Планиметрия

Некоторые обозначения

— отрезок с концами А и В,

,  AB — длина отрезка ,

,  — угол с вершиной в точке B,

— угол со сторонами (лучами) a и b,

,  — величина угла,

— один градус, 1/180 часть развернутого угла,

— одна минута, ,

— одна секунда, ,

1 рад — один радиан, 1 рад = ,

— один град, 1/100 прямого угла,.

Связь между различными мерами угла

рад.

Треугольник (рис. 1)

Сумма внутренних углов: .

Теорема косинусов:

Теорема синусов: (R — радиус описанной окружности).

Величина внешнего угла: , , .

Периметр: (p — полупериметр)

Свойства средней линии: , (рис. 2)

Свойства медиан: , , (рис. 3)

nbsp;    Свойства высот:

Свойства биссектрис: (рис. 1.4).

Длина медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из вершины B:

Площадь:
(формула Герона),

(r — радиус вписанной окружности).

Прямоугольный треугольник (рис. 1.5)

Если то

Теорема Пифагора: (a, c — длины катетов; b — длина гипотенузы).

Равнобедренный треугольник (рис. 1.6)

Равносторонний треугольник (рис. 1.7)

Параллелограмм (рис. 1.8)

Свойства сторон и углов:

Свойства диагоналей:

Площадь:

Ромб (рис. 1.9)

Свойства сторон и диагоналей:

Площадь:

Прямоугольник (рис. 1.10)

Свойства сторон и углов:

Свойства диагоналей:

Площадь:

Квадрат (рис. 1.11)

Свойства сторон и углов:

Длина диагонали:

Площадь:

Трапеция (рис. 1.12)

Свойства сторон:

Свойства средней линии:

Площадь:

Многоугольники

Сумма внутренних углов:

Сумма внешних углов:

Число диагоналей:

Вписанный и описанный многоугольники

(R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; p — полупериметр многоугольника; S — его площадь).

Треугольник

Четырехугольник

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то

Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то

Подобные многоугольники

Если и — подобные многоугольники с коэффициентом подобия , а и , и — соответственно их периметры и площади, то:

Правильные n-угольники

Величина внутреннего угла:

Сторона: (R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности, апофема). В частности,

Площадь: ( — периметр n-угольника).

Окружность и круг

(r — радиус; — диаметр)

Углы, вписанные в окружность: (рис. 1.13).

Свойства хорд: (рис. 1.14).

Свойства секущих: (рис. 1.15).

Длина окружности:

Длина дуги в радиан:

Длина дуги в :

Площадь круга:

Площадь сектора в радиан:

Площадь сектора в :

Площадь кругового сегмента, содержащего дугу в :