Описанная и вписанная окружность

Определение. Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

• Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Определение. Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника  и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

• Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности. Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.
• Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно.Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности
  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
    
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: r=pS , где S — площадь треугольника, а  p=2a+b+c — полупериметр треугольника.
    

  Определение. Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

  Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
  • В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
  • Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: R=4Sabc, где S — площадь теугольника.

  Определение. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной.
  

  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

  Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

  • Радиус вписанной окружности находят по формулам: r=aba+b+c, и  r=2a+b−c, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника.

  Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
  • Радиус равен половине гипотенузы: R=2c.
  • Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: R=mc.

  Четырехугольник, описанный около окружности

  • Четырехугольник ABCD можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны AB + CD = BC + AD.
  • Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.
  • Площадь: S=pr, где r — радиус вписанной окружности, а p=2a+b+c+d — полупериметр.

  Четырехугольник, вписанный в окружность

  • Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна 180:+++=180.
  • Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны 180.
  • Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: ABDC+ADBC=BDAC.
  • Площадь: S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d) , где p=2a+b+c+d — полупериметр четырехугольника.

  Окружность, вписанная в ромб

  • В любой ромб можно вписать окружность.
  • Радиус r вписанной окружности: r=2h, где h — высота ромба или r=4ad1d2, где a — сторона ромба, d₁ и d₂ — диагонали ромба.