Николай Иванович Лобачевский

Н.И.Лобачевский родился 1 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде в семье мелкого чиновника. После смерти отца Николай был определен в Казанскую гимназию. С этого момента вся жизнь Лобачевского была тесно связана с Казанью и ее университетом. На протяжении 40 лет Лобачевский принимал активное участие в общественной жизни и организации Казанского университета. С 1827 по 1846 гг. состоял ректором оного.

Лобачевский не был специалистом в узкой области математики. Ему принадлежат работы по алгебре (“Алгебра или вычисление конечных”, 1834 г. и др.) и математическому анализу (“Об исчезновении тригонометрических строк”, 1834; “О сходимости бесконечных рядов”, 1841; “О значении некоторых неопределенных интегралов”, 1852 и др.). Он первый ввел различие между непрерывностью и дифференцируемостью, нашел метод численного решения алгебраических уравнений, известный под его именем и др. Но наибольшую известность Лобачевский получил благодаря своим работам по геометрии.

Отправным пунктом исследований Лобачевского по неевклидовой геометрии была аксиома о параллельных. Как известно, дедуктивно построенная система евклидовой геометрии опирается на некоторую совокупность аксиом, последняя из которых (фигурирующая в “Началах” Евклида в качестве пятого постулата) стоит как бы особняком. За ней в виду сложности формулировки не было признано свойство очевидности, и в течение многих веков предпринимались безуспешные попытки ее доказательства.

Геометрия, в зависимости от того, используется ли аксиома о параллельных или нет, делится на две части. Та, куда входят предложения, не опирающиеся на эту аксиому, носит название абсолютной геометрии. Лобачевский, который вначале пытался дать доказательство упомянутой аксиомы, вскоре убедился в возможности расчленения геометрии на абсолютную и неабсолютную и осуществил его.

Вслед за этим он попробовал заменить аксиому о параллельных ее отрицанием: он предположил, что через точку, не лежащую на одной прямой, может проходить более чем одна прямая, лежащая в одной плоскости с прямой и не пересекающаяся с ней при продолжении. При этом он обнаружил, что формального противоречия не получается, а система выводов складывается в новую геометрию, отличную от евклидовой, но столь же логически строгую и последовательную, несмотря на непривычность ее утверждений.

11(23) февраля 1826г. на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета Лобачевский доложил о своем сочинении “Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных”.Затем Лобачевский развивал свою новую геометрию, опубликовав ряд работ: “Воображаемая геометрия” (1835), “Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам” (1836), “Новые начала геометрии с полной теорией параллельных” (1834-1838), “Геометрические исследования” на немецком языке (1840), “Пангеометрия” (1855).

Геометрия Лобачевского в абсолютной своей части не отличается по существу от геометрии Евклида. В той же части, которая использует аксиому о параллельных, дело обстоит иначе. К этой части относятся теоремы о: а)расположение параллельных прямых; б) сумме углов в треугольниках и многоугольниках; в) площадях; г) вписанных в окружность и описанных многоугольниках; д) подобии и конгруэнтности фигур; е) тригонометрии; е) теореме Пифагора; з) измерении круга и его частей. В этих пунктах двумерная геометрия Лобачевского существенно отличается от евклидовой геометрии.
Допущение, что через одну точку О вне прямой можно провести больше одной прямой, не встречающейся с данной, приводит к выводу, что таких прямых бесконечно много. Они образуют пучок. В пучке этих прямых есть две крайние прямые: ОВ и ОВ1.

Они и называются параллельными прямой О1А. В таком случае возникает необходимость ввести направление параллельности. В направлении параллельности прямые сближаются, в противоположном – удаляются. Угол параллельности зависит от расстояния между параллельными, т.е. от длины соответствующего перпендикуляра x , следующим образом:

где k – постоянная, зависящая от выбора единицы длины. Если , то ; в случае же . Наконец, прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся в обе стороны.
Вслед за этим оказывается, что сумма углов треугольника меньше 2d. При увеличении сторон треугольника эта сумма уменьшается. Аналогичные суждения справедливы и для многоугольников. Вследствие этого стало необходимым выдвинуть еще один признак равенства треугольников, исходя из равенства трех пар соответствующих углов.

В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников и многоугольников.
Дальнейшее развитие геометрии Лобачевского связано с введением пучков прямых: сходящихся, расходящихся и параллельных.
Относительно пучков прямых вводятся циклы. Это – геометрические места точек, являющиеся ортогональными траекториями пучка прямых. Эти циклы для трех видов пучков соответственно называются: окружность, эквидестанта (или гиперцикл) и орицикл (образ предельной окружности при ). Соответствующие пространственные образы, образованные вращением циклов вокруг избранной прямой, будут: сфера, гиперсфера, орисфера соответственно. Лобачевский установил, что на орисфере, если заменить прямые орициклами, осуществляется планиметрия Евклида и тригонометрия.

Аппарат вычислений в геометрии Лобачевского основывается на оперировании с гиперболическими функциями. Например, теорема, аналогичная теореме синусов для треугольника, в геометрии Лобачевского приобретает вид:

Вслед за тригонометрией, Лобачевский разработал в своей системе аналитическую и дифференциальную геометрии.
Но признания геометрия Лобачевского не добилась. Лобачевский настойчиво боролся за существование своих идей, но умер в 1856 г. непонятым и непризнанным.