Медиана

Определение. Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

• Три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника (центр масс треугольника) и делят треугольник на 6 равновеликих треугольника.
• Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади)

Биссектриса

Определение. Биссектриса угла — это  луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.

Биссектриса угла (вместе с ее продолжением) есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (или их продолжений).

Определение. Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

• Любая из трех биссектрисс внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
• Биссектриса угла треугольника может обозначать одно из двух: луч — биссектриса этого угла или отрезок биссектрисы этого угла до ее пересечения со стороной треугольника.

Свойства биссектрис

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
• Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
• Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD =ACBC .
  
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.
• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

Формулы

a2a1=cb la=c+bcb(b+c+a)(b+c−a) la=c+b2bc cos2 la=hacos2− la=bc−a1a2

Где:
la — биссектриса, проведенная к стороне a,
a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,
a_l,a ₂ — отрезки, на которые биссектриса l_c делит сторону c,
— внутренние углы треугольника при вершинах a, b, c соответственно,
h_a —  высота треугольника, опущенная на сторону a.

Основные линии треугольника

Основные линии треугольника: медиана, биссектриса, высота, средняя линия, серединный перпендикуляр.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

a, b, c — стороны треугольника

ma — медиана к стороне a угла A

ha — высота к стороне a угла A

la — биссектриса к стороне a угла A

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

• Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
• Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

• Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
• Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.Высота

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
• В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
• Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
• Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

• Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
• Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

• Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Треугольник

Отрезки и окружности, связанные с треугольником

• Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
• Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью..
• Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидром или центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.
• Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение, называется высотой треугольника. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
• Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.
  

  В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведенная из нее, лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности. Вневписанной окружностью называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Середины трех сторон треугольника, основания трех его высот и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек. В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Соотношения в треугольнике

Теорема синусов	Теорема косинусов	Теорема о сумме углов треугольника
asin =bsin =csin=2R	c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ	α + β + γ = 180° =

Прочие соотношения (Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника ABC):

ba=blal

mc=212(a2+b2)−c2

hc=bsin=asin=c2S

d2=R2−2Rr

lc=a+bab(a+b+c)(a+b−c)=ab−albl=a+b2abcos2

rR=4sin2sin2sin2=cos+cos+cos−1

Площадь треугольника

S=21bhb

S=21basin

S=2Rabc

S=r2+2rR, для прямоугольного треугольника

S=21r(a+b+c)=pr=(p−b)rb

S=2R2sinsinsin

S=2sina2sinsin

S=p(p−a)(p−b)(p−c)=41(a+b+c)(a+c−b)(b+c−a)(a+b−c)

S=21(xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)) , в данной формуле следует обратить внимание на обход вершин, если идти по часовой стрелке, то получится та же площадь, но с отрицательным знаком

Где:

1. lalblc — соответственно биссектрисы углов A, B и C,
2. albl — отрезки, на которые биссектриса lc делит сторону с,
3. mambmc — медианы, проведенные соответственно к сторонам a, b и c,
4. hahbhc — высоты, опущенные соответственно на стороны a, b и c,
5. r — радиус вписанной окружности,
6. R — радиус описанной окружности,
7. rb — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b,
8. p=2a+b+c — полупериметр,
9. S — площадь,
10. d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
11. (xA;yA)(xB;yB)(xC;yC) — координаты вершин треугольника.

Специальные классы линий и поверхностей

Линии на плоскости

Астроида (рис. 7.2)

(см. также гипоциклоиду модуля m = 1/4).

Уравнение в декартовых координатах:

Параметрические уравнения:

Площадь, ограниченная астроидой:

Длина дуги от точки A до произвольной точки M(t):

Длина всей астроиды: s = 6R.

Радиус кривизны в произвольной точке:

Гипоциклоида (рис. 7.3)

Гипоциклоида — линия, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся без скольжения по другой окружности радиуса R внутри нее (m = r/R — модуль гипоциклоиды)

Параметрические уравнения:

где mR = r.

Поверхности

Способы аналитического задания

1. — векторно-параметрическое уравнение.

2. — параметрические уравнения.

3. — явное уравнение.

4. — неявное уравнение.

Касательная плоскость к поверхности

(X, Y, Z — текущие координаты точки на касательной плоскости; — радиус-вектор этой точки; x, y, z — коодинаты точки касания (соответственно для нормали); — касательные векторы к координатным линиям соответственно v = const; u = const; )

1.

2.

3.

4.

Нормаль к поверхности

1.

2.

3.

4.

Пространственные линии

Способы аналитического задания линий

1. — векторно-параметрическое уравнение.

2. — параметрические уравнения.

3. — явное уравнение.

4. — неявное уравнение.

Элементы сопровождающего трехгранника (рис 7.1)

Уравнение касательной прямой

(X, Y, Z — текущие координаты точки на касательной; — радиус-вектор этой точки; x, y, z — коодинаты точки касания)

1.

2.

4.

Плоские линии

Способы аналитического задания

1. — векторно-параметрическое уравнение.

2. — параметрические уравнения.

3. — явное уравнение.

4. — неявное уравнение.

Уравнение касательной к линии

Для линий, заданных уравнениями 1-4, уравнения касательных будут соответственно:

1)

2)

3)

4)

где X, Y — текущие координаты точки на касательной; — радиус-вектор этой точки; x, y — координаты точки касания; — параметр.

Уравнение нормали к линии

Для линий, заданных уравнениями 1-4, уравнения нормалей будут соответственно:

1)

2)

3)

4)

Соприкосновение k-го порядка

1. Линии и имеют при соприкосновение k-го порядка, если

2. Если одна из линий задана уравнениями x = x(t), y = y(t), а другая — уравнением , то в точке соприкосновения k-го порядка:

Вектор-функция скалярных аргументов

Определение

На множестве U задана вектор-функция, если с каждой его точкой M сопоставлен вектор . Если U — множество точек на прямой и на ней введена декартова координата t, то вектор-функция на U является вектор-функцией одного скалярного аргумента ; если U — множество точек на плоскости и на ней введена декартова система координат Ouv, то имеем вектор-функцию двух скалярных аргументов.

Предел вектор-функции

— предел в точке , если Запись:

Если

Непрерывность вектор-функции

непрерывна в точке , если Вектор-функция , непрерывная в каждой точке множества U, называется непрерывной на множестве U.

Дифференцирование вектор-функции
Производные вектор-функции

Если и дифференцируемы, то:

Дифференциал вектор-функции

Поверхности второй степени

Канонические уравнения

Сфера

Сфера радиуса R с центром в начале координат:

Параметрические уравнения:

Сфера радиуса R с центром в точке S (a; b; c):

Эллипсоид (рис. 4.18)

Каноническое уравнение:

— трехосный эллипсоид;

— эллипсоид вращения вокруг оси Oz;

— эллипсоид вращения вокруг оси Oy;

— эллипсоид вращения вокруг оси Ox;

— сфера.

Сечения эллипсоида плоскостями — либо эллипс (окружность), либо точка, либо .

Конус второй степени (рис. 4.19)

Каноническое уравнение:

a = b — конус вращения (прямой круговой).

Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, — эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, — парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, — гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, — пара пересекающихся прямых или точка (вершина).