Декартовы координаты вектора в пространстве

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями. Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OA_x: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.

Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

Определение. Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси. Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i. Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается j. Единичный вектор, направленный вдоль оси z, обозначается k. Определение. Вектора i, j, k называются координатными векторами. Эти векторы некомпланарны, а значит, любой вектор a можно разложить по координатным векторам: a=xi+yj+zk. Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора a в данной системе координат.

Свойства векторов, заданных координатами

• Координаты нулевого вектора равны нулю.
• Координаты равных векторов соответственно равны.
• Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
• Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.
• Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.

Формулы

Угол между векторами: $$\vec a(x_{a};y_{a};z_{a}), \quad \vec b(x_{b};y_{b};z_{b})  \Rightarrow cos\gamma = \frac{x_{a} \cdot x_{b}+ y_{a} \cdot y_{b}+ z_{a} \cdot z_{b}}{\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}} \cdot \sqrt{x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}}}$$

Перпендикулярность векторов: $$\vec a(x_{a};y_{a};z_{a}), \quad \vec b(x_{b};y_{b};z_{b})  \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = 0 \Leftrightarrow
x_{a} \cdot x_{b}+ y_{a} \cdot y_{b}+ z_{a} \cdot z_{b}= 0$$

Коллинеарность векторов: $$\vec a(x_{a};y_{a};z_{a}), \quad \vec b(x_{b};y_{b};z_{b})  \Rightarrow  \frac{x_{a}}{x_{b}}=\frac{y_{a}}{y_{b}}=\frac{z_{a}}{z_{b}}$$ если координаты векторов не равны нулю.