии: , (рис. 2)

Свойства медиан: , , (рис. 3)

nbsp;    Свойства высот:

Свойства биссектрис: (рис. 1.4).

Длина медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из вершины B:

Площадь:
(формула Герона),

(r — радиус вписанной окружности).

Прямоугольный треугольник (рис. 1.5)

Если то

Теорема Пифагора: (a, c — длины катетов; b — длина гипотенузы).

Равнобедренный треугольник (рис. 1.6)

Равносторонний треугольник (рис. 1.7)

Параллелограмм (рис. 1.8)

Свойства сторон и углов:

Свойства диагоналей:

Площадь:

Ромб (рис. 1.9)

Свойства сторон и диагоналей:

Площадь:

Прямоугольник (рис. 1.10)

Свойства сторон и углов:

Свойства диагоналей:

Площадь:

Квадрат (рис. 1.11)

Свойства сторон и углов:

Длина диагонали:

Площадь:

Трапеция (рис. 1.12)

Свойства сторон:

Свойства средней линии:

Площадь:

Многоугольники

Сумма внутренних углов:

Сумма внешних углов:

Число диагоналей:

Вписанный и описанный многоугольники

(R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; p — полупериметр многоугольника; S — его площадь).

Треугольник

Четырехугольник

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то

Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то

Подобные многоугольники

Если и — подобные многоугольники с коэффициентом подобия , а и , и — соответственно их периметры и площади, то:

Правильные n-угольники

Величина внутреннего угла:

Сторона: (R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности, апофема). В частности,

Площадь: ( — периметр n-угольника).

Окружность и круг

(r — радиус; — диаметр)

Углы, вписанные в окружность: (рис. 1.13).

Свойства хорд: (рис. 1.14).

Свойства секущих: (рис. 1.15).

Длина окружности:

Длина дуги в радиан:

Длина дуги в :

Площадь круга:

Площадь сектора в радиан:

Площадь сектора в :

Площадь кругового сегмента, содержащего дугу в :